М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Ядро формы Киллинга В является идеалом алгебрът Ли. Д о к а з а т е л ь с т в о. Напомним, что ядром формы Кпллинга называется такой элемент Х е б, что В(Х, У) = 0 для любого У е б. Пусть У е Кег В, Х и л — произвольные элементы алгебры. В силу формулы (3.16) получаем, что В(Х,[У,2]) = = В(У, [2, Х]) =О. Следовательно, [У, л] ЕКег В, и поэтому ядро формы Киллннга действительно является идеалом.
П Теорема 3.9. Полупростая алгебра Лп б не содерггит абелевых идеалов. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть й — абелевый идеал; Х е й, У й б. Рассмотрим В(Х, У) = ТГ(аб Х а ж1 У). Преобразование о = ат( Х а аб У переводит всю алгебру Ли в идеал й. В самом деле, коммутирование с элементом Х переводит любой элемент алгебры в элемент, принадлежащий й. Идеал й преобразованием т переводится в нуль (поскольку идеал й абелев). Поэтому о~ =О, и, следовательно, Тг о = О, т. е. форма Киллннга вырождена.
П П р и м е р 3,16. Заметим, что 1)(п) = о' х Я)(п). Алгебра Ли этой группы состоит из косоэрмитовых матриц. Ее центр состоит из матриц вида ехр(та) 1, а ~ й. Поэтому ат( ехр(та) 1„= О, ГЛАВА Э. ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ Ли 124 125 % 5. полупростые ГРуппы ли т. е. В(ехр(та) 1„, д) = 0 для всех д Е 6. Следовательно, форма Киллинга вырождена, н поэтому алгебра 1((п) не полупроста. Упражнения. 1. Докажите, что алгебраЛн И1(п), п>1,— простая. 2.
Докажите, что алгебра Ли группы И.(п) имеет нетривиальный центр, и инвариантную подгруппу Я.(п). Следовательно, она не полупростая. В то же время, алгебра Лн группы оЦп), т. е. пространство матриц со следом нуль, полупроста. 3. Докажите, что группа 1)(п) имеет инвариантную подгруппу 311(п). Замечание. Группы $0(п), п>4; Я)(п), п>1; Зр(п) являются простыми группами Ли (см. [38]). Обозначим через й ортогональное дополнение подпро- А странства й относительно формы Киллинга. Теорема 3.10.
Пустпь форма Киллинга В алгебры 6 нсвырозсдена и Я вЂ” идеал в 6. Тогда Я вЂ” полупростппл алгебра Ли, Я~ — идеал, 6=ЯЩЯ~. Доказательство. Докажем, что ортогональное дополнение идеала й — идеал. Пусть 1' ~ Я~. Для любых Я е 6 и Х е й в силу формулы (3.16) имеем равенство В(Х, [)г, Я]) = =В(г',[л,Х]) =О, так как [л,Х] ей, г ей~. Это и означает, что [)', Я[ е й~ для любого Я Е 6. Из невырожденности формы В следует, что 111пт й+г((ш й~ = = г((ш 6. Поэтому чтобы доказать, что их сумма прямая, надо только проверить, что йпй~ =О. Прежде всего покажем, что й и йд — абелев идеал. Действительно, Я и й — идеалы в алгебре 6. Пусть Х, 1г е ЯГ1 й~ и 3' е 6. Так как в этом случае [г', л] Е Я1) Я~, то по теореме 3.6 для любого Я имеем равенство В(г, [Х, )г]) = В(Х, [г', л]) =О.
Из невырожденности формы В получаем, что [Х, У] = О. Поэто- .1 му Я Г) й — абелевый идеал. По теореме 3.9 этот идеал равен нулю. Полупростота алгебры Я следует из того, что она не содержит ненулевых векторов, ортогональных й, в противном случае этот вектор был бы ортогонален й~, а следовательно, и всей алгебре 6, что противоречит невырожденности формы В.
П Теорема 3.11. Полупростая алгебра Ли 6 допусхает однозначное (с точностью до порядха слагаелсых) разлолсение в прямую сумму простпых идеалов. Доказательство. Если 6 не содержит нетривиальных идеалов, то она проста„я тем самым теорема доказана. Пусть теперь й — идеал 6. По теореме 3,10 алгебра Я так же, как и алгебра Я~ полупроста. В свою очередь эти алгебры можно и дальше разлагать в прямую сумму идеалов до тех пор, пока ь не получится разложение на простые идеалы: 6 = 2; 6, Пот=1 кажем, что идеалы 6,.
определены однозначно. Действительно, пусть А,— простой идеал, отличный от всех 6, Тогда 6,.Г)А";=О, так как пересечение этих идеалов есть идеал, содержащийся в каждом из них, а это противоречит их простоте. Следовательно, любой вектор 1б Е ортогонален (относительно формы Киллинга) любому вектору нз 6;. Поскольку каждый вектор д Е 6 представим в виде линейной комбинации векторов из 6,, идеал 2 является центром 6, что противоречит ее полупростоте. С) Компактные алгебры Лн. О п р е д е л е н и е.
Вещественная алгебра Ли 6 называется хомпахтпной, если ее форма Киллинга В является отрицательно определенной. Термин екомпактная алгебра» объясняется тем, что такие алгебры Ли соответствуют компактным (в смысле топологии соответствующего многообразия) группам Ли. А именно, имеет место следующая теорема. Т е о р е м а 3.12. Пустпь С вЂ” хомпахтная полупростпая группа Ли. Тогда форма Киллинга ее алгебры Ли отпри цатпельно определена. Для доказательства этой теоремы нам понадобится инвариантное интегрирование по группе Ли.
На компактной группе Ли определена, и притом единственным образом, двусторонне инвариантная мера )»(г(х), которая называется мерой Хаара. Инвариантность меры означает, что интеграл по ней не меняется при левых и правых сдвигах на группе, а также при взятии обратного элемента: 1(уа)(А(ггу) = 1(ау)р(Йу) = у(у ))г(г(у) = у(у))г(йу),,)' е С (С), аЕ С. (3,17) В силу компактности С меру,и можно нормировать условием )к(г(у) = 1. (Подробное доказательство см. в [38, с. 196].) 126 ГЛАВА 3.
ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ г К ОДНОРОДНЫЕ И СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 127 Доказательство теоремы 3.12. Докажем сначала две леммы. Л е м м а 3.4. На хомпахтпной алгебре Ли 6 суи1ествует положительно определенная хвадратичная форма, инвариантпная относительно А!1 С. Дока вате л ь ство. Рассмотрим произвольную положительно определенную квадратичную форму (х, х) на пространстве !б.
При помощи инвариантного интегрирования превратим ее в инвариантную форму. Для этого рассмотрим произвольный элемент уе С и применим преобразование Аду к элементам х. Определим новую квадратичную форму Я(х,х) по формуле 1,!(х, х) = ((А!1 у)х, (Аб у)х) !г(!(у). Квадратичная форма Я положительно определена в силу положительности (при всех ненулевых х Е 41 и уб С) подынтегрального выражения. Докажем инвариантность построенной формы.
Принимая во внимание, что Аб есть представление группы С, и учитывая формулу (3.17), получаем 1;>(Аб(г)х, (А!1 г)х) = (А!1(уг)х, А!1(уг)х) р(ау)=Я(х, х).(3.18) Лемма доказана. 0 те С Инвариантность формы Ч относительно присоединенного представления Аб С группы С влечет за собой следующее свойство ннвариантности формы Я относительно присоединенного представления а!1 Ь алгебры !б. Ле м ма 3.5. Для всех йх !б справедливо равенстпво сг(х, (а!1 й)у) + Я((а!1 й)х, у) = Я(х, (й, у)) + Я((й, х], у) = О. (3.19) Для доказательства этой леммы достаточно продифференцировать формулу (3.!8) по г при г = е и использовать формулу (3.! 5). Вернемся к доказательству теоремы.
Выберем в алгебре 6 базис (е,), (= 1,..., и, в котором форма Я имеет диагональный Вид Я= ~ Хг. РаВЕНСтВО (3.19) ОЗНаЧаЕт, Чта ОПЕратОр Х!-т|й, Х] 1=1 в этом базисе задается кососимметрической матрицей. Тогда мы имеем в В(й, й) =Тг((айй) ) = ~! (ео(а!)й) е,.)= $=! В = — ~~> ((ас1 й)ет, (а!1 й)е!) < О. 1=! Поскольку группа С полупростая, форма В невырождена. Следовательно, форма Кнллннга В отрицательно определена.
Теорема доказана. П С лед с т вне 3.1. Форма Х~иллинга задает двустпорокке инвариантную метприху на хомпахтной полупростпой группе Ли. Доказательство, Форма Киллинга алгебры Ли задает скалярное произведение в алгебре Ли, или, что то же, в касательном пространстве в точке е группы С.
Левые и правые сдвиги на элемент аб С определяют скалярное произведение в касательных пространствах во всех остальных точках группы С. Это скалярное произведение не зависит от того способа, которым оно индуцировано из алгебры Ли (правым или левым сдвигом, или комбинацией сдвигов). Это следует нз теоремы 3.5 об ннварнантности формы Кнллннга относительно автоморфизмов алгебры Лн. П Итак, компактная полупростая группа Ли образует риманово многообразие, так как метрика на ней невырождена и положительно определена.
Замечание. На полупростой некомпактной группе Ли метрика невырождена, но она не является положительно определенной. (Многообразия, снабженные такой метрикой, называются псевдорильановыми.) у 6. Одиородиые и симметрические пространства Пусть С вЂ” полупростая компактная группа Ли, К вЂ” ее замкнутая подгруппа. Форма Кнллинга на соответствующей алгебре Ли 6 отрицательно определена.
Эта форма определяет на С структуру риманова многообразия с двусторонне инвариантной (относительно левых и правых сдвигов) метрикой. Действительно, дифференциал левого сдвига Л, отображает касательную плоскость В точке е в касательную плоскость в точке а. Если 128 ГЛАВА Э. ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ Бм.и.з после применения левого сдвига й, применить правый сдвиг Л. и то мы получим отображение С - С, отображающее точку е в е.
Дифференциал этого отображения в точке е отображает алгебру Ли Ю в себя. Тем самым мы получили представление группы С, которое совпадает с присоединенным представлением С. Так как форма Киплинга инвариантна, ее образ совпадает с ней самой, что и обеспечивает инвариантность метрики, Определение. Отображение Гс Х- Х называется изометрией риманова (или псевдориманова) многообразия Х, если для любой точки а Е Х первая квадратичная форма д,(г) остается инвариантной относительно дифференциала з,(г). Отображение в называется локальной изометрией если для любого к е Х существует такая его окрестность сГ с Х, что з~п есть нзометрня. Таким образом, группа С отображается в группу изометрий риманова многообразия С (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
