М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Поэтому соответствующие матрицы принадлежат БЩ2). П Упражнения. 1. Докажите, что умножению на кватернионы 4, т', и соответствуют матрицы (4 '4) ( 7 ') (4 4) Используя этот факт докажите, что эти матрицы образуют базис алгебры Ли группы Я1(2).
2. Непосредственной выклазкой проверьте, что прн )и( = 1 матрица (-- — ) г з унитарна и уинмодулярна. Любая матрица этого вида есть образ — йь п~/ некотброго, единичного по модулю, кватерниона. 3. Докажите, что алгебра Лн группы З(1(2) состоит из косоэрмитовых матриц размера 2 х 2, со следом нуль. Докажите непосредственным вычислением, что алгебры Ли Ь1)(2) н ю0(З), в отличие от соответствуюппгх групп Я1(2) и ЗО(З), изоморфны. ПВ ГЛАВА 3. ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ Лн $4. присоединенное представление и ФОРМА киллинГА 119 ф 4.
Присоединенное представление и форма Киллинга Присоединенное представление. Пусть С вЂ” линейная группа Ли. Каждый элемент де С можно рассматривать как линейный оператор, действующий в о-мерном пространстве (вещественном или комплексном). Далее, пусть 6 — алгебра Ли рассматриваемой группы С. Для каждого в е С отображение А,: С-+С, (3.13) д е-+ вдв является автоморфизмом группы С. В частности, А,(с) = е. Дифференциал отображения А, является линейным преобразованием, которое переводит касательную плоскость к группе С в точке е (т. е.
алгебру 6) в себя. Обозначим полученное отображение через АГ(в. Преобразование А, можно естественно продолжить на множество всех матриц 61(тт) по той же формуле (3.13). При этом мы получаем линейное отображение пространства матриц 01.(та) в себя. Следовательно, его дифференциал совпадает с этны же отображением. Ограничение А, на группу С уже нельзя считать линейным, поскольку С не является линейным многообразием. Однако алгебру Ли 6 уже можно рассматривать как линейное надпространство в 01.(и), Поэтому дифференциал ограничения А, на группу С по-прежнему записывается в виде умножения матрицы д на матрицу в слева и на матрицу в ' справа: (А,)„(д) =вдв '.
(3.14) Полученное преобразование обозначается через АГ(в: 6— -+ 6, Очевидно, что для произвольных элементов в„ в е С выполнено равенство Айв1 оАд ег =Ад(в1 овг) т. е. отображение Аб в, рассматриваемое как функция от в, определяет представление группы С в группе линейных преобразований пространства 6, Иными словами, мы построили гомоморфизм Аб: С- И.(6). Это представление называется присоединенны и иредстаавлениеле группы Ли С. Найдем действие дифференциала этого отображения в точке е на векторе Ь е 6.
Дифференцируя формулу (3.14), получаем — ((Ад в)д)Ь=(Ьдв — вдв Ьв )), да[, = Ьд — дЬ = [Ь, д]. (3А5) Формула (3.15) естественно приводит нас к рассмотрению присоединенного нрсдстпавлснил алгебры Ли. Пусть 6 — алгебра Ли группы Ли С. Каждому а Е 6 можно поставить в соответствие линейное преобразование, которое состоит в коммутировании любого элемента д е 6 с элементом а. А именно, ай( а: 6 — +6, (ад а)д=[а,д].
При этом сумме элементов алгебры 6 отвечает сумма операторов, а коммутатору [а, Ь] элементов а и Ь отвечает коммутатор матриц (ад а)(аб Ь) — (аб Ь)(зб а): д ~->[а,[Ь, д]] — [Ь,[а„ д]]. Действительно, (а41 [а, Ь])д = [[а, Ь], д]. В силу тождества Якоби [[а, Ь]д] = [а, [Ь, дЦ вЂ” [Ь, [а, д]]. Тем самым мы построили представление алгебры 6 в алгебре линейных операторов над 6. Оно и называется присоединенным представлением алгебры Лн. В силу формулы (3.15) дифференциал присоединенного представления Аб С группы Ли С является присоединенным представлением ад 6 алгебры Ли 6.
Форма Киллинга. Присоединенное представление алгебры Ли позволяет определить на 6 инвариантную билинейную симметричную форму. Оп редел е н и е. Формой Киллинга называется след произведения операторов аб д, и а41 д: В(д1, д ) = Тг [(аб д,) о (ад дг)], д1, дг о. 6. Форма Киллинга билинейна и симметрична.
Последнее следует из того, что след произведения двух матриц не зависит от порядка сомножителей. У и р а ы н е н н е. Вычислите форму кнллннга лля алгебр Я.(2, и) и ВО(31. Те о рема 3 5. Форлеа Киллинга инвариантпна отиноситисльно автполеорфивлеов алгебры Ли 6. 120 ГЛАВА 3. ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ $4. пРисоединенное пРедстАВленне и ФОРЯА киллинГА 121 Доказательство. Пусть гг: б — +6 — автоморфнзм алгебры б. Тогда нз формулы ж1 (ггд) = сг(ай д)сг ' следует, что В(адп ада) = Тг((ай ггд1)(ай сгдг)) = = Тг(сг ай д, ай д сг ') = В(д„д ). П Теорема 3.6.
Для любыю злелеентов Х,), л Еб выполнено равенство В(<Х,1], г) = ВЦУ, г], Х) = В([г, Х], У). (3.15) У и р а ж н е н и е. Докаисите зту теорему, пользуясь тем, что след произведения двух матриц не зависит от порядка сомножителей, след произведения трех (или любого другого числа) матриц не меняется при циклической перестановке сомножителей, след разности матриц равен разности следов, и, наконец, отображение еб есть представление алгебры Ли.
Подалгебры и идеалы. О и р е де л е н н е. Подпространство зз называется подалгвброб алгебры Лн й), если з) — линейное подпространство н для любых элементов а н Ь, принадлежащих 3, нх коммутатор также принадлежит й, т. е. 1а, Ь] Е зз. Рассмотрим подгруппу Ли Н группы Лн С (т. е. такую подгруппу, которая является гладким подмногообразнем многообразня С). Теорема 3.7. Алгебра Ла зз подгруппы Нс С является подалгеброб алгебры 6. До к аз а тел ьс т во. Рассмотрим на подгруппе Н векторное поле Х, инвариантное относительно левых сдвигов на элементы нз Н.
Как мы показали, таким полям взаимно однозначно соответствуют касательные векторы к Н в единице е группы С. Пусть полю Х отвечает вектор Х,. По этому вектору построим левоинвариантное векторное поле на С. На подгруппе Н оно будет совпадать с полеы Х. Тем самым мы построили вложение алгебры Лн 1) группы Н в алгебру Ли !б группы С. Ясно, что з) образует линейное подпространство в 6. Кроме того, поскольку коммутатор элементов )з! н Ь из Уэ вновь принадлежит зз, мы получаем, что зз является подалгеброй алгебры Ли 6. П 3 а м е ч а н н е.
Справедливо н обратное утверждение: каждой подалгебре Гэ с 6 соответствует некоторая подгруппа Н группы Лн С. (Доказательство см. в 157].) Однако эта подгруппа может оказаться незамкнутой (в смысле топологии многообразия С). Прнмером такой незамкнутой подгруппы является всюду плотная обмотка тора. Пример 3.14. Одномерное подпространство1=тЛ алгебры Лн 6, где 1 Е)к, Л Е й), является подалгеброй, так как коммутатор пропорциональных векторов равен нулю.
Этой подалгебре отвечает однопараметрнческая подгруппа Ь группы Лн С. Для линейных групп подгруппа 5 образована экспонентами элементов надпространства 1, т. е. элементами, которые записываются в виде ехр(1Л) = ~ —, (ФЛ) п=о Прн любом г е )й этот ряд сходится (см. 157]). П р н и е р 3.15. Любая нз линейных групп, рассмотренных в примерах 3.1 — 3.3, 3.5, является подгруппой Лн группы 61.(п, )к). Соответствующие алгебры Лн суть подалгебры алгебры М(п,)к). 3 а м е ч а н н е.
Группа 11(п) является подгруппой группы И.(гь С). Однако поскольку в ее определение входит условие на комплексно-сопряженные матрнцы~н поэтому она не является комплексным подмногообразнем С ), она не есть комплексно-аналнтическая подгруппа Ли группы ОЦп,С). (Докажите, что размерность алгебры Лн Щп) над полем )й равна и .) Тем не г менее ()(и) является подгруппой Ли группы О1.(2п,)к), так как она есть вещественно-аналитическое подмногообразие. Если задана замкнутая подгруппа Н группы Лн С, то можно рассмотреть множество левых классов смежности С/Н, т. е.
множество элементов С вида (аН) ае С), н множество правых классов смежности Н 1 С, т, е. множество элементов С вида (НЬ] Ъ е С). О и р е деле н не. Подгруппа Н называется инвариантноб (норльальноб), если левый класс смежности любого элемента ае С совпадает с его правым классом смежности. — ! Из определения следует, что любая подгруппа аНа, сопряженная с ннварнантной подгруппой Н, совпадает с Н. В этом случае множество левых классов смежности можно наделить структурой группы, полагая (аН)(ЬН) = аЬН. Полученная группа называется факторгруппой группы Лн С по инвариантной подгруппе Н, в 5 полупРостые ГРуппы ли 122 ГЛАВА 3.
ГРУППЫ Н АЛГЕБРЫ ЛИ 123 3 а м е ч а н и е. Доказательство того факта, что фактор- группа является гладким многообразием см. в [57]. Отметим, что условие замкнутости подгруппы Н весьма существенно. Например, факторгруппа тора по его всюду плотной обмотке многообразием ие является. Выясним, какие подалгебры Ли соответствуют инвариантным подгруппам группы Ли. Рассмотрим алгебру Ли 1"1 инвариантной подгруппы Н с С. Определение. Подалгебра Г2Сб называется идеалом алгебры Ли б, если [Ь, д] Е Гз для любых элементов ЬЕ Гз, д е б. Утверждение 3.1.
Пустпь «р: С, «С — непрерывный гомоморфизм групп Ли. Тогда его ядро Кег«р=[дЕС, ~«р(д)=е) является пнвараанттьной зампнутпой подгруппой С. Доказательство. Замкнутость Кег«р следует изнепрерывности отображения р. Так как 1о — гомоморфизм, Кег «р является подгруппой. Если ~(д) = — е, то ее инвариантность следует из равенства «р(ада ) = р(а)«р(д) р(а) = е. П Теорема 3.8. Алгебра Лтт Уз, отвечающая инварпантной подгруппе Н С С, образует пдеал в б.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим естественную проекцию «р: С- С]Н. Ядро этого отображения совпадает с Н. Дифференциал проекции «р в точке е есть отображение а«(е): б«Я, где Я вЂ” алгебра Ли Группы С/Н. Ядро дифференциала «р, есть 52, а образ Я. Пусть Ь е 52, д Е б. Тогда по лемме 1 $2 имеем у,(е)[д, Ь] = [«р„(е)(д), «тт,(е)(Ь)] = [«р,(е)(д), 0] = О. Это означает, что [д, Ь] Е тз. П За ме чан не.
Справедливо и обратное утверждение: каждому идеалу тз С б соответствует инвариантная подгруппа Н группы С. 6 6. Полупростые группы Лп Определение. Группа Ли С называется простой, если она не имеет нетривиальных иивариантных подгрупп. Алгебра Ли простой некоммутативной группы Ли не имеет нетривиальных идеалов. Такие алгебры Ли называются простымп. Заметим, что алгебра Ли, у которой все элементы коммутируют между собой (так называемые абелевы алгебры Ли), за исключением одномерного случая, не являются простыми.
Определение. Множество элементов алгебры Ли, которые коммутируют со всеми элементами алгебры, называются т5ентром алгебры Ли. Очевидно, что центр алгебры является ее идеалом, который содержится в ядре формы Киллинга. Оп ред еле ни е. Алгебра Ли называется полуптостой если ее форма Киллинга невырождена. Соответствующая группа Ли также называется полупростой. Утверждение 3.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
