М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В 2п-мерном пространстве переменных (Ь, р) (Ь= (Ь„... ..., Ь„), р = (р,,..., р„)) выберем две и-мерные плоскости, Н„= = ((Ь,О)) и Н = ((О, р)), которые будут называться горизонтальной н вертикальной плоскостью соответственно. Рассмотрим две проекции, «го1 (Ь, р)ь+(Ь,О) и я: (Ь,р)ь (О,р), Первая из этих проекций есть проектирование про- 91 90 ГЛАВА 2.
УРАВНЕНИЕ РИККАти В ВАРИАциОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ 2 3. 2РАВнение РиккАти и мнОГООБРАзие ГРАссмАнА странства (Ь, р) на Не параллельно Н , а вторая — иа Н параллельно НБ. Областью определения карты ГГ будет множество и-мерных подпространств К™, трансверсальных к вертикальной плоскости Н (т. е. пересекающихся с Н только в одной точке— начале координат). Проекция я любого подпространства ИГ е Н на плоскость Но параллельно плоскости Н взаимно однозначна. Действительно„если некоторый ненулевой вектор проектируется в нуль, то он принадлежит Н , что противоречит трансверсальности И" и Н . Далее под яо мы будем понимать ограничение яе на рассматриваемое подпространство И'. Зафиксируем базисы в плоскостях Н и Н .
Рассмотрим матрицу Я, которая задает отображение з. о(яо) . Элементы -1 матрицы Я будут локальными координатами плоскости В' в рассматриваемой карте. (Далее мы будем использовать одно и то же .обозначение — И" — как для подпространства, так и для его локальных координат.) Векторы плоскости И' могут быть записаны в виде (Ь, И'Ь).
Другие карты определяются аналогично, изменяется лишь пара трансверсальных плоскостей Но и Н . Для того чтобы найти функции перехода, нам понадобится следующая конструкция. Рассмотрим дзе карты, ГГ и О, на многообразии Грассмана. Пусть плоскость ИГ принадлежит сГ П ГГ. Найдем координаты плоскости ИГ в карте ГГ. Для этого рассмотрим преобразование й: К2"- К2", которое переводит пару плоскостей Но, Н в пару плоскостей ЙБ, Й . пусть — блочное (21 х и)-разбиение матрицы й. Поскольку И' Е Й, она трансверсальна Й . Координаты ЙГ плоскости И' в карте Й находятся следующим образом, Имеем (Ь, р) =((йп+йгзИ )Ь,(й„+й„И')Ь). Матрица йн+йгзИ' обратима, так как если бы существовал вектор Ь* Е Кег(й11+~~2 И'), Ь'~ О, то точка (Ь', И'Ь') плоскости И' имела бы з карте Й координаты (О, р'), т.
е. плоскость И' имела бы нетривиальное пересечение с плоскостью Н . Следовательно, Ь= (й11 +й12ИГ) Ь, и точку (Ь, р) можно записать в виде (Ь, (й„+ й„И~)(й, + йгзИ~)-1 Ь). Итак, координатами точки ИГ е С„(К~") в карте Й будет матрица Й=(йз +й И'Кйн+й12ИГ) . (229) Преобразование (2.29) называется обобтценным дробно-лемебным преобразованием. Тем самым функциями перехода из карты У в карту Й являются обобщенные дробно-линейные преобразования. Поскольку эти функции аналитические, на многообразии Грассмана введена структура аналитического многообразия. Уравнения Риккати как потек иа многообразии Грассмаиа. Пусть в пространстве К2" задана линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкими коэффициентами.
Известно (39), что решения такой системы неограничено продолжимы по времени. Это значит, что для каждого конечного момента вРемени 21 и кажДого начального состоЯниЯ (то,зо) Е Е К' х К2" определено значение решения задачи Коши х(21) в момент времени 21. Зафиксировав моменты времени 2о и 21 и 2и 2ю Ьв изменяя т ЕК ", получаем отображение Г(2Б, 21): К вЂ” +К2", ко2и торое начальной точке траектории яо Е К в момент то ставит в соответствие ее конечную точку з1 Е К " в момент 21. В силу линейности рассматриваемой системы Г(2Б, 2,) есть невырожденный линейный оператор.
Множество операторов Г(2Б, 21) обладает групповым свойством Г(2„21) о Г(2„22) = Г(2„22). Будем говорить, что это семейство образует несгиационарныб погпоя Г на К2". В силу линейности и невырожденности операторы Г(2 2 ) переводят и-мерные подпространства также в и-меро ные подпространства. Таким образом, поток Г индуцирует поток Г на грассмановом многообразии С„(К~"). Покажем, что векторное поле, определяющее поток Г, задается полем правых частей уравнений Риккати.
То есть если считать, что плоскости ИГ переносятся под воздействием потока, описываемого линейной 92 глАЕА 2. ГРАЕНЕНИЕ РНККАТИ В ЕАРНАПНОННОМ НСЧИСлении 5 4. МНОГООБРАЗИЯ ГРАССМАНА МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ 93 канонической системой дифференциальных уравнений с гамнльтонианом (2.11), то уравнение Риккати возникает как уравнение для локальных координат Ит на многообразии Грассмана. Каноническая система уравнений с гамильтоннаном (2.11) имеет вяд )т=-А 'С~А+А 'р, (2.30) р=( — СА С )Ь+ СА 'р. Отображение Г(го, 2, ), описывающее сдвиг по траекториям систе- мы (2,30) за время [го, г,], задается фундаментальной матрицей решений системы (2.30). Теорема 2,3. Если Г(со, г) = ~ ц 12 ] — фундат Г Г = ~ÄÄ,] ментпальная матрица решений системы (2.30), то И (Г2$ + Ггги 0)(ГН + Г12ИОГ является решением уравнения Риииати (2.8).
Доказательство. Тот факт, что Г является фундамен- тальным решением означает, что Г = йг, где й — матрица коэф- фициентов системы (2.30). Следовательно, получаем Гц — — — А 1С Гц + А ~ггц т — ! Г,г= — А С Ггг+А Г22, Гг, — — ( — СА 'С )Гц+СА 'Ггц Г22 — — ( — СА 'С )Ггг+ СА 'Гяг Поэтому, дифференцируя формулу И = (Ггт+ Г„ИЗ)(ГН+ Г„И;), получаем И' =1( — СА 'С )Гц+ СА 'Гн+( — СА 'С )ГРАИто+ + СА Г22ИЗ](ГН + Гггй~~) — А ~С Г,ЗИт + А 1Г дИт~](гц+ ГРЗИт) ~ = =( — СА 'С )+ СА 'И'+ И'А 'С вЂ” И'А 'Ит. Замена Ит»-« -Ит переводит полученное уравнение в уравнение Ит = (С+ И')А '(С + И') — В. С1 й 4.
Многообразии Грассмана малых размерностей Многообразия Грассмана можно рассматривать над различными числовыми полями. Кроме того, существует много «похожих» геометрических объектов, имеющих близкую геометрическую природу. Прежде чем приводить конкретные примеры многообразий Грассмана приведем некоторые модификации исходного определения.
О и р е д е л е и и е. Линейное надпространство пространства К2" называется ориентированньии, если в нем выбрано такое семейство базисов, что переход от одного из базисов этого семейства к другому Осуществляется с помощью матрицы с положительным определителем. Иногда важно различать многообразия ориентированных линейных подпростраиств (в этом случае два геометрически совпадающие подпространства, снабженные противоположной ориентацией, соответствуют двум различным точкам многообразия Грассмана) и многообразия неориентированных линейных подпространств (в случае, когда такие два надпространства считаются одной и той же точкой многообразия Грассмана).
Если необходимо подчеркнуть, что мы имеем дело именно с первым случаем,мы будем использовать обозначение С+(К"). Каждой точке Ит Е С+(К") соответствует точка на многообразии С (К") — исходная плоскость И' без учета ее ориентации.
Обозначим это отображение через р: С+(К") †» С (К"). Напротив, в связи с тем, что иа данной плоскости Ит имеются две противоположные ориентации, каждой точке С (К") отвечают две различные точки многообразия С+(К"). Иными словами, обратное отображение р ' двузначно. Два прообраза точки И' Е С (К") всегда расположены далеко друг от друга в смысле топологии многообразия Сс(К"), поэтому у каждого прообраза есть окрестность, в которой отображение р взаимно однозначно. В такой ситуации говорят, что отображение р есть двулистное наирытие многообразия С (К"). Комплексным многообразием Гроссмана С„(С ) на- 2» зывается множество, точками которого являются комплексные 2« н-мерные линейные надпространства пространства О 2» Структура аналитического многообразия на С„(С ) вводится точно так же, как и на С„(К ").
94 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЕ РИККАТИ В ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ $4. МНОГООБРАЗИЯ ГРАССМАНА МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ 95 Полезно геометрически представлять себе многообразия Грассмана при малых значениях и. Приведем несколько простейших примеров. Пример 2.1. Пусть и = 1. Тогда С!(1к~) — множество прямых на плоскости, проходящих через начало координат.
По определению это проективная прямая К1» . П р и и е р 2.2. С+(24~) — многообразие ориентированных прямых на плоскости, проходящих через начало координат, есть окружность о !. П р и м е р 2.3. С (С2) — многообразие комплексных пря- 2 1 мых в С, проходящих через начало координат, есть комплексное проектнвное пространство СР(1). Простейший нетривиальный пример возникает при п= 2. Т е о р е м а 2.4.
Многообразие Сг+(м~) гомеоморфно прлмол«у произведению 8 х о' . Доказательство этой теоремы удобнее всего проводить в терминах кватерннонов, которые, кстати сказать, не раз понадобятся нам в последующем изложении. Поэтому мы воспользуемся случаем, чтобы сделать небольшое отступление.
Кватериионы. 1б октября 1843 г. У. Р. Гамильтон установил фундаментальные формулы для умножения кватернионов. Вот как сам Гамильтон описывает это событие в письме к сыну: «Когда я шел на совещание Королевской ирландской академии в сопровождении твоей матери, то, несмотря на ее разговор со мною, мои мысли так четко работали в подсознании, что дали, наконец, результат, важность которого я тотчас же ощутил.
Казалось, замкнулась электрическая цепь и вспыхнула искра... Я не смог подавить импульса — не философского в сущности — вырезать на камне Бругамского моста, мимо которого мы проходили, основные формулы. Как надпись онн, конечно, давно стерлись. Более прочный след, однако, сохранился в книгах...» 19). Напомним определение и основные свойства кватернионов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
