Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1944) (1155751), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Полагая и =12, вайдам формулу для толщины ламинарного слов: — = 12 —. а ао,„о' Полагая К,= 40000 и пользуясь формулой Блазиуса, получим: — = -гт = 0,0065. а 88 а й~ ° (1 7) Отсюда можно заключить, что толщина ламинарного слоя мала по сравнению с радиусом трубы а. Рассмотрим теперь теоретические соображения Прандтля и Кармана об определении вада функции е (т1). Обозначим через и' и о' проекции на оси х и у скорости турбулентных пульсаций. Среднее значение переноса количества движения жидкости вдоль оси у, отнесенное к единице времени и площади, представляется в виде =Ри Ф.
Применяя теорему об изменении количества движения к объему '$гг'- Рис. 23. Отсюда с помощью соотношения (р — «з) а = 2тот. находим," с+р,~, = о(1 а). (18) При ламинарном движении ". =О, и мы имеем течение Пуазейля. В этом случае из уравнения (18) получается параболический закон распределения скоростей. При турбулентном движении непосредственно вблизи стенок при у = 0 имеется ламинарный слой, в котором т =0 н — жО, вследствие чего уравнеиие (18) при- У и 131 жидкости, заключанному внутри коаксиального с трубой круглого щялиндра радиуса г (рис.
23), после осреднения получим: (р, — ре) вгз = т ° 2игЬ+ и — 2ягЬ. Фй Иу водится к соотношению лй р — = "е~ лу откуда и= — или — = —, что совпадает с формулой (8), сьг и ге„у Р вч Р' Если обратиться к кинетической теории газов, то касательное л'и напряжение вязкого трения й — можно рассматривать как среднее лу значение переноса количества движения, отнесйнного к единице времени и площади и обусловливаемого хаотическим тепловым движением отдельных молекул. В этом смысле оба члена левой части уравнения (18) имеют одинаковую природу. В области резко выраженного турбулентного потока т ф О и велико по сравнению с т, поэтому допустимо пренебрегать членом Ий в — по сравнению с т. Иу Определение зависимости т от характеристик осреднйнного движения можно свести к определению величины 1, имеюшей размерность длины и связанной с -.
соотношением: =рг! "~ ". (19) При более подробном рассмотрении механизма турбулентного перемешивания ряд интуитивных соображений позволяет истолковать длину 1 как величину, аналогичную пути свободного пробега молекул в тепловом движении газов' ). Поэтому 1 называется путам Перемешивания. Основной смысл перехода от т к 1 связан с большей. наглядностью величины 1. При отсутствии влияимя вязкости величина т зависит квадратнчески от скорости, поэтому 1 не зависит от ско.
рости, что позволяет для установления связи с характерными размерами опереться на некоторые интуитивные соображенивг При более подробном расбмотренни уда6тся показать, что ! убывает при приближении к стенкам, и связать величину 1 у стенок с характеристиками шероховатости. При и = оо путь перемешивания определяется параметрами р, р, в и у; поэтому в этом случае справедлива формула вида 1=у ф(й~). Допустим, что при некотором специальном выборе начала отсчйта для координаты у свойство вязкостя несущественно.
а) педробнообзтом см. ста~ью пранлтля, мехаяива вязких жидко. стев, в кинге дюреид, Лзродивамнка, Оборойгиз, 1Ю. 132 $+з этого допущения следует: 1= ау, гдсе л есть иеяоторая безразмерная постоянная. Пренебрегая в уравнении'(18) членами р и =' О, получим: аг а ддитв т = т = рйзуз ( — 1 . (е1 1 1нтегрируя это уравнение, вайдам: и= — „" [1пу — 1пуеД. (26) 1-1м оси подобия при у=О имеем и= — оо. Постоянная ннтегри- 1лзвания Уа дайт расстояние до оси подобия точки, в которой и = О. %-1епосредственно около стенки будет существовать ламинарный юлой,' к которому прилегает турбулентное течение; еслн мы пр ° люлжим турбулентное теченяе до стенки, на которой удовлетворяегся условие и = О, то получим, что уе равняется расстоянию оси подобна лхо стенки..Так как у должно определяться величинами р, в и и, то это дает; м Рвь гле р есть безразмерная постоянная.
При реако выраженном турбулентном движении величина .уе мала. Подставляя найденное значение для те в формулу '(2О), ыпйдвм: и = — ь (1и т~ — 1п р). а (21) В области турбулентного движения формулу (21) можно рас. сыатривать как теоретическое обоснование эмпирической фор- мулы (16). Постоянные й н Р необходимо взять из опыта. С уве- личением числа" Ряйнольдса. допущения, сделанные при выволе формулы (21), становятся более точными. Это позволает сделать вывод.о том; Что формула (16) должна хорошо отвечать действи- тельности пря увелячении числа Рейнольдса. Если принять, что логарифмический закон распределения ско- ростей справедлив для турбулентного движения в круглой трубе лао самой оси трубы, то получим формулу: -мы — = Р (» ~1 = 6,75 1ок —, вв ~а~ У которая хорошо согласуется с опытными данными как для глад- ымх, так я для шероховатых труб; последнее объясняется тем,.что влияние шероховатости можно свести к изменению величины у, которая исключается прм выводе этой формулы').
з) О ваияннв шероховатости см. статые П р а нд т л я, Механика еяз- ммх жвдяестегь в кияге д и р е я да, Аэродинамика, т. 111 Обвроягнз, 1888. 186 Остановимся еще на ряде соображений теории размерностей и подобия, которые можно применить к рассматриваемой задаче о турбулентном движении. Обозначим через и„, пя проекции скорости мгновенного движения и через и' и и' — проекции скорости пульсации.
В изучаемой задаче о прямолинейном осредненном движении имеем: и =и+и', / Рассмотрим поле скоростей относительного движения, определяе ° мого проекциями и+и' — илп и', где им есть средняя скорость в некоторой точке М. Основная гипотеза Кармана заключается в предположении, что турбулентные поля скоростей относительного движения в различных точках потока кинематически подобны. Применяя операцию осреднения, получим, что поле осредненных относительных скоростей [и(у) — ам, 0~ также кинематнчески подобно в различных точках потока. Пересчет значений всех кннематических, величин при переходе от одной точки к другой можно произвести с помощью переходных масштабов для двух независимых кинематических величин.
Велкчины этих масштабов можно получить из рассмотрения закона распределения средних скоростей. Закон распределения средних относительных скоростей вблизи данной точки можно характеризовать последовательностью производных: и вщ Э З ~ 3 (22) Любые две првизводные имеют независимые размерности, а из любых трах производных можно образовать безразмерную комбинацию. Из первых трах производных можно образовать безразмерную комбинацию: яйся и'им Так как все производные являются функциями одной и той же переменной, то очевидно, что между любыми двумя безразмерными комбинациями, составленными из последовательности (22), имеет место функциональная связь, не содержащая размерных постоянных. Например, Следовательно, необхйднным и ддСтйточным условисм ппдвбня 134 относительных дви1кений для всех значений ф у служит условие: (23) ! лют — Й = сопз1 л'и"' (23) я' (27) т = РРЯ'Я = Рй, — "„.„ (28) где Й, есть безразмерная постоянная.
Длв законов распределения скоростей (24) и (26) формула (27) приводит при соответствующем выборе начала отсчета для у к соотношению: 1 =йу, которое мы получилн раньше, как следствие гипотезы о несуще. ственности свойства вязкости. Законураспределенвяскоростей(26)соответствует". = те = сопзг. для законов распределения скоростей (25) и (26) ", получается переменным.
Условие (23) сильно сужает возможные законы Распределения средних скоростей. Первоначальное точное условие о подобии можно ослабить и предположить наличие подобия относительных 135 Условие (23) представляет. собой дифференциальное уравнение лля и(у). Интегрируя зто уравнение, вайдам при л 4= 1 н 2: и = А (у + В)е-ь + С, (24) где А, В, С суть некоторые размерные постоянные интегрирования. При й = 1 решение имеет вид: У и=Ме" + М, н, наконец, при й = 2 имеем: и = Р 1п (у+ 9)+ Я, (26) де М, г1, М, Р, ь), 8 суть постоянные интегрирования.
Таким образом, очевидно, что предположение о точном подобии приводит к вполне определанным специальным видам законов распределения средней скорости. Формула (26) отвечает логарифмическому закону распределения скоростей. Из условия о 'подобии для пути перемешивания ! и для тур.
булентного переноса количества движения т следуют формулы: ~юлей скорости в окрестности любых точек с точностщо только ло величии второго порядка малости. При таком допутцении в послеловательности (22) в качестве характерных величин сохраняются только и' и и", и поэтому уравнение (23) выпадает, тогда как формулы (27) и (28) сохраняются. С немощью форнулы (28) и равенства (18) можно получить теоретические формулы для закона распределения средних скоростеи ~). '),См.
статьиКарнаиа в сборнике Проблемытурбулевтности,ОНТИ, 1939. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
