М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 56
Текст из файла (страница 56)
А именно, имеет место следующий факт. Утверждение 83. Аффинная связность Ч, определяемая формой м, интегрируема тогда и только тогда, когда она плоская. До ка з а те лье т в о. В силу теоремы Фробеннуса векторная дифференциальная форма м вполне интегрируема тогда и только тогда, когда ее внешняя производная ам лежит в идеале 1, порожденном компонентами формы м. Имея это в виду, 334 ГЛАВА 3. О ХВАЛРАтичнОЙ системе диФФеРенциАльных уРАВнений запишем з(аз в виде з(аз= — изй (з1х — из" х'з12Р) ЛИ вЂ” — изй х"Ига Л з(г дгв ай — ~ы йиу х'з($ Л вз = — и'й(ззз Л з(з )— з д з з з й а — — — из — — ы' +из .изз — из .из' х Ю лз(г~.
2 ~дга эй дзэ ай ау зй лз ай~ Первое слагаемое в полученном выражении для йьз лежит в идеале 7. Поэтому для того, чтобы форма з(аз лежала в идеале Х (и тем самым для интегрируемости связности з7), необходимо н достаточно, чтобы й =О. Условие (8.21) есть следствие существования и независимых решений системы уравнений Эйлера (8.12), которые мы рассматриваем как горизонтальные сечения расслоения С (см. теорему 7.1, а также 133]).
Условие (8.21) связано также с понятием поля экстремалей. Поле экстремалей — это и-параметрическое семейство решений уравнений Эйлера такое, что пространство параметров диффеоморфно отображается на слои расслоения с, на котором определен некоторый инвариантный интеграл. Непосредственным следствием утверждений 8.1 н 8.2 является следующая теорема. Теорема 8.6. Решение уравнений (8.15), (8.16) порождает поле эхстремалей если определяемая этим решением аффиннол связность плоеная.
Теоремы 8.2 и 8.6 показывают, что подход к вопросу о знакоопределенности функционала (8.9), использующий уравнения (8.15), (8.16), предпочтительнее подхода, использующего поле экстремалей, так как теорема 8.2 дает достаточное условие знакоопределенности и при отсутствии поля экстремалей. Теорема 8.1 определяет условия, при которых функционал (8.9) сводится к виду г 4. сВЯЗНОСтЬ, ОПРЕДЕЛЯемАя РеШЕНИем УРАВНЕНИЯ РНККАТИ 333 П р и и е р 8.1.
Рассмотрим функционал — + 2 + з + дгг 1 1)2 2)2)+ 2 1 2,~21л,122 где область интегрирования 91 есть кольцо р, < г < рг, (зр, г)— полярные координаты, расслоение С тривиальное. Положительная определенность рассматриваемого функционала очевидна. Однако иа этом примере мы покажем, что многозначному решению уравнения Эйлера (8.12) может отвечать однозначное, глобально определенное решение уравнения (8.16). Система уравнений Эйлера (8.12) имеет вид дх' -(1+1/гг)х' — (17г)хг =О Ы-(1+17, )хг Д,)х =О.
Ее матричное решение есть многозначная функция зз (с1йг 31тг) Уравнение (8.16) имеет вид — — '- ~~'+'~' 1~" ~1 =О. — + — 2+% +% — 1 1~г 1 „1~ г!=- Решение этого уравнения найдем, используя найденное решение уравнения Эйлера: з",уа4 ~гз (8.25) д*' у'= — — ш' х. дзз ай (8.26) где через у' обозначено выражение Полученное решение однозначно. д йу1 Действительно, матрицы $~ и йуг коммутнруют и — '— дд1У вЂ” — г =О, следовательно, соотношение (8.21) выполнено.
дз1 336 ГЛАВА 3. О КВАДРАТИЧНОЙ СИСТЕМЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 3 4. СВЯЗНОСТЬ, ОПРЕДЕЛЯЕМАЯ РЕШЕНИЕМ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ 337 Пример 8.2. Пусть Я вЂ” односвязная область и с = 1 = Я х И . В этом случае тт — скалярные функции„и условие интегрируемости (8.21) принимает вид д14т д УУ дз д2л Последнее означает, что дифференциальная форма 14' а'2 замкнута н в односвязном случае точна, т. е. существует такая дд функция Я(2), что — „= т!'. Тогда система уравнений (8.16) сводится к одному квадратичному уравнению с эллиптической главном частью д / лд51,Яда дЯ дС' — ~А ~ — /+А'а — — — В+ — =О.
(8.27) д ~ д Я.1 д дз дГ П р и м е р 8.3. Пусть в примере 8.2 А Р = б Р— единичная матрица; С =0; В = — ЬР. Тогда уравнение (8.27) принимает вид (8.28) Уравнение (8.28) допускает частные решения вида д= к+1п[$!п(аУ2 +А.)]. (8.29) Следовательно, если область Я лежит между некоторыми параллельными плоскостями П, н П, расстояние между которыми меньше к/а1, то независимо от размеров и формы области Я уравнение (8.28) имеет решение, определенное иа всей области Я, что гарантирует положительную определенность функционала [ [г '1 —,) — ~]««.
18.30« а Действительно, уравнение (8.28) инвариантно относительно ортогональных преобразований, что позволяет перевести плоскости П,, П в плоскости, параллельные одной из координатных плоскостей, и использовать решение (8.29), определяющее поле экстремалей в Я. Чтобы сформулировать более общий результат, введем следующее определение. Пусть А".
— Пряиая 2 = 1а+ д с направляющим вектором 1, где з е АА является параметром на этой прямой; д й Ж", Обозначим через 4~1(Я) длину минимального отрезка, содержащего С, П Я. Определение. Шириной области Я в направлении вектора 1 назовем а1(Я) = зцр й,1(Я). тая" Утверждение 8.4. Если «1(Я) < — — е, где 0<е< —, « Ь1 тпо функционал (8.30) нсотприцатпельно определен. Доказательство. Запишемуравнение(8.16)дляфункционала (8.30): Вт 2 ч~~ 14т2 (8.31) а а Совершим з й" ортогональное преобразование, переводящее 1 в ось Ог'. Уравнение (8.31) прн этом преобразовании сохраняется.
Левая и правая границы области в новых координатах могут быть записаны в виде 2' = д (2,..., 2"), 2 = д+(а,, 2"), причем 0<д+ — д < — — е. Функции И', =а1С18а1(2' — д (г~,... ..., Га) + е), тт' =0 при у > 1 дают решение уравнения (8.31), определенное при всех г е Я. По теореме 8.2 функционал (8.30) неотрицателен. Заметим, что найденное решение не удовлетворяет условию интегрнруемости (8.21), и определяемая им связность имеет ненулевую кривизну. Это означает, что нельзя построить (даже многозначного) поля экстремалей, порожденного данной связностью.
Тем не менее достаточное условие получается в терминах решения уравнения (8.16). П р и и е р 8.4. Рассмотрим функционал + Вул'х'11111 Л... Л Г12", (8 32) где  — постоянная симметрическая матрица, спектр которой лежит правее точки -Л (Л > 0); С = Ж" х Я. 333 ГЛАВА 8. О КВАДРАТИЧНОЙ СИСТЕМЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 9 4. связность. ОПРеделяемАя Решением уРАВнения РиккАти 339 Утверждение 8.5. Предполотхилт, чтпо т(~(Я)( — -е. Тогда фуниционал (8.32) неотприцатпелен. Доказательство. Уравнение (8.16) для функционала (8.32) имеет вид — /1+...+ ~ — "~ = — И~ Иl —...— ИГ Ит. (8.33) д%~~ /дв,~ т т д! ''' д»» ! 1 Как и в примере 8.3, переведем ортогональным преобразованием направление 1 в ось 01~.
Совершим теперь ортогональное преобразование в слоях К", диагонализирующее матрицу В. Положим И' = О при т > 1 и будем искать диагональные решения 7 уравнения (8.33): И', = йап(о„..., е„). Имеем от = Л, — ттз, (8.34) где Л, — собственные значения матрицы В. Рассмотрим решение системы (8.34): от= / — Л,С1тт / — Л(1' — д (Гг,...,т.")+г) при Лт(О, тт.=(1' — д (18,...,1')+ г) ' при Л. =О, тть= /Л сй /Л (1~ — д (гг,..., 8')+ в) при Л„>О. Легко видеть, что это решение определено при всех 1 Е 91, что доказывает неотрицательную определенность функционала (8.32). Условие потеыциальыосты теыворыых полей Для того чтобы иметь возможность исследовать функционал (8.9) в общем случае, необходимо выяснить, какие функции у' можно подставлять под знак интеграла (8.25), если известно, что они получены с помощью соотношений (8.26).
Следовательно, необходимо найти образ дифференциального оператора, стоящего в правой части соотношения (8.26). Ответ на этот вопрос удобно формулировать в терминах аффинной связности Ч. А именно: в силу (8.24) правая часть соотношений (8.26) совпадает со значением ковариантной производной от сечения х(-) по направлению вектора д/д1 . Определение. Назовем тензорное поле у' потпенциальньтлт, если оно локально может быть записано как ковариантная производная От некоторого сечения. В силУ последнего опРеделениЯ обРаз опеРатоРа ЧзГз, состоит из потенциальных тензорных полей.
Т е о р е м а 8.7. Пусть Ч вЂ” плоская связность на расслоении с'. Тогда необходилты»н и достпатпоиньтлт условием потпенциальностпи тпензорного поля у' являетпся соотпноитение Ч, ут=Ч, у,'. (8.35) зтг Д о к а з а т е л ь с т в о. Перепишем (8.26) в виде пфаффовой системы уравнений т(х=(УУ' х+у )т18 .
Используя (8.21), легко проверить, что условие интегрируемости этой пфаффовой системы д д — (И' х+ у ) = — (Ит~х+ у, ) эквивалентно соотношению (8.35). 3 а м е ч а н не. Доказательство теоремы 8.7 можно получить также из формулы для тензора кривизны В связности "7 В(Х, У) ='Ч Ч вЂ” ЧУׄ— Ч „ Поскольку А = О, а коммутатор координатных векторных полей д/д1 н д/дт~ Равен нУлю, полУчаем, что опеРатоРы Ч81зт» и Ч81втг коммутируют, т. е.
вторые ковариантные производные от любого сечения х( ) для плоской связности не зависят от порядка дифференцирования. Вновь заметим, что в случае, когда многообразие % неодносвязно, локальное сечение х( ), являющееся потенциалом тензорного поля у', при продолжении на 91 может дать многозначную функцию. послесловие ПОСЛЕСЛОВИЕ Уравнения с квадратичной правой частью (уравнения Риккати) связаны не только с вариационным исчислением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
