М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 17
Текст из файла (страница 17)
П р и м е р 2.3. Сфера Я~ односвязна. Для доказательства достаточно рассмотреть стереографическую проекцию сферы из точки, не принадлежащей данному пути, на плоскость и воспользоваться примером 2.1. П р и м е р 2.4. Прямое произведение двух сфер Я~ х Я~ односвязно. Гомотопию можно проводить отдельно по каждому нз сомножителей.
Доказательство леммы 2.12, Рассмотрим произвольную непрерывную кривую ял [О, 1] — Я~ х Я~. В силу леммы 2.11 отображение и+ продолжается до непрерывного отображения отрезка ]О, 1] в многообразие С2+(Ж4). Отображение и" не является непрерывным в том и только том случае, если существуют две различные кривые, ведущие в одну и ту же точку, которые приводят к противоположным ориентациям плоскости 1гп З„„. В этом случае эти кривые образуют замкнутый путь «, при изменении вдоль которого ориентация плоскости 1гп ггэ„„меняется на противоположную. В силу примера 3.4 путь «гомотопен тождественному. Так как в процессе гомотопии ориентация меняется непрерывно, в результате мы можем получить сколь угодно малый замкнутый путь, на котором ориентация меняется непрерывно и принимает противоположные значения, что противоречит лемме 2.11.
Первая часть леммы доказана. Для доказательства второн части леммы 2.12 достаточно заметить следующее. Во-первых, в силу леммы 2.10, отображение ро)з~ совпадает с отображением ро Л '. В силу первой части леммы 2.12 ориентации плоскостей, получаемых в результате этих отображений, также совпадают. Поэтому )з+ = Л ' О 3 а меч а н не. Первая часть формулировки леммы 2.12 есть следствие общего утверждения, которое гласит, что расслоение орнентнруемо, если его база односвязна ]44, с.
473]. Лемма 2.12 завершает доказательство теоремы 1. П У п р а ж н е н и е. Докажите, что многообразие Сз(И~) диффеоморфно многообразию Я х 82, в мотором отождествлены точки (и, е) н ( — и, — е), т. е. что оно диффеоморфно фактормногообразию прямого произведения двух двумерных сфер по действию группы ез: (о, е) ~-~ ( — и, -е). Дадим еще одну, важную для последующего интерпретацию Сг(Ж4). В Ж4 рассмотрим трехмерную плоскость х, = 1.
Проективная компактификация этой плоскости ") является 3-мерным проективным пространством Жйеэ. Каждое 2-мерное надпространство Ж4 пересекает Жйзэ по проективной прямой (собственной или несобственной). Тем самым С (Ж4) интерпретируется как сово- ') То есть добавление к трекмерной плоскости множества несобственных элементов, каждый из которых соответствует семейству параллельных прямых исходной плоскости, ГЛАВА 3 ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ 102 глАВА 2.
уРАВнение РиккАТИ В ВАРНАционном исчислении купность всех прямых в ЖР2. Поэтому, например, любая линейчатая поверхность (гиперболоид и т. п.) — это кривая в С (Ак ). Теорема 2.3 показывает, какую важную роль при исследовании уравнения Риккати должны играть многообразия Грассмана. Для описания геометрии самих этих многообразий нам понадобятся некоторые начальные сведения из теории групп и алгебр Ли. Следующая глава посвящена изложению основ этой теории. р 1. Группы Ли. Определение н примеры Группой Лы называется гладкое многообразие, на котором определена структура группы. При этом требуется, чтобы групповые операции (умиожение и взятие обратного элемента) в локальных координатах задавались гладкими функциями. Гладкость в этом определении можно понимать и как конечную гладкость порядка й) 1, и как бесконечную дифференцируемость, и как аналитичность. Все три варианта приводят к эквивалентным теориям.
Существенные различия имеются лишь между аналитическим и алгебраическим случаями. В дальнейшсм для конкретности мы будем рассматривать случай С . Приведем простейшие примеры. Пространство В", рассматриваемое как адаптивная группа, является простейшим примером группы Ли. Факторгруппа йй~Е, или, что то же, мультипликативная группа комплексных чисел, равных по модулю единице, рассматриваемая как многообразие, представляет собой окружность Я'. Прямые произведения групп 1й/Е х... х К/Е, рассматриваемые как многообразия, суть многомерные торы Я' х... х Я'. Группа кватернионов, по модулю равных единице, рассматриваемая как многообразие, представляет собой трехмерную сферу Я~. Эта группа обозначается через Бр!п(3).
Далее мы рассмотрим линейные, или иатричные группы'). Для доказательства того, что приводимые ниже группы являются гладкими многообразиями, нам понадобится следующая теорема. ') Слово влинейныев употреблнетсн ллн сокрантення термина вгруппы лииейнмк операторовн 105 ГЛАВА 3. ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ Лн $ Ь ГРУППЫ ЛИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ Теорема 3.1. Пусть Г: К" — К вЂ” отображение конечномерных линейных пространств, причем и> т. Пусть Г(х ) = уь и отпображение Г непрерывно дифференцируемо в то ике хе, причелс дифференциал этого отображения (линейное отображение К в К, задаваелсое матрицей Якоби Г,(х )) сюръектпивен (т. е.
матрица Якоби и меетп лсаксимальный ранг). Тогда: 1) в окрестности то пки х полный прообраз тпочтси ц>, т. е. М = (х Е К" ! Г(х) = ут), является гладким многообразием; 2) касательная илоскостпь к многообразию М в точке хе получается параллельнылс переносом подпространства Кег(Г.(хе)) в то псу хо. Унражненне. Докажите ату теорему, нсногьзук теорему о неквной функции. П р и м е р 3.1. Докажем, что И.(п, К) — группа невы- рожденных матриц порядка и — является гладким многообразием. Пусть М„(Ж) — линейное пространство всех (и х п)-матриц с действительными элементами.
Рассмотрим отображение 23: 2 М„(К) — + И", которое сопоставляет каждой матрице вектор про„т странства К, координаты которого суть элементы х, матрицы Х ЕМ„(К), взятые в каком-либо фиксированном порядке (например, сначала выписывается первая строка, затем вторая и т. д.). Отображение 211 взаимно однозначно. Рассмотрим замкнутое множество .Р точек пространства К", где Р= (х Е Е К ~ с(е1 ИГ'(х) =0), Тогда ЯВ(И(и)) = К '1Р— открытое мнонт жество в пространстве К , и, следовательно, гладкое многообразие. Для того чтобы доказать, что эта группа является группой Ли, надо проверить гладкость групповых операций.
Но локальные координаты произведения элементов этой группы записываются в виде многочленов от локальных координат сомножителей. Координаты обратного элемента матрицы А записываются в виде отношения таких же многочленов, при этом многочлен, стоящий в знаменателе — это детерминант матрицы А, который заведомо отличен от нуля. В дальнейших примерах проверка гладкости групповых операций основана на том же рассуждении. Для того чтобы доказать, что рассматриваемые ниже матричные группы являются (3.2) Для того чтобы применить теорему 3.1, рассмотрим отображение Г(Я) = ЯЯ вЂ” 1, которое действует из пространства Ж" в пространство Бутп(п) симметрических (и х и)-матриц.
Пусть Н вЂ” элемент касательного пространства к М„(К). Поскольку пространство М„(К) линейно, касательное пространство к нему отождествляется с иим самим. Тогда Г.(Я)Н = ЯН~+ Нвт. (3.3) В правой части (3.3) стоит выражение, полученное симметриза- группами Ли, нам достаточно доказать, что они являются гладкими многообразиями. Пример 3.2, Рассмотрим 3ЦП,К) — группу (их и)- матриц с определителем 1. Используя ту же конструкцию, что и в примере 3.1, заключаем, что Я.(п, К) отождествляется с множеством 21(Я.(п, И)) = (х Е К ~ Йе1 ЙГ'(х) = 1). Для доказательства того, что 31.(и, К) — гладкое многообразие, применим теорему 3.1, рассмотрев в качестве Г отображение Йе1; М„(К) — + К'. Частная производная отображения с1е1 по хт, равна А, — алгебраическому дополнению к элементу х,,.
Поэтому дифференциал отображения Г в точке Хе, примененйый к вектору Ь е М„(И), равен Г.(Хо) Ь = ~~1 А,у(Хо) Ь,у (3.1) Поскольку бе1 Хо = 1, то г1с Хе = и. Следовательно, хотя бы один из миноров матрйцы Ат,(Хо) отличен от нуля, и поэтому отображение Г„(Хс) сюръективно. По теореме 3.1 группа Я.(и, К) есть гладкое многообразие, П р н м е р 3,3. Рассмотрим О(п) — группу ортогональных матриц порядка п, т.
е. матриц, оставляющих инварнантной квадратичную форму 2,' х,, которая задает на пространстве И" евкт=1 лидову структуру. Образ этой формы относительно преобразования с матрицей Я имеет матрицу Я1 Я . Поэтому ортогональные т матрицы определяются следующим соотношением в пространстве К )ОУ глава з. группы и длгеи ы ли $1. ГРУППЫ ЛИ, ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ цией ') матрицы НБт. Симметризация множества М„(К) порождает все пространство 5утп(гз). Поскольку де1 Б уй О, множество НБ (при всевозможных Н) совпадает со всем пространством т М„(Ж). Следовательно, значения правой части (3.3) пробегают все множество Зугп(тг). То есть 1гп Е. = Зутп(гг).
По теореме 3.1 множество (Х ( Р(Х) = О) является гладким многообразием. Замечание. Группа О(п) состоит нз двух компонент связности — компоненты, состоящей из ортогональных матриц с определителем +1, которая обозначаются через 5О(гг), и компоненты, состоящей нз ортогональных матриц с определителем — 1.
Множество 50(гг) также является многообразием, так как оно есть связная компонента многообразия О(гг). П р и м е р 3.4. Рассмотрим П(п) — группу комплексных матриц размера гз х гг, действующих в пространстве С" и остави ляющнх инвариантной эрмитову форму ~ хгхг, которая задает г=! на С" структуру эрмитова пространства. Образ этой формы относительно преобразования с матрицей Б имеет матрицу Б1 Б . Поэтому унитарные матрицы определяются следующим соотношением в пространстве С": ББ — 1=0.
(3.4) Тот факт, что уравнение (3.4) в пространстве С определяет гладкое многообразие, доказывается точно так же, как в пример 3.3. Несколько более трудное упражнение — доказать, что множество в пространстве С", отвечающее группе 5()(тг) (унитарных матриц с определителем 1) есть гладкое многообразие. Упражнения. !. Докажите, что ()(н) н З0(Ф) являются группамили, 2. Являются ли группы 0(о), 80(о), 0(л), Я)(н) линейно связными топо- логическими лространствеын) 3. Докажите, что все матрицы, лрннадлежалгие группе 80(п), являются точкамн сферы радиуса /и в пространстве и Наиболее важен для дальнейшего изложения следующий пример. ") Напомним, что салсменгрелочнея матрицы А называется выражение А + Ат, а иососнмменгрнзапмез (альтернированием) — выражение А — Ат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
