М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Они возникают в теории бескоиечномерных вполне интегрируемых гамильтоновых систем [16, 62, 98], при изучении модулей алгебраических кривых и поверхностей [118, 48[, при исследовании проблемы уииформизации в теории конформных отображений [Щ, при применении преобразования Бэклунда в квантовой теории поля [82) и во многих других классических и современных областях математики. За рамками изложения в данной книге остался ряд интереснейших тем, связанных с этими уравнениями. Назовем лишь некоторые из иих.
При изучении линейно-квадратичных задач с распределенными параметрами появляются операторные уравнения Риккати [71, 78[. Это эволюционные дифференциальные уравнения с квадратичной правой частью, которые действуют на бесконечномерном банаховом пространстве Х. Операторные уравнения Риккати можно рассматривать как уравнения на бесконечномериом многообразии Грассмана (или на бесконечномерном многообразии Лагранжа — Грассмана, если пространство Х снабжено симплектической структурой [113[).
Изомонодромные деформации комплексных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений описываются уравнениями Шлезингера [108, 7[ — системой уравнений в частных производных, правая часть которой квадратично зависит от неизвестных матричных функций. Квадратичные члены в уравнении Шлезингера имеют вид коммутаторов от неизвестных матричных функций н в этом смысле являются кососимметрическими, в то время как квадратичные уравнения в частных производных, рассмотренные в настоящей книге, имеют симметрические квадратичные члены.
Ряд вполне интегрируемых гамильтоновых систем (как например, цепочка Тоды) сводится к уравнению с двойным комму- татором, т. е. к уравнениям типа Лакса с квадратичной нелиней- ностью вида Н=[77,[я,й [[, где л7 — постоянный оператор. Уравнения с двойным коммутатором изучались в работах Р. Брокета и его школы с помощью техники групп и алгебр Ли [62, 60[. Один из лейтмотивов данной книги — связь уравнений Риккати с однородными пространствами, на которых действует группа обобщенных дробно-линейных преобразовавний (точно так же как линейные уравнения связаны с группой линейных преобразований), Теория уравнений с квадратичной правой частью далека от завершения. Она ждет молодых исследователей, к которым и обращена эта книга.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Алексеев В. М„Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — Мл Наука, 1970, 2. Андрианов А. Н., Журавлев В. Т. Модулярные формы и операторы Гекке. — Мх Наука, 1990. 3. Арнольд В. И. Математнчесхне методы классической механнкн,— Мх Наука, 1974. 4. А р н о л ь д В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— Мс Наука, 1984. 5.
Атья М. Геометрня н физика узлов.— Мх Мир, 1995. 6. Блисс Дж. Лекции по вариационномуисчислению.— Мс ИЛ, 1950. 7. Бол ибрух А. А. 21.я проблема Гильбертадзя линейных фуксовых систем гУ Труды МИАН. — Т. 206. — М.: Наука, 1994. 8. Вольф Дж. Пространства постояннойкривизны.— Мс Наука, 1982. 9. Гамильтон У. Р. Избранные труды.— М.: Наука, 1994.
1О. Г у р е в н ч Г. Б. Основы теория ажебраических инвариантов.— М.: ГИТТЛ, 1948. 11. Гуров Э. Курс математического анализа. Т. 2.— М.-Л.: ОНТИ, 1936. 12. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные днфференцизльнме операторы. Т. 1. — Мс ИЛ, 1962. 13. Дао Чонг Тхи, Фоменко А.Т. Минимальные поверхности н проблема Плато. — М.: Наука, 1987. !4. Дж уст н Э. Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации.
— Мс Мнр, !989. 15. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия.— М.: Наука, 1979. 16. 3 а х а р о в В. Б., Ф а д де е в Л. Д. Уравнение Кортвега — де Фриза — вполне интегрируемая гамильтонова система гг' Функц. анализ и его приложения. — 1971. — Т. 5, М 4. — С. 18-27. 17. 3 а х а р - И т к н н М. Х.
Матричное дифференциальное уравнение Риккати и полугруппв дробно-линейных преобразований У~ УМН. — 1973.— Т. 28, вып. 3. — С. 83-120. 18. Зели хин М. И. К теории матричного уравнения Риккати гг' Мат. сборник. — 1991. — Т.
!82, М 7. — С. 970-984. 19. 3 е л и к и н М. И. К теории матричного уравнения Риккатж 2,У Мат. сборник. — 1992. — Т. 183, М 10. — С. 87-108. Ю. 3 е л н к н н М. И. Связность, порождаемая задачей минимизации кратного интеграла д' Мат. сборник. — 1997. — Т, 188, М 1. — С. 59-72. 21. 3 н г е л ь К. Автоморфные формы нескольких комплексных переменных. — М.: ИЛ, 1954.
22. Кар т а н Э. Геометрия групп Лн и симметрические пространства.— М.; ИЛ, 1949. 23, К и р и л л о в А. А. Элементы теории представлений. — М.: Наука, 1972. 24. Кл е й в Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. — Мс Наука, 1989. 25. К л е й н Ф. Неевклидова геометрия. — М. — Лс ОНТИ, 1936. 26.
Кл и ффорд В. Здравый смысл точных наук. Начало учения о чнсзе и пространстве. — М., 1910. 27. К о б а я с и Ш., Н о и н д з у К. Основы дифференциавьиой геометрии. Т. 1. — Мс Наука, 1981. 28. Кура нт Р. Интеграл Дирнхле н минимальные поверхности. — М.: ИЛ, 1953. 29. Л е н г С, Алгебра. — М.; Мнр, 1968. 30. Л и о н Ж„В е р н ь М.
Представление Вейля, индекс Маслова и тэта ряды. — Мх Мнр, 1983. 31. Матюхин Д. В. О положительно определенныхбикзадратичных формах, непредставимых в виде суммы квадратов билинейных форм Я~ Вести. МГУ. Сер. 1. — 1995. — № 2. — С. 29-33, 32. Милнор Дж. Теория Морса.— М.: Мир, 1965. ЗЗ. Мил но р Дж., С та шеф Дж. Характеристические классы.— Мс Мир, 1979.
34. М и щ е в к о А. С., Ф о и е н к о А. Т. Курс дифференциальной топологии и топологии. — М.. Изд-во МГУ, 1980. 35. Н а р а с и м х а н Р. Анализ на действительных н комплексных многообразиях. — М.: Мир, 1971. 36. Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. 2.— Мх Наука, 1975. 37. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производныын. — Мс Физматтиэ, 1961, 38.
Понтрягин Л. С. Непрерывные группы.— Мз Наука, 1984. 39. П о н т р я г н н Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Мх Физматгиз, 196!. 40. Прасолов В. В., Соловьев Ю. П. Эллиптические функции и алгебраические уравнения. — М.: Факториал, 1997. 41. П р е с л к Э., С и г а л Г. Пространство петель. — Мл Мир, 1990. 42.
П я т е ц к н й - Ш а п и р о И. И. Геометрия класснческих областей н теория звтоморфных функций. — Мх Физматгиз, 1961. 43. Р а ш е в с к и й П. К. Курс дифференциальной геометрии.— Мс ГИТТЛ, !956. 44. Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — Мз Наука, 1977. 45. Серр Ж.-П. Группы н алгебрыЛи.— Мс Мир, 1969. 46. С т е и а н о в В. В. Курс дифференциальных урзвненнй. — М.: ГИТТЛ, 1953. 47. С у п р у н Д. Г. Обобщение преобразования Каратеодори Я~ Вести. МГУ. Сер. 1.
— 1984. — № 3. С. 82-85. 48. Т ю р и н А. Н. О периодах квадратичных днфференциалов.— УМН. — 1978. — Т. 33, вмп. 6. — С. 149-195. 49. У о р н е р Ф. Основы теории гладких многообразий н групп Ли.— Мх Мнр, 1987. 50. Ф е д е р е р Г. Геометрическая теория меры.
— Мс Наука, 1987. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 51. Фоменко А. Т. Варивционные методы в топологии.— М.: Наука, 1982. 52. Х ел та со н С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. — Мс Мир, 1964. 53. Ходж В., П на о Д. Методы алгебраической геометрии. Т. 2.— М.: ИЛ, 1954, 54. Х у а Л о - К е н. Гармонический анализ многих комплексных переменных з каассических областях.
— Мс ИЛ, 1959. 55. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства.— Мо Мнр, 1970. 56. Шабат В. В. Введение в комплексный анванз. Т. 1, 2.— М.: Наука, 1985. 57. Шеввлле К. Теория группЛн. Т. 1.— МсИЛ, 1948. 58. Шиффер М. Некоторые новые результаты в теории конформных отображений // Доцолненяе к кинге: Кур а н т Р. Интеграл Днрнхле и минимальные поверхности.— Мо ИЛ, !953.' 59. И нг Л. Лекции поварнационноыуисчнслениюитеории оптинального управления.
— Мо Мир, 1974. 60. В ! о с Ь А. М., В т о с 1с е 11 К 97., К а 11 и Т. А печт 1оппи1айоп о| йе йепегайзед Тода 1а1йсе ециайопь апд йе|г Ихиро!п1 воз!ув!з Ыа йе аоаеп1шц аар — Ргерг!п|, 1989. 61. В г ! о з с 1с ! Г. Зийа ейиааопе с!ей оссаедто // Ттапзипй Ассад. Наг. 1.!псе!. — 1879. — У. 3. 62. Вгос1се11 К. ТУ.
О!паа1са! ьув1еаз йа1 ьог1 йв1з, Шайопайье аайдсев апд во!че 1аеаг ргойтзпип!пй ргоЫепа // Ргос. 27-й |ЕЕЕ Соп|еапсе оп Оес!ь!оп апд Соп1го!. — Аизйп, ТХ; 1988. — Р. 779-803. 63. Вису К. 8. Зсгисисга1 всаЫ!йу йтг йе К!ссай ециайоп // ЯАМЮ. Соп1го! апд ОР1Ьи!гайоп. — 1975. — Ч. 13. — Р. 749-753. 64. Сап1ог М. Чог!еьипйеп ййег ОеьсЬссйе дег Майеаайй Ч. 4— |е!рх!а, 1901. 65.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
