Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1944) (1155751), страница 21
Текст из файла (страница 21)
точку Ма, к заданной произвольной системе координат. Эти формулы имеют внд: т„<Ьав ЬЬ~„Ь„+ Ф„. (Е1 где угв суть направляющие косинусы осей заданной системы координат относительно системы специальной. При г О имеем: г ~ 1- )) 3 ) (7) Рассмотрим теперь условия симметрии для тензора связи тре тьего порядка. Формулы преобразования компонентов тензора третьего порядка при переходе от одной системы координат к лругой имеют вид: ' и';„= ~П,„1„(„1„„, (3~ где у„„суть направляющие косинусы новой системы координат. Возьмам преобразование: х,= — х,; х,=ха; сводящееся только к изменению направления оси х на прямо противоположное. В этом случае имеем: 111 = — 1 1 129 - 183 = 1; 1вю = о (лФгл); поэтому, если индекс единицы встречается среди индексов 1, у, й печатное число раз, то из формулы (8) следует: I и = — и,„.
Пусть точка М, совпадает с началом координат, а точка Мя лежит на оси х,. Из изогропностн следует, что компоненты тензора связи третьего порялка, образованные для проекций скоростей точек М, и М , не зависят от направления осей х н х . Отсюда следует, что компоненты, содержащие индексы 2 или 3- печатное число раз, равны нулю, так как они не могут менять внаки при перемене направления осей х нли х . Таким образом, если точка Мя лежит на оси х„то тензор связи (составленный из двух проекций скорости точки М, и одной проекции скорости точки М ) имеет следующие пять компонент, неравных нулю: Ф. т 1г ~вы Ьлл,' «и тд т,з — — Ьл„, тю, =тзщ =Ьлл.
Компоненты связи третьего порядка ') при употреблении любой системы координат можно выразить через Ьяю Ьял и Ь с помощью ы л л формул (3). В общем случае вместо переменной х, необходимо взять расстояние между точками М и М, которое в дальнейшем мы будем обозначать буквой г. С увеличением расстояния межау точками их скорости становятся вса более статистически независимыми, поэтому компоненты тензороз связя скоростей должны стремиться к нулю при неограниченном возрастании г. При г= О точки М, и Мя совпадают, в этом случае имеем: Ь'„=Ь",.=Ь~=О. Перемена ролей точек М, н М равносильна изменению направления осей координат на прямо противоположное, отсюда сле- к) Аяалогнчиые свойства симметрии тензоров связи скоростей проекции можно выяснить для тензоров более высоких порядков.
Условия снммстряи для тснлоров связн четвертого порядка ланы в заметке Мия. лнонщикова, Доклады Аваасмнн наук, т, 32в га 9', 1941, дует, что: тгу,г (Л4„гИг, Аув) — гнь (гИз, гИ, Ь(г). Эти соотношения в другом виде можно написать так: л лл. Ьл = — Ьл; п лл. Ьлл '- Ьл и ил Ьии = — Ьг (1О) .4. Условии иесжнмаемости и динамические соотношения.
С помощью операции осреднения из уравнения несжимаемости иуравнений Навье — Стокса можно установить соотношения между независимыми компонентами тензоров связи скоростей '). Из уравнения несжнмаеиости получаются следующие соотношения: г дал~ Ьл =Ьл+ —, — „ г ил г дал г ии Ь = — Ьл" — —., —,, Ьг = — 2Ьг . (13) (12) г) Г ггебгп а и и.
К е11е г, Ргос! 1пГегп. Сопяг. Арр. МесЬ.,Вей,1924; ((агшв в ав и Ио и ай1ь, Ргос. коУг йое, А, 164, 19 917, 1938 197 Следовательно, моменты связи Ьлл, Ьли и Ьии являются нечйтными л л функциями от переменной хг или переменной г. Если проекции скоростей пульсации являются регулярными функциями координат, разлагающимися в ряды Тейлора, то очевидно, что моменты связи также разлагаются в ряды Тейлора по г. Ряды Тейлора для моментов второго порядка Ьа и Ьи будут содержать только четные степени г, а ряды для моментов третьего порядка Ьлю Ь~, и Ь„и — только нечзтные степени г. Покажем, что ряд для Ьлл не содержит члена с первой сте- Н пенью г. В самом деле, имеем: Ь"ьг=«'г(О,О О)«г(г О О)=«'(~,') +8 «г(дгг) га~-...
Первый член обращается в нуль, так как д-„в а и,'= 0 ввиду изотропности турбулентного движения. Итак, разложение в степенной ряд момента Ьлл может начинаться с членов порядка, по крайней мере, гз. В экспериментах моменты связи Ь| и Ь„можно измерить непосредственно и независимо друг от друга; Пользуясь экспернментальными результатами Симмонса, полученными в аэродинамической трубе, Тейлор показал'), что опыты очень хорошо подтверждают равенство (11) (см. фиг. 20). Соотношения (12) и (13) показывают, что при малых г степенные ряды по г для Ь~л ш Ь„"должны начинаться с члена порядка по крайней мере гз, так как этим свойством обладает ряд для Ьа Равенства (11), (12) и (13) показывают, что определение тензоров связи и скоростей второго н третьего порядков сводится Ьил ай Р,Ф аг О Р и Рис. 20.
к определению двух функций Ьа(г, 8) и Ьа (г, Г). Из уравнений Навье-Стокса для этих величин получается толькоодно уравнение: дед~а 4 дэа~ 1 дд~ ~дЬ„"" 4 где т = — . Это уравнение в несколько иной форме для функг 1 Ь' Ь"' ций у = — ~ и Ь = †, получено Карманом и Ховартом. Уравнение Ь ЬА (14) в написанном виде рассматривалось Лойцянским и Мнллионшиковым. '! О. 1.
Та у!еь Яоегп.о!Ше Аегопаийса! Вс!еесевэа В,т. 4, диве!937 10$ Умножая уравнение (14) на га, получим.' 1аь, "а Г дьф аь~ Предполагая, что при г-++ со порядок исчезания функций дг ак 1 н Ьл более высокий, чем —, ичтовыражение з квадратных скобках обращается в нуль при г=О, найдьм: — „",~;~а= е нли Л = ~ Ьлгай = сопз1.
е (1б) 6. Заключительная етадня вырождения изотропной турбулентности. Турбулентное движение жидкости затухает, следовательно, величина Ь= и, стремится к нулю при г, стремящемся к бесконечности. Заключительная стадия вырождения изотропной турбулентности характеризуется малыми значениями числа Рейнольдса з). Движения ') Л с й ця и с к н й Л. Г., Труды НАГИ, выя.
440, 1939. е) ( г. Милл иоящиков, доклады Академии наук, ЬЬ 9, т.32, 1941. з) Всегда можно принять, что ляиеяиая величава в формуае для числа Рейяельдса выбрана так, что ояа ие убывает с течением времеви. 109 Существование определяемой таким образом инвариантной величины Ь указано Л. Г. Лойцянскнм 1).
Конечность и ннвариантность Л получаются как результат предположении о порядке нсчеза- ВЛ аь," ния Ьл и производной — . дг Для определения Ь~ ~и Ьд" одного уравнения (14) недостаточно. Переход к моментам связи четвьртого з) и высших порядков также не давт замкнутой системы уравнений. Уравнение для моментов третьего порядка содержит моменты четвертого порядка, следующие уравнения содержат моменты пятого порядка н т. д. Кроме незамкнутости зтих уравнений, мы встречаемся ещь с вопросом о задания начальных условий, поэтому для теоретического изучения изотропиой турбулентности требуются еще дополнительные гипотезы механической природы.
Подобные гипотезы выставлялись Карманом и Ховартом прн рассмотрении случаев малых и больиих значений числа Рейнольдся, с большимн средними скоростями пульсаций отвечают большим виачениям числа Рейнольдса. При очень малых величинах скоростей пульсации компоненты моментов связи третьего порядка малы по сравнению с компонентами моментов связи второго порядка. Это даат основание к пренебрежению в уравнении (14) моментами связи третьего порядка. Заменив в уравнении (14) правую часть нулем, получим: г Узл~ 4 дИ~~ т 1 дЬ~а Для отыскании определйнного решения уравнения (16) необходимо знать функцию Ьл (г, О), дающую начальное распределение для момента связи продольных скоростей двух точек.
Ыы имеем в виду получить решение уравнения (16) для больших значений времени 1. При больших 1 детали в особенностях функции Ьл~(г, О) должны иметь второстепенное значение, цозтому прн исследовании аснмптотнческого поведения функции Ьл(г, г) пря г-+ + со начальные условия можно учитывать в некотором упрощзнном виде.
Функция Ьл~(г, О) помимо расстояния г зависит ещв от размерных постоянных, которые обязательно должны быть, тзк как размерностя Ьл и г разные. Допустим теперь, что влияние начального распределения моментов связи сказывается на асимптотическом поведении Ь~л при 1-++ оо посредством только,одной мультиплнкативной рав' мерной постоянной А, имеющей размерность 1яуч. Эта постоянная может характеризовать собой в некотором смысле суммарные свойства начального распределения момента связи Ьл . В часта ности, значение постоянной А может быть определено формулой вида А ~ ~ Ьл(г>1) Ф( — ) Ыг~ е / га ч гдв Ф ~ — ~ есть некоторая функция.
~ ча! Положим л ~- —. у(г, й т) Ьа = Ач г 2 3 + я+й По првдцоложению безразмерная величина у" (г, 1, ч) зависит только от трах размерных параметров г, 1 и т, позтому функция у(г, г, т) га зависит только от комбинация $ — . Следовательно, справед. чг ' 110 дива формула вида (17) В дальнейшем мы будем рассматривать такие движения, для которых 7(оо) =О, а 7(О) =1; первое условие соответствует статистической независимости скоростей двух точек при г-ь+ оо, второму условию легко удовлетворить выбором чнсленного значения постоянной А.
Иэ формулы (17) при г =0 имеем: Е 1 — Ач (1й) 3 1+а+- 1 2 представляет собой коэффициент корреляции между проекциямн скоростей двух точек на отрезок, соединяющий эти точки. В рассматриваемом случае при 8 = 0 коэффициент коррелацин равен нулю, если гф О, и единице, если г= О. Пользуясь формулой (17), из уравнения (1б) получим: , У"-~-$+-,бе)У'-~-~.'У-О, (19) где 1+0+— г 2 10 Это уравнение получено Карманом и Ховартом непосредственно ие допущения, что коэффициент корреляции зависит только от /Ф комбинации †.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
