М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 55
Текст из файла (страница 55)
В самом деле, 417 — ИГ (В) УЫВ 328 ГЛАВА В. О КВАЛРАТИЧНОЙ СИСТЕМЕ ДИФФЕРЕННИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ При выполнении рассматриваемого условия можно искать глобально определенное решение уравнений (8.15), (8.16), и если таковое найдется, то применима теоремы 8.2. В противном случае нам надо рассматривать задачу с учетом дифференциальных связей на матрицы у', которые будут получены ниже в теореме 8.7. у 8.
Связь уравнения Риккатн в частных производных с уравнением Эйлера Как и в случае однократного интеграла (см. гл. 1) уравнение (8.16) тесно связано с уравнением Эйлера (8.12), которое в матричной форме имеет вид — 1А ~ — -:.с'сl~~- ~(с) — -~ВГ/] =О, в18) дг ~ дг» ~ ~ дг- где (7 — (п х и)-матрица, соответствующая и-параметрическому семейству экстремалей илн, иными словами, полю экстремалей для функционала (8.9).
Определение. Решение уравнения (8.18) называется невырожденным на многообразии 91, если бе1 17(1) ф 0 при всех ВЕЛ. Определение. Решение (7(г) уравнения (8.18) удовлегпворяетп условию симлаетрии, если матрица А» — (7 '+С й» симметрична 3 а и е ч а и и е. В случае однократного интеграла условие симметрии совпадает с условием лагранжевости, т. е.
с условием симметричности матрицы, задающей координаты и-мерного линейного надпространства. Т е о р е м а 8А. Предположиль что (7(В) — решение уравнения (8.18), удовлетворяюиВее в 91 условиям невырожденности и симмеп1рии. Тогда И' = — (7 д(7 (8.19) удовлетворяет уравнениям (8.15), (8.16). $ В. сВязь уРАВнения РиккАти с уРАВнением эйлеРА 329 Доказательство. Условие симметрии, очевидно, совпадает с условием (8.15).
Проверяем выполнение уравнения =(С ) И' + — [А»И»+С 1И". Используя условие (8.15), получаем откуда следует уравнение (8.16). П В отличие от ситуации, соответствующей однократному интегралу, обратная теорема не верна. Не всякое решение уравнения (8.15), (8.16) дает решение уравнения Эйлера (8.18). Для того чтобы это выполнялось, необходимо некоторое дополнительное условие. Рассмотрим соотношения (8.19) как систему уравнений относительно матрицы (7(В) при заданных $У (ь): — = Иг (7. (8.20) Задача Коши для уравнения (8.20) заключается в том, чтобы найти решение этого уравнения, удовлетворяющее условию 17(Го) = (4- Лемма 8.3. Пусть бе1(~~ф0.
Тогда задача гьоши для уравнений (8.20) лохально разрешима тогда и только тогда, когда — И вЂ” — И вЂ” ]И', И']=0. (8.21) д д Здесь Щ, %' ]= Ж Иà — И»Иà — номмУгпатоР матРНЧ И„ и ИГ» До к а з а т е л ь с т в о. Локальная разрешимость системы (8.20) эквивалентна замкнутости матричной дифференциальной формы (8.22) ЗЗО ГЛАВА З. О КВАДРАТИЧНОЙ СИСТЕМЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Коэффициент прн Иг д«(г~ у внешнего дифференциала этой формы равен < 81,ГЛ вЂ” — —.+[И,И )~1У=О. дгл нг ' Р1 (8.23) Поскольку де1 У(г) ф 0 в достаточно малой окрестности точки го, условие (8.23) эквивалентно (8.21).
П Утверждение 8.1. Пусть фунхиии И~ (а=1, ..., «) непрерывны на многообразии 01 и удовлетворяют условию (8.21). Тогда решение У(1) систпемы (8.20) с невы- рожденным начальным условием У(1В)= У (т. е. 11е1 У, ЧАО) существует, единственно и продолггамо (хах многозначная фунхчия) на все многообразие 07. При атом бе1 У( 4) 40 при всех Ф Е Я. Доказательство. Рассмотрим на многообразии 07произвольную кривую у(з), проходящую через точку Те.
Система (8.20) индуцирует линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с независимым переменным з на кривой 7. Коэффициенты этой системы непрерывны, и поэтому ограничение У(з) = У(Ф)~„определено и продолжимо по в, причем бе1 У(г) ~О. Замкнутость дифференциальной формы (8.22) гарантирует однозначность У(1) при гомотопном изменении пути т, соединяющего точки 1 и г. Если многообразие 01 неодносвязно, то функция У(1) может оказаться многозначной, т. е. значение У(1) будет зависеть от гомотопического класса пути 7. Компактификация пространства, на котором определено уравнение Риккати в частных производных Для пояснения геометрического смысла уравнения (8.16) рассмотрим следующую вспомогательн~ю конструкцию.
Введем на многообразии Грассмана С„(1к'ч" + 1), т. е. многообразии и-мерных надпространств пространства К"1" + '1, специальную систему координат, являющуюся матричным аналогом проективных координат на Жр». Рассмотрим в В'""+О набор из п-плоскостей, в количестве «+ 1, которые находятся в общем положении, т. е. Т Е Т, Е... Е Т„= К"1" +11. Обозначим через х оператор проектирования на надпространство Т параллельно подпространству Ю Т . Пусть 1У— $4. СВЯЗНОСТЬ, ОПРЕДЕЛЯЕМАЯ РЕШЕНИЕМ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ 331 произвольная и-мерная плоскость.
Если зафиксировать базисы в плоскостях у)' и Т, а = О,..., «, то набор, состоящий из «+ 1 матриц размера и х и отображений к: И' — » Т (которые мы также будем обозначать через х ), мы назовем матричными однородными хоординатами плоскости»У. 3 а м е ч а н и е. Изменение базиса в плоскости Ю' приводит к умножению всех матриц х справа на одну и ту же невырожденную матрицу. Рассмотрим карты М в С„(Ж~"+ 1), состоящие из плоскостей»У, трансверсальных к Е Т,. Тогда ограничение проектолфа ра х на РУ Е М, является взаимно однозначным отображением. Матричными аффиннь»ми хоординатами плоскости»1' в данной карте будут называться матрицы УУ' = х,з.
', х ~ О. Переход нз одной карты в другую описывается линейным преобразованием пространства й'Ч"~ '1, которое в блочной форме имеет вид У =Я(;Х' (греческие индексы нумеруют блоки, являющиеся (их и)-матрицами). При этом матричные аффинные координаты преобразуются как вектор из обобщенных дробно- линейных преобразований вида (21~~ + щ у )уа)(р~О + й(0 ),уа)-1 Последняя формула определяет действие Я.(п(«+ 1)) на многообразии С„(В'""+0).
Рассматривая это действие как замену переменных в уравнении (8.16), можно доопределить это уравнение на «бесконечно удаленных» точках карты М. Тем самым мы получаем возможность продолжать решения уравнения (8.16), уходящие на бесконечность, с помощью перехода от карты М' к другой карте на С„(Ж"~" + О).
ф 4. Связность, определяемая решением уравнения Риккати в частных производных Напомним, что аффинноб связностью Ч на векторном расслоении яс С вЂ” «Я" называется гладкое распределение «- мерных плоскостей (называемых горизонтальными) в касательных пространствах Т„б. Это распределение должно обладать следующим свойством: оператор проектирования касательных векторов к расслоению иа слой параллельно горизонтальной плоскости линейно зависит От точки слоя (см. гл.
7). См. 127, ЗЗ, 72, 5]. 332 глАВА К О КВАЯРАТИЧНОЙ системе диФФЕРЕННИАльных УРАВнений Для упрощения формул мы будем использовать для обозначения касательных векторов не дифференциальные операторы, а двойственные к ним дифференциазьные формы, оговаривая каждый раз, что именно имеется в виду: дифференциальная форма (функционал на множестве касательных векторов) или касательный вектор (двойственный к ней). Связность Ч однозначно определяется векторнозначной дифференциальной формой, определяющей проекцию касательных векторов (аг, Ых) в точке (г, х) иа слой, Эта форма должна линейно зависеть от х и давать тождественное отображение на вертикальных векторах (О, ах).
Следователъно, она должна иметь вид м=4х — И" (ЦхИ . Соответствующий оператор ковариантного дифференцирования по направлению касательного вектора о к многообразию 81 есть Ч„х( г) = — и — И' (г)хе . дх (8.24) Оператор проектирования касателъных векторов (аг, ах) в точке (г, х) на слой имеет вид (сИ,4х) (О,йх — $У хаг ). Горнзонтальнымн векторами связности Ч являются те векторы (аг,ах), которые лежат в ядре этого оператора: ах— — И' х Иг = О. Следовательно, горизонтальная компонента вектора (аг, дх) есть вектор (аг, И' хат ).
Напомним, что связность называется плоской, если ее тензор кривизны равен нулю. Утверждение 8.2. Условие(8.21) выполнено тогда и только тогда, когда связность Ч плоская. Доказательство. Вычислим дифференциальную форму кривизны й связности Ч. Имеем аы=-и* дх ЛЮ вЂ” — ю' хаг ЛЙГ .
По определению (см. гл. 7) внешняя ковариантная производная 17ш формы ш совпадает со значением формы аю на горизонтальных компонентах вектора (а г, ах). Поэтому Й=Пш= — и~' (ш".х'агэ)Лог — — ю' х"агз Л а'г . «А ДГ джаз «ь в 4. сВязнОсть. ОПРеделяемвя Решением уРАВнения РиккАтн 333 Коэффициент внешней формы.0ы при х аг Лаг совпадает А «З с левой частью (8.21). С1 Используя лемму 8.3 и утверждение 8.2, можно получить следующий результат. Т е о р е м а 8.5 (о параметризации). Аффинная связность Ч, определяемая дифференциальной формой м, являегпся плоской тогда и только тогда, когда существует такая матричнозначная функция 17(ь), что бе1 17(ь) ТА О и И' (ь) = — (7 1.
Функция (7(й) определена с точностью до дс у множения справа на постоянную матрицу. дГ7 Доказательство. Пусть И' = — (7 . Тогда в силу леммы 8.3 выполнено условие (8.21), и из утверждения 8.2 следует, что связность Ч плоская. Пусть теперь связность Ч плоская. Тогда система уравнений — = Ж 17 удовлетворяет условиям интегрируемости, и в силу д««« верждения 8.! для любого Ц>, бе1 (7 ф О, существует единственное решение с7(г) такое, что Г7(го) = Ц, причем ое1 ( ) ЭА — 17 1 фО.
Сл довательно, Ж = — 17 и 17(г) однозначно определена д(7 с точностью до матрицы Гго. С) Сл е дст в и е 8 2. Связность Ч, построенная с помощью решения уравнений (8.15), (8.16), порождена нев ырожденным решением матричного уравнения Эйлера (8.18) тогда и только тогда, когда она плоская. Следует добавить, что условие (8.21) есть в то же время условие ннтегрируемости связности Ч илн, что то же, условие инволютивностн ее горизонтальных плоскостей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
