Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1944) (1155751), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(Зт) 11$ 3. Заковы вырождения турбулентности с уайтом моментов третьего порядка. ' Законы развитии турбулентности, представляемые формулами (36), получены с помощью дополнительного допущения Кармана и Ховарта о' том, что правую часть в уравнении (31) можно за-. менить пулам. Если приравнять правую часть уравнения (31) нулю, то это даат следующее уравнение для функции г(Х): У+ Х =О 4У которое- не имеет решений, удовлетворяющих условию г(0)=1, за исключением решения ~(у) =1, которое не удовлетворяет физическому условию г(оо) = О. Следовательно, решение Кармана и Ховарта является прнближанным, вместе с этим оно не лайт соотношений для определения функций /(Х) и й(Х).
Далее, мы найдем физически допустимые точные решения уравнения (14) при сохранении только основных предположений Кармана и Ховарта, которые заключаются в следующих двух фор- Ь связи с соотношением (37) проанализируем следующие дозможные. случаи: 1'. Функции Х»'(Х), »(Х) и 1 (Х)+ †линей независимые. 4~' Ст) 9'. Существует только одно независимое линейное соотношение с постоянными коэффициентами вида: с Х»'+с У+се(» + ~ ) =О, (38) в котором не все с„с, сз равны' нулю. 3.
Между функшяями Х»',»;у'+ — существует два линейно о 4»l независимых соотношения с постояннымй коэффициентами. Так как /че О, то этн соотношения всегда можно представить в виде и» + сз~. / 4»~ г Х нетрудно видеть, что в последнем случае должно быть / с с~=се=О и»=сопз1. Это решение не представляет физического интереса, поэтому третий случай отпадает. В первом случае коэффициенты в соотношении (37) равны нулю, поэтому 1. Лт 1 М» ч 1 = — =»с; — — = — с; == —, (39) лс ' г'Р яс г'» ° ! тс где л, с н ш суть некоторые постоянные числа.
Система соотношений (39) даат: »=сУш~(1+9»= —,, ' А. д (40) 119 Следэвательно, получается вполне апреле-внный закон для изменения 1 и » в зависимости от времени. Этот закон совпадает с ваконом 136) при й = — . В этом случае для двух Функций 1 2 ' г(Х1 и й(Х) получается только одно уравнение. Исследуеч теперь второй случай. Легко видеть, что з соотношении (38) коэффициент с должен быть отличным от нуля, так как иначе длв функции Г(Х) получается уравнение с,~+ свХ»', О, которое прн с, фО не имеет решения, удовлетворяющего условию у10) =1, а при с,=О получаем»' =0 нли г= сопзйфО, что исключается .условием ~(со) = О. Так как с ~ О, то соотношение (38) можно представить и виде уч+ — 'у'+ф ХЕ" + ф Е'= О, Х (41) где а, и ат суть постоянные коэффициенты.
Из уравнений (37) и (41) находим; 1,Гч 1 аЕ а -хУ' — =- — а,— 2 1ЛЕ УгЬ ЛЕ ЛЕ )'б ° Е 1 1 Г ч Е а'Ь ч' — — Е' ~ — — — +аз— 2 1.ЛЕ )е Ьз Ле аЕ Так как функции ХЕ' и Е' линейно независимы, то выражения в квадратных скобках обращаются в следует: '1 ДЕ = — =а, +р, .Ь'Ь ЛЕ ' ~'Ь . Е .Е аЬ э )еаз че г'ь ° е )ЕЬ Е 1' очевидно, что нуль; отсюда где'р,и д †су постоянные интегрирования. Подставляя соотношения (42) в (31) и приняв во внимание уравнение (41), вайдам уравнение для определения а.(Х)' в виде й + хор+ — уд=о.
4Л 1, 1 (43) Х Ь"„ч Раньше мы установили, что разложение функции -г- =Ее по ~Ь' степеням — = Х должно начинаться с членов порядка Хз, поэтому Е э l нз уравнения '(43) следует, что а = О. Таким образом, в рассматриваемом случае мы нашли полную систему уравнений (411, 143) и (42) для определения й и,е в функции от переменной х и величин Е и Ь в функции от времени Е. Эти уравнения содержат три отвлечанные постоянные а„ а и р.
Нетрудно усмотреть, что одна из этих постоянных несущественна; В самом деле, преобразование Х = ХХ', где Х есть некоторая постоянная, приводится к умножению еща неопределенного масштаба Е на постоянную ~Е = †~ . Произведя в уравнениях (41), (42) и (43) 1/ это преобразование, получим те же уравнения, но с преобразованными значениями а,', а,' и еЕ', которые определяются формуламн: а,' = а,ХЯ; а,' = азу; р' рХ. Фиксирование определенного значения для а, равносильно выбору определанного масштаба для Д l 12О 1 Л 4 ч У ь 4~ 2 Ес'ь с+р' и'Ь М вЂ” — = — 10а— ог .ЕС Ь ° С (46) Нетрудно видеть, что в частном случае, когда р=О, система уравнений (46) и (44) имеет решение: (=У.С,'ч,ь= — „,; У-М(10«, —,,'1 ° й О, Положим а,= —, тогда уравнение (41) представится в виде Х 2' ! Г'+Я+ «1Г+ — 'у=О.
- (44) 1 Уравнение (44) после обозначения а =10а и замены перез)энного го у=Х'= Е переходит в уравнение (19), которое мы нсследовалм раньше при изучении затухания весьма малых пульсаций, Следовательно, для с'(Е) мы получаем то же решение, как и в случае малых пульсаций: У(Е)=М(10а, 2 ' 8)' но теперь Сф~/тх и СхфО. Таким образом, учИт мбментов третьего порядка оказывает влияние на коэффициент корреляции Ь~~ у = — только через изменение зависимости от времени линейного Ь масштаба С.
Функцию Сх(Х) на основании уравнения (43)(я=О) легко выразить через функцию у'. Интегрируя уравнение (43) и принимая во внимание условие Сх = 0 прн Х = О, получим: х ух= 2 ~ Х"с (Х)с(Х 2 Х~- Умножая уравнение (44) на Хоф и интегрируя, найдвм: х х х ~Х~~'сСХ= — 4Хо~' — 20я ~ ХЩ~ = — 4Х'У' — 4оХа~'+ 4а ~~ у~~сСХ: о о о 1 Пользуясь этим соотношением при а ф 4, получим: 4о — 1 (~ (Х)+ (46) для определения С и Ь в функции от времени мы имеем уравне- 1 нив (42), которые при а, = —, аз=10и и о= Оприсбретаютвид: (30') которое соответствует решению Кармана и Ховарта для малых пульсациЯ.
Прн любом р и а ф 0,1 из уравнений (46) получаем: 1 1 г =СЬ'"+ 2Р (47) (1Овв — 1)в ' где С есть постоянная интегрирования. С другой стороны, если а 4, то существует инвариаит АфО, 1 н мы имеем соотношение (30), которое можно написать в виде — Ьй.
1 1 в' ай ° Соотношения (47) и (30) совместны только при р=О. Отсюда 1 вытекает, что при а= — моменты третьего порядка равны нулю, При йфО, из предположений (28) и (29) следует, что еф-, а 1 инвариант А равен либо нулю (а ) -), либо бесконечности 1А 4)в ( (1) При р~О и а~0,1 общее решение уравнений (46) можно представить в .виде г (48) 2'в и в(г+ гв) 1 1= ра — 1е„, в в ве -г вв (49) вев (1+, ° аеа ~ где приняты следующие обозначения: Ь (1Ое — 1) в те= —, Ь* .' 2р Г'Ьв через Ь" и ге обозначечы постоянные интегрирования, которые имеют размерность квадрата скорости н времени (1е имеет раз- мерность длины). Нетрудно видеть, что закон вырожлення турбулентного лвиже- ния определяется существенным образом только одной постоянной а, так как Ье и 1» играют роль 1иасштабных постоянных, а по- стоянная т" зависит только от начала отсчЕта времени.
Полученные нами законы вырождения нзотропной турбулент- ности (48) и (49) являются следствиями предположения (28) и (29). Для определения постоянной,е необходимы дополнительные гипо- тевы либо опытные данные. Из формул' (48), (49) и'(4б) следует, что при а) 0,1 и пви г -'-«+ со имеют место асимптотические соотношения: ь. Гь; цм которые показывают, что найденные нами законы изменения для Ь и 1 в функции от времени с учвтом моментов третьего порядка стремятся аснмптотически к законам, полученным Карманом и Ховартом при пренебрежении моментами третьего порядка. Однако, .прн малых а предельное движение будет достигаться медленно.
.й 23. УСХАНОВИВШИЕСЯ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ, р р а те=,— — — а др >' 1 1, 2 д» г= а — у, '(1) где а есть радиус трубы, — — среднее вначение градиента давдр дк пения вдоль тртбы, а т — напряжение трения на стенках трубы. Все безразмерные величины являютсв функциями двух параметров: н ' а а' (2) /7; где о = 1гг — представляет собой так называемую скорость ка- Р сательного напряжения трения на стенках трубы. Безразмерные величтгны, характеризующие свойства движения в целом, не вависят' от 'переменной г и, следовательно, определяются только одним числом Рейиольдса. В ряде случаев, в частности, при движении жидкости в трубах и в каналах, мы встречгемся с турбулентными движениями, для которых осреднзнное движение установившееся; такие потоки называются установившимися турбулентными потоками.
Рассмотрим задачу об установившемся турбулентном движении несжимаемой жидкости в неподвижной гладкой бесконечно длинной цилиндрической круглой трубе. Предположим, что среднее движение жидкости обладает аксиальной симметрией н средние скорости направлены вдоль осн трубы. Из уравнения, несжимаемости следует, что велйчннй сред- - ' них скоростей не зависят от.координаты х вдоль оси трубы: по сечению трубы средняя скорость переменил и зависит от расстояяия.г рассматриваем й точки до центра трубы. Нетрудно видеть, что.,характеристики осреднвнного движения определяются следующей системой параметров: Обозначим величину скорости осреднэнного движения через и и через и — скорость в центре трубы. Иэ теории размерностей вытекает, что — =У(В) (3) и —.и ( а — у) Величина и — и, называемая дефектом скорости, характеризует распределение скорости по сечению трубы относительно движения в центре трубы. Дальше мы будем рассматривать резко выраженные турбулентные движения, что соответствует большим значениям числа Рейнольдса.
Распределение скоростей в трубе тесно связано с явлением турбулентного перемешивання, благодаря которому происходит обмен количеством движения между соседними слоями жидкости. - Выравнивание скоростей, обусловливаемое переносом количеств движения, определяется свойством инерции жидкости. С точки зрения кинетической теории материи свойство вязкости объясняется наличием хаотического молекулярного движе- ння, которое способствует выравниванию скоростей наблюдаемого движения н приводит к преобразованию кинетической энергии наблюдаемого движения в энергию теплового движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
