М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Набору переменных (7.62) поставим в соответствие набор из элементов того же вида. Эти элементы мы будем обозначать соответствующими заглавными буквами: Соответствие определяется формулами Р=гр, Ф=1, Р,. =я,'., П' =р„'. (7.64) При отображении (7,64) функция становится гамильтонианом, гамильтоннан — функцией, переменные становятся импульсами, а импульсы — переменными. Ясно, что при этом у новой матрицы переменных будет Р строк и п столбцов, а у новой матрицы импульсов — и строк и 7» столбцов. Также очевидно, что для нового набора (7.64) соотношение (7.63) остается справедливым: Поэтому рассматриваемое отображение бирационально и инво- лютивно.
Вычислив дифференциал соотношения (7.63) и исполь- зуя (7.64), легко проверить, что Ы вЂ” П' РГ =-(дУ вЂ”,"Ар'). (7.66) Дифференциальная форма, стоящая в правой части равенства (7.66), обращается в нуль тогда и только тогда, когда величины я» являются производными функции 1 по соответствующим переменным р (импульсами).
Дифференциальная форма вида ф — 7г» ар' называется понтантной формой для функции 1. Равенство (7.66) означает, что при преобразовании Лежандра — Вейля контактная форма переходит в контактную. Преобразования, при которых контактная форма переходит в контактную, называются 7гоптангпньгми. Каратеодори нашел новое контактное преобразование, учитывающее матричную специфику переменных и импульсов.
Опишем конструкцию Каратеодори подробнее. 9 9. Преобразование Каратеодорн Рассмотрим тот же набор величин (7.62), удовлетворяющих соотношению (7.63). Каратеодори предложил (65) более сложное преобразование, которое связывает переменные и импульсы с помощью некоторой матрицы а, Эту матрицу мы будем называть сопрягающей матрицей. Итак, рассмотрим где 1, — и-мерная Единичная матрица; 7гр — произведение ма- триц, которое также является (и х и)-матрицей. При помощи матрицы а определим преобразование Каратеодори следующими формулами: 2 Г»-2 7»» — 2 р = а 17г, П = — ра, Р = — ~> Ф = — 99.
(7.68) беГа ' бега ' г(еаза Проверим, что новый набор величин (7.68) также удовлет- воряет соотношению (7.63). В самом деле, 1»» — 2 РП=(а ~гг)~ — ра ~, г1ег а матрицы а= 1„1 — яр и з р коммутируют, поэтому »» — 2 РП = ггр, г)е1 а у» — 2 у»-2 Р+Ф = — (~ + ~р) = — ТГ(7гр). бег а Йе1 а Используя (7.69) „получаем окончательно 308 ГЛАВА 7. МНОГОМЕРНОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ а о, пРеОБРАЭОВАние ЕАРАтеодОРи У т в е р ж де н и е 7.14, Преобразование Харатеодори иив олютивио. До к аз а т ел ь с т в о.
Для доказательства инволютивности введем для набора величин (7.68) сопрягающую матрицу А = Р1„— РП. Тогда из (7.69) получаем А а г(е(А де1 а Р 3' Р" У" (7.70) Для получения второго из равенств (7.70) использован тот факт, что при умножении матрицы на скалярный множитель ее детер- минант умножается на тот же множитель в степени, равной по- рядку матрицы. Из (7.70) и (7.68) последовательно находим Ре-2 Ре — 2 Ре-2 1= — Р, у= — Ф, р=ПА ', я=АР г(е1А * де(А ' ' де(А' что завершает доказательство инволютивности.
П У т в е р ж де н н е 7.15. Преобразование Харатеодори монтамтио, Доказательство. В силу (7.68) и (7.6?) имеем Рр= а ~2гр= а '(7'1„— а). Отсюда следует, что 1„+ Рр = 1 1„а 1. (7.71) Следовательно, де1(1„+ Рр) = — = 1 Р. У" (7.72) де( а Пусть д — произвольная невырожденная матрица. Обозначим алгебраическое дополнение к элементу д этой матрицы че- Р р рез (7 . Лемм а 7.5. Длл любой невырозгдеииой матрииы д= = (д~~) имеет место формула г((г(е( д) = де(д Тг(д 'бд). (7.73) Доказательство леммы следует из формулы для дифференцирования детерминанта матрицы б(де(д) = а'~дд~, (7.74) где через Сд обозначено алгебраическое дополнение к элемено а ту д, .
У п р а ж к е н и е. Получить формулу (7.73) иа формулы Якоби бе( екр Х = екр(тгХ). Вернемся к доказательству утверждения?.15. В силу (7.71) имеем (1+Рр)-' = —. У Используя это равенство запишем при помощи (7.73) дифференциал раненства (7.72): Уг(Р+ Ргд =г)е((1+ Рр) Тг( — ((г(Р)р+ Р(др)) ~У =Р1 Тг +Тг Так как след произведения матриц не зависит от порядка сомножителей, то в первое слагаемое последнего выражения вместо де( а ра можно подставить выражение ра= — „П.
Для преобразоу~-г вания второго слагаемого воспользуемся равенством Р = —. Тогда имеем ~г(Р + Р 4 = ~ Тг(П(г(Р)) + Р Тг(гг(г( р)). Окончательно получаем 1(г(Р— Тг(П(г(Р)))+ Р(г(1 — Тг(я(бр))) = О, а это н означает, что преобразование Каратеодори контактно. Опишем действие преобразования Каратеодори на функции ,1(р) от матричного аргумента р. Сначала по функции 1 вычисляются импульсы яе (р) оу др' ' далее строится сопрягаюшая матрица а(р) = 11„— чгр и вводятся новые независимые переменные -1 Р=а 2г.
(7.?5) зы уе†! бе1а (7.80) РЬ = УР— Ррт. ЗГО ГЛАВА Г. МНОГОМЕРНОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Наконец, равенство (7.75) надо разрешить относительно пере- менных р, т. е. найти р= р(Р), и составить функцию от нового аргумента Р. Для того чтобы преобразование Каратеодори было определено, надо потребовать, чтобы равенство (7.75) было разрешимо относительно р. Условие осуществимости иреобрааоваиии Каритеодори.
Перепишем (7.75) в виде т — аР = 0 (7.76) и потребуем, чтобы якобиан левой части (7.76) по матричным переменным р при фиксированном Р был не равен нулю. Запишем этот якобиан в координатах: ,7 = —.(я; — (» б" — х„р~~)Р;) = . — ЯГР. + Ах Рд+ .Р"Р, . (7.77) др.'др! ' ' ' * др.'д~' Введем матрицу Ь = Г1„— рт. (7.78) Лемма 7.6. Матприча Ь невырождена; выполнено равенсгаво РЬ = т. Доказательство. Нетрудно проверить, что детерминант матрицы а равен детерминанту следующей ((н+ и) х х (н+ и))-матрицы: Аналогично, детерминант матрицы Ь равен детерминанту матри- (71„я ) Следовательно, 7" »1е1а = 7" »1е1 Ь, откуда следует первое из утверждений леммы. Для доказательства второго утверждения, запишем $ »Ц ТЕОРИЯ ПОЛЯ В ФОРМЕ КАРАТЕОДОРИ Подставив в зто выражение Рр = 7" а ' — Х из равенства (7.71), получаем РЬ= ~Р— ~а ~я+ т.
Первое и второе слагаемые взаимно уничтожаются в силу определения (7.68), и мы получаем, что РЬ = я. П Умножим матрицу Якоби,7, заданную равенством (7.77), справа на матрицу Ь. Получаем д~7 Ад у' ю з в з в ! З ю' Пользуясь определением (7.78), заменяем (б~Ь;. + р~я,") на Г б,".. В результате мы доказали, что требование осуществимости преобразования Каратеодорн состоит в том, что детерминант матрицы 7Ь/7 (которая является матрицей квадратичной формы на (н х Р)-матрицах у') не равен нулю, т. е. г(е1 — = г(е1~ ,.
— †(я;.я,. — ях а",.') ФО. (7,79) .7Ь 7 д'У У ~дргдр» 7 9 10. 'Теория поли в форме Каратеодори Вернемся к задаче минимизации функционала дх Далее (г! х и)-матрицу — будем обозначать через р. В качестве д» инвариантного интеграла теории поля 165, 79, 94, 771 возьмем интеграл l дЯ' дЯ' дх' ! г»Я~(»,х)г!...г!»(Я"(»,х)= »1е1~ — + —,. — ~г(». (781) ~ д»л дхг д»л~ Обозначим определитель, стоящий под знаком интеграла (7.81), через»А. при заданных функциях Я(», х) имеем».'! = Сг(», х, р). з1з $10. ТЕОРИЯ ПОЛЯ В ФОРМЕ КАРАТЕОДОРИ з1з ГЛАВА Т,МНОГОМЕРНОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Всюду в дальнейшем предполагается, что функция 7 положительна, что, впрочем, не является существенным ограничением, поскольку решения задачи не меняются, когда к функции 7 прибавляется постоянное слагаемое.
Поэтому, если функция 7 непрерывна на некотором компактном множестве, то к ней можно прибавить достаточно большую положительную константу и превратить ее в положительную функцию. Отметим, что под знаком интеграла (7.81) стоит определидд тель матрицы из производных —. (ГЛ ' Так же, как и в $9, мы будем искать и-мерное слоение Л в области Й, обладающее следующими свойствами: 1) функционал .7 на слоях Х слоения Л совпадает с инвариантным интегралом 1; 2) слои 1 дают решения задачи минимизации интеграла 7: разность функционала .7 иа слое 7 и на любой другой поверхности с краем дЬ, лежащей В области Й, неположительна.
Пусть касательные плоскости слоев слоения Л имеют наклон дх' Тем самым мы предполагаем, что р'(Г, х) — и-мерное интегрируемое распределение на области Й. Из условия 1) следует, что 7дд дд 7'(Г, х, Я Г, х)) = Ь(Г, х, р) = бе1 ~ — + —,. р (Г, х) . (7.82) ~ дГР дх' Требование 2) дает условие на выбор распределения р '(Г, х), которое получается следующим образом. Пусть имеются две и-мерные поверхности с общей границей: одна из них — слой Ь слоения Л, другая — произвольная поверхность У, лежащая в области Й.
Тогда .7(р) — 1(7,) = 7(Г., х, р) 1à — У(Г, х, р)(Г. В силу требования 1) второе слагаемое равно интегралу 1, а в силу инвариантности интеграла 1 интегрирование по поверхности Ь можно заменить интегрированием по поверхности У. Тогда ,7( и ) — .7(Ь ) = (7 ( Г, х, р) — Гл( Г, х, р)) а Г = Ь(з х р) ' ' — 1 Г(Г.
У(т ',р(з ')) В эту формулу подставим выражение ' ' ' (которое Ь(1, х, р) равно 1 в силу формулы (7.82)). Поскольку 7 > О, в силу формулы (7.82) получаем, что Ь(Г, х, р) > О. Если р мало отличается от р, то Ь(Ф, х, р) мало отличается от Ь(Г, х, р) и Ь(~, х, р) > О. Тогда разность 1(~)-~(~)= Л(~,*,р)~ /.7(Г х р) 7(1 х р)~ ~ Ь(Г, х, р) Ь(З, х, р)) будет неотрицательна, если 1(Г, х, р) > У(Г, х, р) (7.83) Ь(Г, х, р) Л(з, х, р)' Неравенство (7.83) означает, что 7/Ь, как функция переменных р при фиксированных значениях (Г,х) достигает своего минимального значения на плоскостях распределения р(Г, х). Разумеется, р(Г, х) зависит от выбора функций д (Г, х). Если в области Й найдется интегрируемое распределение В, задаваемое функциями р(М, х), и функции д (Г, х), и = 1,..., и, которые удовлетворяют соотношениям (7.82) и (7.83), то можно построить слоение Л, соответствующее распределению В. Рассмотрим произвольный слой Ь слоения Л и любой компактный кусок К этого слоя, лежащий в Й.
Возьмем теперь любую другую поверхность Л7 с границей дК, лежащую в Й, и предположим, что на этой поверхности Ь(Г, х, р) > О. Предыдущие рассуждения можно подытожить в виде следующего утверждения. Ут ве ржде н и е 7.16. Про сделанных првдполохенолх значение фуннвнонала Х на поверхностно К меньше нлн равно его значению на новерхностпи Лг. Итак, из соотношений (7.82) и (7.83) нам надо найти функции О', р ($,х). Покажем, что эти функции находятся с помощью преобразования Каратеодори. З14 ГЛАВА 7.МНОГОМЕРНОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ з1В $10. ТЕОРИЙ ПОЛЯ В ФОРМЕ КАРАТЕОДОРИ Функция //Ь достигает минимума в точке р, поэтому — ( — ) =о. Учитывая (7.82), из полученного равенства получаем, что дХ дЬ др' др' Отсюда в силу леммы 7.5 (формула (7.73)) следует, что (7.84) (7.85) Л е м м а 7.7. Сиота на уравнений Я= вР, бе1 в = 1/Р эквивалентна системнее уравнений (7.87) (7.88) к= (йе1с)с ' Я, бе1с=/.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
