Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1944) (1155751), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Закон сохранена энергии выражается в постоянстве суммы механической энергии наблюдаемого движеняя и энергии молекулярного движении. Оба вида энергии можно рассматривать как составляющие различных видов механической энергяи. Всли пренебречь внутримолекулярными силами, то свойство вязкости определяется средними кинематнческими характеристиками состояния молекулярного движения и свойством инерции молекул жидкости. Беспорядочное турбулентное перемешиванне по отношению к перелизанному движению аналогично молекулярному движению но отношению к истинному турбулентному движению.
Турбулентные пульсации аналогичны' пульсациям молекулярного хаотического движения. Различие заключается в равном порядке средних величин, характеризующих пульсацнонные движения. Вместо движения отдельных молекул в тепловом процессе, при турбулентном перемешивании' мы имеем пульсацнонные движения амолейь — объ6моэ жидкости, весьма больших по сравненяю с размерами и массой молекул, Кроме этого, величины средних скоростей пульсаций в турбулентном движении очень малы по сравнению с величиной средней скорости теплового движения, 1И Прн турбулентном движении можно рассматривать преобраэо.
ванне энергии осреднзнного движения в энергию турбулентного молврного движения. В этом смысле можно говорить о диссипации энергии среднего движения, причзм вта диссипация непосредственно не Связана с переходом механической энергии в тепловую; и, следовательно, этот процесс может быть независим от свойства вязкости жидкости. Перераспределение Кинетической энергии межау наблюдаемым средним движением и движением пульсационным можно рассматривать также и для идеальной жидкости.
Как известно, для идеальной несжимаемой жидкости переход механической энергии в тепловую невозможен. Следовательно, переход энергии из среднего движения в молярное турбулентное движение пульсаций в ряде случаев может определяться в основном только свойством инерции. При движении жйдкости в трубе происходит потеря механической энергии, следовательно, должны быть области, в которых вляянме вязкости сущэствеино. Вследствие прилипания жидкости к стеккам трубы на стенках мгновенная и средняя скорости жидкости равны нулю. Поэтому в непосредственной близости у стенок трубы не может быть интенсивного перемешивания жидкости. Это служит основанием для ч(ывода, что непосредственно около стенок резкое изменение скорости должно определяться свойством вязкости жидкости, и что около стенок должен существовать слой с ламинарным движением.
Опытные данные хорошо подтверждают этот вывод, Предположим, что в основном ядре турбулентного потока вблизи оси трубы выравнивание скоростей определяется молярным перемешиваиием жидкости, в котором свойство вязкости имеет второстепенное несущественное значение. Обозначим через 3 толщину слоя жидкости вблизи стенок, в котором недопустимо пренебрегать свойством вязкости жидкости. Приближзнно величину 3 можно приравнять толщине ламинарного слоя у стенок трубы. По предположению, при у ) е вязкость несущественна и„ следовательно, в формуле (4) при у ) е число Рейнольдса несущественно, т.
е. Равенство (6) указывает на существование универсального зюсоиа распределения скоростей в трубах. Опыты по язмерению распределения скоростей в трубах при турбулентном движении, произведенные прн всевозможных значениях числа Рейнольдса, очень хорошо подтверждают справедливость существования подобного универсального закона распределамия .скоростей, йезависимого от числа Рэйиольдса 1.йй ~см.
рис. 21). Ешь в 18о8 г. Дарсн ') предложил амннрическую формулу =5,08~1 — ')') . ' " ''' Ж) Рис. 21; -в) Ва'ссу, мйпо1ссв йе йч ланажв йсам8асв,.вс 45,1988. .136 Графическое иэображение результатоэ эксперимента для— вь в функции от — дано также -в работах Стантона'), Фритчая) н У Ннкурадзеа). Эти авторы отметили существование указанной универсальной зависимости, которая оказалась справедливой в центральной части гладких и шероховатых труб независимо от шероховатости, несмотря нато, что сопротивление, а также отношение а — и т.
п. существенно зависят от числа Рейнольдса и от шеро. ' 'вь ховатости. Приввавнное истолкование справедливости закона (5) получилось из анализа размерностей как следствие пренебрежения свойством вязкости для относительного движения в центре трубы. Это объяснение дано в работах Прандтля и Кармана. Рассмотрим теперь задачу об определении вида функции, дающей закон распределения скоростей в поперечном .сечении трубы при,турбулентном движении. Имея в виду большие значения числа Рейнольдса, что для заданных и и †равносиль большим значеР ниам радиуса а, рассмотрим предельный случай а-ь+ со. В этом случае получается задача о турбулентном движении в полупространстве у ~ О; ограниченном плоскостью у ТЬ Системой определяющих параметров будет р, и, те, у.
Для распределения осреднйнных скоростей, получаем формулу —." -Ф(0. (7) в,гу 1" При ламинарном движении вид функции 9(т1) легко опреде. ляется теоретически. В самом деле, при ламинарном движении в цилиндрической трубе все частицы жидкости движутся равномерно и прямолинейно, поэтомр свойство инерции должно, быть несущественно, и следовательно, распределение скоростей не должно зависеть от величины р. Так как определяющими парямдтрами являются ге, и, и у, то из теории размерности получаем: 91апгоп,.ргое. Яоу.
Зос. (А), т. 85,„19РЬ Р г11асЬ, ЕАММ, г. 8, 1928 н АасвеЛег АЬЬапе.,'Ч1Ж 1928. $Я!Ьигааэе, Ргос. о1 1Ье Ш1гй 1пгеш. Сопйгеи, 1930. где й есть безразмерная постойнная. Составляя соотношение ~ Л'дугу о' получаем й 1. Следовательно, для ламинарного движения справедлива формула о р (и) = и. (8) Если' мы примем, что з общем случае турбулентного движения вблизи стены имеется ламинарный слой, то формула (8) определяет вид функции у(~) непосредственно вблизи стенок. Для турбулентного движения функцию. о(п) можно определить с помощью опытов.
Но в опытах в трубе с конечным радиусом кроме параметра о1 добавляется еща число Рейнольдса й= —. о„,оа Р В исследованиях распределения скоростей при турбулентном движении большую роль сыграли степенные эмпирические формулы вида: — = Ап", (9) где А и и суть постоянные. Эти постоянные можно определить либо путам непосредственного измерения распрелеления скоростей, либо косвенно, с помощью опытного определения закона сопротивлениа трубы. Для выяснения последнего способа выразим сопротивление грубы через закон распределения скоростей по радиусу трубы.
Коэффициент сопротивления круглой трубы определяется равен° Ф ством (10) Эйо рао ~ йг ' г. 2 где 1) . л юн — ' оа' в есть средняя скорость по сечению трубы, причам 9 есть объем. ный расход жидкости. В общем случае для распределения скоро отей по радиусу"'грубы справедлива формула вида .— ". =Ф = — ""," -'-') Осредняя по эечению трубы, получим: о 1 — '=--э~ ~р ° 2я(а — у)гу =2)ср ~ Й„~ йф1 — Л) юг. (11) о о разрещая зто уравнение относительно =', найден ф как функм цню от и,. Нетрудно усмотреть, что для степенного закона распределения скоростей, определяемого формулой (9), в которой А и л не зависят от числа Рейнольдса и„ для козффицнента ф получаем формулу вида И ф=ща, (12) где а и и суть постоянные. В самом деле, подставляя АУ) А ° К® Л" в соотношенаь (11), получим: и (л+ 1)(й+ 2) ' ~ -И ) ' '«' ' Сравнивая формулы (12) и (13), получаем простые соотношения мшкду постоянными гл и л и постояннымн а, А и и.
Эмпирическая формула Блазиуса для сопротивления гладах цилиндрических труб имеет вид ф У (14) й 1л Если принять степенной закон для распределения скоростей, то формула Блазнуса (14) приводит к закону «одной седьмойэ: '/т формулы (14) и (15) хорошо согласуются с опытом') для чясел Рейнольдса 2йт в интервале от 10' до 10е; для меньших значений с опытами согласуется лучше формула вида (9) т) Ещй лучше согаасуется с олмтзми формула с лозффицяевтом 8,7 вместо 8,6, 129 9 сел~® л М. отошла ОцрадваяЕМ =е, ПОСЛЕ ЧЕГО. На ОСНОВаНИИ раВЕНСтеа (10) а вайдам: е1~.' (18) с показателем л = — .
Лля 211, > 16а показатель необходимо 1 уменьшить. Результаты экспериментов (рис. 22) показывают, .что наилучшее совпадение с опытом получается для эмпйрической формулы вида — = о(ч1)=5,75 1ои «+5,5. (16) Формулы (9) и (16) теряют справедливость в непосредственной блиаости стенок, где т1=0. Вблизи стенок имеется ламинарный слой, для которого Р(т1)= т1. Если мы допустим, что ламинарный гл 7х 3 7 е ~ Рнс. 22 слой примыкает к турбулентному потоку, и потребуем, чтобы скорости частиц жидкости на границе ламинарного слоя переходили непрерывно в турбулентное распределение скоростей, определяемых по формулам (15) и (16), то это даат возможность определить толщину ламинарного слоя либо из уравнения т1 = 5,75 1од т1+ 5,5, либо нз уравнения т1 = 8,7 т1 ~' Решение этих уравнений в обоих случаях даат для 'Л значение, 130 ! близкое к я ж12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
