М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Выберем г -мерную плоскость Л с наклоном С'тт7, т. е. л Л, и с уравнением х' = г' + К, и подберем свободный член К так, чтобы пло- 26 скость Л пересекалась с плоскостью х = 22 = О по грани Л . Тогда плоскость Л будет задаваться уравнением х' = г'+ в~. Аналогично рассмотрим плоскость Л с наклоном — ~277 и с уравнением х' = — 2'+в~, ко- торая пересекается с плоскостью х = О по грани Л+. Пересечение этих плоскостей Л+г!Л описывается уравнениями 2~ = О, х! = Е2.
В (Р— 1)-мерной плоскости Л+ П Л выберем верши- ны многогранника !.1 следующим образом. Обозначим через Н,,: Л+ -+ А гомотетию с коэффициентом 1 — в, описываемую соотношением Н,;! 2тт-+(1 — е)2! (1=2,..., и). При гомотетии Н,, куб с ребром 2е, лежащий в плоскости А+, перейдет в куб с ребром 2Š— 2Е . В качестве вершин многогранника Я возьмем 2 набор точек с координатами (О, х(г — г~),..., х(г — г2), гг), т. е. координата с номером 1 всегда считается равной нулю; координата по оси х у всех вершин равна в; а координаты с номера! 2.
ми 2,..., Р— суть координаты вершин куба с центром в начале координат и с ребром длины в — е2. Итак, верхним основанием многогранника 1;) служит куб Нт,А+, который сдвинут в плоскость 2' = О и поднят по оси х' на высоту е2. Верхнее основание имеет размерность тт — 1 и на значение функционала (7.49) непосредственного влияния не оказывает. Остальные грани многогранника Я будем называть боковыми. Онн представляют собой многомерные усеченные пирамиды. Запишем уравнения г-мерных боковых граней многогранника Я в виде х' =Р2+К„где Р, — некоторые векторы, индекс з у которых определяет номер боковой грани. Л е м м а 7.4. Козффициентпы Р, остпаютпся ограниченными при г -+ О.
Объем граней, лехгатиих в плоскостпях Л+ и Л, имеет порядок О(е" '). Объем всею остальных бог+! ковых граней многогранника Я имеетп порядок о(в ). Доказательство. Поскольку Н,,— гомотетия, расстояния от проекций вершин многогранйика Я на плоскость х = О до ближайших (Р— 1)-мерных граней д равны с~. Поэтому высоты боковых граней имеют порядок г~. Две т-мерные пло! т ! скости в (Р+1)-мерном пространстве переменных (2,..., 2, х ) пересекаются по (и — 1)-мерной плоскости. Их взаимное расположение определяется единственным двугранным углом, соответствующим углу между нормальными к ним векторами.
В рассматриваемой ситуации все эти углы равны я/4, что и доказывает первое утверждение леммы. Основанием грани Л+ (равно как и Л ) служит куб с объемом г" ' высота этой грани имеет порядок г~. Высота каждой 2 из остальных боковых граней также имеет порядок е, однако объем нх оснований равен г". Лемма 7.4 доказана. П Продолжим доказательство теоремы.
Вычислим функционал (7.49) на построенной вариации. Объем грани Л+ обозначим через 17+. Разлагая коэффициенты а,,'т(2) по формуле Тейлора в точке 2 = 0 и учитывая, что функции х(2) на рассматриваемой вариации имеют порядок малости г, получаем 6 Х=а, э(О)г.тС277 77 2Р з"+ +о(е" + ) <О. Теорема доказана. О Лемма 7.3 обьясняет, почему в условии Адамара— Лежандра используются только матрицы ранга 1. В свое время этот факт явился сенсацией для многомерного варнационного исчисления. Работа Адамара стимулировала появление целой серии работ, авторы которых стремились сократить пробел между необходимыми и достаточными условиями оптимальности для кратных ЗОО ГЛАВА 7, МНОГОМЕРНОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ интегралов.
Одной из ярких работ этого цикла явилась работа Терпстра ]114], который рассмотрел абстрактные алгебраические вопросы, навеянные вышеупомянутой проблематикой. А именно, пусть — квадратичная форма на (пх и)-матрицах у'. Рассмотрим конус матриц ранга 1 (т. е. матрицы вида у' = ~'71 ). На этом конусе форма (7.50) превращается в биквадратичную форму а, ~~'('771 Я,, (7.51) определенную на парах векторов 4 Е К", 71 Е (АА")'. Предположим, что форма (7.50) неотрицательна на всех матрицах ранга 1. Терпстра поставил вопрос: можно ли превратить форму (7.50) в положительно определенную форму иа всем пространстве матриц путем добавления к ней членов г;;.~(П' 4 — рай.) где тензоры г, кососимметричные как по индексам а,,д, так и «з по индексам т', 7'у Заметим, что добавленные члены обращаются в нуль на матрицах ранга 1 и тем самым биквадратичная форма (7.51) не изменяется, в то время как форма (7.50), разумеется, претерпевает существенные изменения.
Терпстра доказал, что ответ положителен в случае, когда либо л, либо и не превосходит 2. В противном случае (когда обе эти размерности строго больше двух) ответ отрицательный: Терпстра построил пример положительно определенной биквадратичной формы (7.51) на пространстве й~ х (ж~)', которая не может быть превращена в положительно определенную форму вида (7.50) с помощью вышеописанной процедуры. Используя конструкцию Терпстра, Д, В.
Матюхин [31] недавно доказал, что при ш1п(я„и) > 3 формы, обладающие этим свойством, образуют в пространстве всех форм открытое множество. Казалось бы, результаты Терпстра продемонстрировали, что между необходимым условием Адамара — Лежандра и достаточными условиями минимума кратного интеграла имеется существенный зазор. Однако в конце 40-х годов Л. Ван-Хов ]115] Э 7. УСЛОВИЯ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОСТИ ВТОРОЙ ВАРИАЦИИ 301 доказал, что естественное усиление условия Адамара < ~'~'71 7)7 > ВЫ!~!771~ (752) дт ~ д1Л~ является локально достаточным условием С,-минимума.
Выражение «локально достаточное» означает, что область, по которой происходит интегрирование, является достаточно малой. Идея доказательства Ван-Хоза состоит в следующем. Вопервых, коэффициенты замораживаются, т. е. фиксируется аргумент с = Тз в коэффициентах квадратичной формы (7.49) (это не повлияет на оценки, возникающие при доказательстве положительной определенности, потому что в качестве области интегрирования можно выбрать сколь угодно малую окрестность точки Тз). Во-вторых, к полученному функционалу с постоянными коэффициентами применяется преобразование Фурье и используется равенство Парсеваля. Эта конструкция вскрывает еще одну (отличную от леммы 7.3) внутреннюю причину того факта, что в условии Адамара — Лежандра участвуют лишь матрицы ранга 1.
А именно, при применении преобразования Фурье операция дифференцирования переходит в операцию умножения на соответствующую независимую переменную. Если образом функции х*(1) при преобразовании Фурье является функция ~*(71), то образом произдл' водной — является С'77 . В результате под знаком интеграла дт в равенстве Парсеваля возникает биквадратичная форма, фигурирующая в левой части формулы (7.52), и неравенство (7.52) гарантирует положительную определенность рассматриваемого функционала. Для доказательства достаточных условий сильного минимума на А больших~ кусках поверхности надо построить аналог гильбертовой теории поля для многомерного вариационного исчисления.
Первый вариант такой теории был предложен К. Каратеодори в 20-х годах. Другой (относительно более простой) вариант, который основан нз несколько более жестких требованиях к минимизируемому функционалу, был получен Г. Вейлем в 30-х годах. Изложим сначала конструкцию Г. Вейля.
зоз «г теоРИЯ ПОЛЯ В ФОРМЕ ВЕДЕЛЯ 304 ГЛАВА 7. МНОГОМЕРНОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Подставив (7.58) в подынтегральное выражение формулы (7.56), получим функцию, аналогичную функции Вейерштрасса для одномерного вариационного исчисления: =г г х,— — ?(дахр) — ' ' г рг (759) д?(г,х,р)/дхг .т Для того чтобы найти геодезический наклон поля, уравнение (7.58) следует разрешить относительно переменных р. Уравнение для функций Я получается из (7.55), если в них подставить полученное выражение.
После этого в (7.55) неизвестными остаются только функции Я (г, х), а = 1,..., и, которые полностью определяют поле экстремалей. Условие локальной разрешимости (7.58) относительно переменных р' состоит в том, что детерминант (ни х нг7)-матрицы дгУ(Г, х> р) д (',*,') д ('") отличен от нуля. Необходимым условием максимума функции (7.57) является неотрицательная определенность этой матрицы. Это условие называется условием Лезеандра — Вейн.
Таким образом, вышеописанная конструкция приводит к полному аналогу преобразования Лежандра, роль импульсов дяа в котором играют функции —,, а роль гамильтониана — функция (7.5?). дхг Аналогом усиленного условия Лежандра для одномерного вариациониого исчисления является следующее условие: квадратичная форма д )(г, х, р) (7.60) на множестве (и х 77)-матриц у' является положительно определенной. Это условие дает возможность (локально) разрешить уравнение (7.58) относительно переменных р. Роль функции Вейерштрасса играет выражение (7.59), которое будет положительным, если функция ?(г, х, р) выпукла по переменным р (при этом матрица р рассматривается как один «длинный«вектор, имеющий ггг координат). Уравнение (7.55), после подстановки в него выражения для геодезического наклона, оказывается прямым аналогом уравнения Гамильтона — Якоби. При этом функции Я естественно называть дебсгпвнлми.
Существенная разница по сравнению с одномерным Вариационным исчислением состоит в том, что в многомерном случае для и неизвестных функций Я (г, х) имеется только одно связывающее их уравнение. Поэтому возникает принципиальная возможность произвольно задать и — 1 из этих функций и решать полученное после их подстановки уравнение относительно оставшейся неизвестной функции. В этом смысле задача многомерного вариационного исчисления имеет «существенно больше« полей экстремалей, чем задача одномерного вариационного исчисления. Мы видим, что в основе построения поля экстремалей, отвечающего замкнутой дифференциальной форме г1Я л(г(г), лежит преобразование Лежандра — Вейля. При этом, в случае выдх* пуклости функции ? по переменным р' = — гарантирована а дга неотрицательность функции Вейерштрасса, откуда следует достаточное условие сильного минимума в форме теории поля. Другой подход к построению поля экстремалей интеграла (7.53) предложил К.
Каратеодори. Идея Каратеодори была сложнее и тоньше. Во-первых, он предложил включить преобразование Лежандра в некоторое семейство преобразований, которые называются 7«онгпа7«ганьгмн. Во-вторых, он ввел и изучил некоторое конкретное контактное преобразование, которое связано с дифференциальной формой г(Я' д... д НЯ" (?.61) так же, как преобразование Лежандра — Вейля связано с дифференциальной формой 71 Я д (гг'г) . Прежде чем описывать конструкцию Каратеодори, посмотрим на преобразование Лежандра — Вейля с чисто алгебраической точки зрения.
Пусть (~,Э7,р',зг), 1<«<п, 1<а<и, (762) — набор, состоящий из 2(н + 1) величин. Предположим, что величины (?.62) связаны соотношением (7.63) Г+ ~Р = р'77. = ТГ(7гр). $ к ПРЕОВРАЗОВАНИЕ КАРАТЕОДОРИ (7.67) а=11„— ггр, Р+Ф=Р,.'П'. (7.65) или РП 7гр (7.69) Тогда Р + Ф = Тг(РП). 79 зов ГЛАВА Х МНОГОМЕРНОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Далее У будем называть исходной функцией; 99 — гамильтонианом; р = (р' ) — (и х 7»)-матрнцей переменных (она соответствует де' матрице из частных производных —, стоящей под знаком подг ' дынтегральной функции); 7г = (т,. ) — (и х и)-матрицей импульсов (она соответствует частным производным подынтегральной функции по производным от неизвестных функций).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
