М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Кроме того, очевидно, что два левоинварнантных поля с одним и тем же значением Х(е) совпадают, так как (Л ),Х(е) = дХ(е) для любого левоинварнантного поля. П П р и и е р 3.13. Левоинвариантное векторное поле на !и" — это поле постоянных векторов. Иа факторгруппе ]к"/Е" (на торе) — это образ постоянного векторного поля при естественном отображении на факторпространство. Коммутаторы любых двух левоннвариантных полей в этих случаях равны нулю. С левоинвариантными векторными полями на 5р!П(3) (на трехмерной сфере) мы встретимся ниже, в гл.
5, $6. Замечание. Для линейных групп Ли дифференциал левого умножения (Л,), также является оператором умножения на матрицу а, потому что в объемлющем линейном пространстве всех матриц оператор умножения на а линеен, а дифференциал линейного оператора совпадает с ним самим. Для линейной группы С в силу предыдущего замечания значение левоинзариантного векторного поля в любой точке д е С получается из фиксированной матрицы А, лежащей в касательном пространстве к многообразию С в точке е, умножением слева на матрицу д. Воспользуемся введенным в примере 3.1 отображением й1: «а С -« Ж" . В качестве координат точки й!(д) в пространстве К" можно взять компоненты д,, матрицы д.
Пусть дА и д — левоинвариантные векторные поля, построенные по матрицам А и В. Тогда оператор дифференцирования, соответствующий полю дА, есть (дА),, д/дд,,. Вычислим коммутатор двух левоинвариантных векторных полей дА и дВ. Имеем с д(дВ),, д(д ц),,] д (дА) ' (дВ) ' 11 дат дь' д«« д = ~(дА);,„— (дВ~;,А„~~ — = (д(А — ВА)),. —.
д «у д Мы доказали следующую теорему. Те о р ем а 3.2. Колгмутпатор левоинвариантпных вемторньгх полей, отвечающих матрицам А и В, есть левоинвариантное поле, отвечающее юоммутатору [А, В] атил матриц. Алгебры Ли. В силу леммы 3.2 пространство левоинвариантных векторных полей изоморфно касательной плоскости к группе С в точке е, поэтому оно является линейным пространством, размерность которого совпадает с размерностью группы С. В этом пространстве можно ввести еще одну алгебраическую операцию. А именно, рассмотрим комммутатор левоннвариантных векторных полей. Лемм а 3.3.
Если Х и У вЂ” левоинвариантные поля, гпо поле [Х, У] тоиее левоинвариантно. Доказательство. По лемме 3.1 имеем Л,[Х, У] = [Л,Х, Л,У] = [Х, У ]. П Операция коммутнрования превращает линейное пространство лезоинвариантных векторных полей в алгебру, которая называется алгеброй Ли !д группы Ли С. Легко проверить, что эта операция обладает следующими свойствами: 1) отображение Х, У «-«[Х, У] — билинейно; 2) [Х, У]= — [У, Х]; 3) [Х, [У, ги+[1; [г, Х]]+[г, [Х, У]]«0 (тождество Якоби). Свойства 1) — 3) часто принимают за аксиомы и рассматривают абстрактные алгебры Лн, удовлетворяющие этой системе аксиом (см. [45]). Упражнение.
Докажите, что иаоморфные группы Ли обладают иаоморфными алгебрами Лн. Заме ч а н и е. Алгебра Ли характеризует группу Ли «почти однозначно». Это означает, что группы Ли с изоморфными алгебрами локально совпадают, т. е. одна группа накрывает другую (см. [51, 49]). ф 3. Группы Ли малых размерностей Так как 50(2) и Ц1) отождествляются с комплексными числами, по модулю равными единице, то они изоморфны. Как многообразия онн представляют собой окружность д . ! ГЛАВА 3.
ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ 114 $ 3. ГРуппы ли мАлых РАзмеРностей Топологическое строение групп БО(3) и БР1п(3). Для того чтобы описать топологическое строение группы БО(3), рассмотрим группу кватернионов, по модулю равных единице. Эта группа представляет собой 3-мерную сферу Я~. Оператор левого умножения на кватернион д обозначим через Х.т, а оператор правого умножения на д — через Л,. Заметим, что в силу ассоциативности поля квзтернионов эти два оператора коммутируют. Т е о р е м а 3,3. Топологичесиое простпронство БО(3) гомсоморфно в еи4естпв енному просхтпивнон у иростиронстпву КРз. Доказательство.
Рассмотрим отображение ХяоЛ,: К вЂ” К, определенное формулой Х, Л,'. Х дхд-', Поскольку 1дХд '~ = (Х), преобразование Х,с Л, ' является ортогональным преобразованием. При этом действительная прямая остается инвариантной, поэтому Х,, о Л, переводит чисто мнимое пространство в себя. Так как Х 1о Л, = Ы, а сфера— связное топологическое пространство, то (нейрерывно зависящий от д) определитель преобразования Х.,сЛ, ' при всех д равен де1 Х,(де1 Л ) = 1. Следовательно, Х., о Л,' индуцирует вращение пространства Кз, которое мы обозначим через 3т,.
Преобразование 1Р,: Яз — > БО(3) является гомоморфизмом групп. В самом деле, 1сг ~гт ~т о Покажем, что у, — эпиморфизм. Для этого покажем сначала, что существует элемент Я, переводящий кватернион й в любой чисто мнимый кватернион. Рассмотрим элемент Я~ вида 1= (соз а)1+ (з1П а)т'. Тогда 1я = — й1, Г = — 1. Найдем образ кватерниоиа е при отображении Х, с Л,', где д = соз 13+1з1п,9. Имеем (соз 13+ 1з1п 13)я(соз 13 — 1з1П,В) = (соз 13+ 1Б1п 13)~й= = (соз 213+1з1П 213) й = (соз 213) й — (соз а з1п 213) т+(з1п а з!п 213) 1'.
В силу произвольности а и 13, которые можно рассматривать как сферические координаты на сфере Я~, расположенной в пространстве чисто мнимых кватернионов, по модулю равных единице, образом кватерниона я может служить любой вектор этой сферы. Далее, при а =0 кватернион 1' переходит в 1'. Любое вращение вокруг оси 1 можно получить при некотором значении 13. Тем самым доказано, что гомоморфизм 3т,: Я -+ БО(3) сюрьз з ективен.
Его ядро образуют те кватернионы д Е Я, для которых -1 2 выполнено равенство х = дх1т при всех чисто мнимых х ~ Я . Отсюда следует, что хд = ух. Таким образом, кватернион д должен коммутировать со всеми чисто мнимыми кватерниоиами. Но с кватернионом 1 коммутируют только кватерниои а+ Ьт'; а с кватернионом т' — только с+ т(1'. Следовательно, ядро гомоморфизма у, состоит из действительных кватернионов д.
Поскольку ~д~ =1, то Кег у, = х1. (Заметим, что отображение 3т, не зависит от знака д.) Значит, при гомоморфизме Зт, диаметрально противоположные точки сферы отождествляются. П Из теоремы 3.1, в частности, следует не вполне очевидный геометрический факт, что замкнутый путь соз 2яс — з1п 2я1 0~1 д(Е)= зтп2я1 соз2я1 0), О< с<1, (3.10) 0 0 1 являющийся образом кривой д(Е) = соз яг + е з1п я Е, 0 < 1 < 1, соединяющей точки 1 и — 1 в Я, нельзя стянуть в точку по з пространству БО(3). Однако тот же путь, пройденный дважды, т.
е. при 0 < Ф < 2, можно стянуть в точку, так как в этом случае он является образом замкнутого пути в Я~. Замечание, Замкнутый путь (3.10) является образующей фундаментальной группы я1(БО(3)) = я1(Кгз) = Ее. Группа Я~ односзязна (я1(Я~) = 0), поэтому она является универсальной накрывающей группы БО(3). Топологическое строение группы БЦ2, К). Рассмотрим теперь группу БЦ2,К), Обозначим элементы матрицы А Е Б1.(2,К) через а„, 1,,у' = 1,2. Уравнение, определяющее БЦ2, К) в этих координатах, имеет вид (3.11) 117 ГЛАВА 3.
ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ Ыб й З. ГРУППЫ Лн МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ Опишем сначала многообразие, определяемое уравнением а, а — а а2,— — О. (3.12) Поскольку уравнение (3.12) однородное, оно описывает конус в )к~. Для того чтобы найти направляющую этого конуса, рассмотрим его пересечение Т со сферой о . Если в плоскостях (ап, о ) и (апп а 1) повеРнУть оси кооРдинат на Угол н/4, то квадратичная форма а„а22 — агго, приводится к каноническомйу виду х + у — г — то =О, и пересечение конуса со сферой 2 2 2 2 х + у +г + иг =1 будет задаваться системой уравнений х2 + 772 = 1/2, 22+ ю2 = 1/2.
Следовательно, Т есть прямое произведение двух окружностей, т. е. двумерный тор, который разбивает сферу з~ на две конгруэнтные части: (х + и > г + то ) и (х + и ( г + игг). Тор Т служит направляющей конуса (3.12). Из уравнения (3.11) следует, что многообразие Я.(2, Ж) является 3-мерным гиперболоидом, с асимптотическим конусом (3.12), Замечание. Отметим, что построенный тор не похож на тот тор, который мы обычно представляем себе вложенным в трехмерное пространство.
Тор Т вЂ” это так называемый плоский тор, кривизна которого во всех точках равна нулю. Он является однородным пространством, имеющим одинаковую геометрическую структуру во всех своих точках. Топологнческое строение групп Зр(1,вк), 0(1), Я1(2). Группа Зр(1, Ж) совпадает с Я.(2, И). Действительно, (г иг) ( — 1 О) (т( го) (уг — хго О ) Это выражение равно,у тогда и только тогда, когда хю — уг = 1.
Как уже было отмечено, группа (1(1) отождествляется с комплексными числами, по модулю равными единице, и тем самым с единичной окружностью Я . Опишем теперь группу ЬЩ2). Теорема 3.4. Грутьиа ЗЩ2) изоморфна г)эупне мватернионов, ио модулю бтгавных единице. Хам многообразие она лвллетпси сферой з, Доказательство. Каждый кватернион можно, н притом единственным образом, записать в виде х х + хгз + хз7 + х4~ гг + ггпу 2 Г, =,+хзз, г =х +х,з. То есть (г„г2) ЕС, тем самым множество кватернионов интерпретируется как двумерное ком- 2 плексное пространство С . Линейный оператор, соответствующий умножению справа иа фиксированный кватернион и= у, +тггз+узу+у4й=то, +тогу, при действии иа х дает элемент хи = (ггигг — г йг )+ (ггиг + + хгиг )у'.
Этот элемент можно записать в виде произведения 1 ху=(г„г ) 2 ! В силу ассоциативности тела кватернионов, последовательному выполнению умножений справа на фиксированные кватернионы отвечает произведение матриц. Таким образом, мы получили представление алгебры кватернионов комплексными (2 х 2)-матрицами, Если го — единичный по модулю кватернион, то для любого кватерннона г( имеем )д) = )гуэп!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
