Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1944) (1155751), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(14) Эти формУлы определяют зависимость Р „и / от массы. Постоянные с, и сз аависят от формы конуса. Интересно отметить, что в'формулах (13) и (14) закон влияния массы не зависит от формы конуса. форма конуса влияет только на значения постоянных с, и с . Однако, общий вывод о том, что максимальная сила пропорциональна и'Л для тел любой формы, вообще говоря, был бы несправедлив. В самом деле, рассмотрим падение на воду длинного плоского клина с небольшим углом килеватости. Пусть плоскость симметрии клина вертикальна, скорость падения велика. Пренебрегая свойством весомости воды н клина, получим следующую систему определяющих параметров: А где Е есть длина клина по килю, т, — масса клина, приходящаяся на единицу длины. Если Е очень велико, то мы мо1кем рассматривать предельный случай Е = оо. В предельном слуЧае плоского бесконечно длинного клина, когда смоченная поверхность не достигает крайз клина, линейный 'размер исключается, благодаря чему явление определяется только четырьмя размерными величинами: пе гл~ Р.
Все безразмерные характерястики определяются одной без;азмерной величиной Р Максимальные и средние значения безразмерных механических характеристик будут безразмерными постоянными. Таким образом, в атом случае для максимальной силы удара справедлива формула: ~шт .' 3 — — сз у ~1и~ осю илн Р „= сз~ртЬе3.
Следовательно, для весьма вытянутых тел максимальная сила йропорциональна корню квадратному из массы тела. Постоянная сз зависит от кнлеватостн, ез можно рассматривать как функцию от угла килеватости р. Нетрудно видеть, что с увеличивается с уменьшением 'угла килеватости. Для малых углов килеватости можно положить га сз — ~ где г при малых р можно считать не зависящей от 4 угла килеватости. В общем случае конечного клина для сз можно дать формулу Результаты эксперимента удобно обрабатывать, определяя функ/ т цию у1 —,, ~), так как при малых р н для сильно вытянутых клиньев или малых лг эта функция будет изменяться слабо в зависимости от своих аргументов.
9 19. ПОГРУЖЕНИЕ В ЖИДКОСТЬ КОНУСА И КЛИНА С ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТЬЮ. Рассмотрим задачу о неустановившемся движении несжимаемой жидкости, вызываемом погружением в жидкость твердого тела, имеющего форму конуса или клина. Форма конуса в случае прострачственной задачи и форма плоского клина бесконечного размаха в случае плоской задачи интересны тем, что их поверхность фиксируется полностью одним требованием о геометрическом подобии.
Совокупность геометрически подобных конусов сводится к одному единственному конусу. Поверхность конуса и поверхность плоского клина определяются полностью безразмерными геометрическими величинами. Примем, что жидкость занимает все нижнее полупространство, ограничейное- горизонтальной плоскостью, и что свойствами весо. мости и вязкости жидкости можно пренебречь.
Следовательно, будем считать, что жидкость несжимаема, однородна и идеальна. Пусть г = О есть начальный момент времеви, в который происходит касание телом покоящейся жидкости. Тело, погружающееся в жидкость, совершает поступательное движение со скоростью и, постоянной по величине и по направлению. Предположим, что на свободной поверхности давление р имеет постоянное значение р .
Из несжимаемости жидкости следует, что 99 значецив ре на свободной поверхности не может повлиять на а>озмущзнное движение жидкостй. Вместо давления р мы можем рассмотреть разность р — ре; в етом случае параметр ре несуще. ственен. Поэтому механические свойства жидкости. определяются единственна>м параметром †плотност Р.. Иа сказанного слелует, что все механические характеристики ' д=ижеиия жидкости в каждой точке определшотся величинами Р> г~ о1.<' р х у1 х1 где а и Р суть углы, определяющие напр>влетие скорости и относительно тела, а х, у, л — координаты рассматриваемой точки либо в неподвижной системе координат, начало которой совпадает с точкой касания острия конуса с уровнем жидкости, либо в подвижной системе координат, которая скреплена степом и начало которой совпадает с остри6м конуса. Очевидно, что все безразмерные величины, которые можно связать с рассматриваемым явлением, определяются параметрами х у а ег' т>г ' вг ' причзм парзметры — —, — могут влиять только на величины, х у х ег ' ег ' ег зависящие от положения рассматриваемой точки внутри жидкости.
Суммарные безразмерные параметры (например, общая сила реакции жидкости и т. п.) или параметры, независимые от положения точки в пространстве, зависят только от углов а, Р. Есля направление скорости фиксировано (например, скорость вертикальна), то все безразмерные суммарные характеристики мы можем рассматри.ать как абсолютные постоянные, зависящее только от формы конуса. Обозначим через е(х, у, л, Ф) потенциал скоростей возмущенного движения жидкости для случая, когда скорость конуса задана- по величине и по направлению. Ввиду того, что движение >кидкости неустановившееся, задача об определении возмущзниого движения жилкости сзочится к определению потенциала скоростей как функции четырвх независимых переменных х, у, х, 1. На основавдн теории размерностей легко свести четыре незагисимые переменные к трвм. В самом деле; величина †, безразмерная, поэтому справедлива ч' формула следущего вида: (1) Для скорости частицы жидкости >> имеет место формула вила в=эу®, у, ®.
Величины суммарной силы реакции воды и смоченнбй площади представляются формулами: Р = с,ртНР, 3 = сэпт1э, (3) причзм коэффициенты с„св и направление силы Р зависят только' от формы конуса и от направления скорости движения конуса. Первая из формул (3) показывает, ччо сила реакции воды пропор- циональна плотности жидкости, четвертой степени скорости и ква- драту времени. Смоченная площадь пропорциональна квадрату ско- рости и квадрату времени.
Очевидно, что дза различных со- стояния одного н того же движения динамически подобны. В случае двухмерной задачи о погружении плоского клина (плоскость движения есть плоскость ху) для потенциала, скоростей и для распределения скоростей справедливы формулы: 2= чай =,,1 Для силы на единицу длины клина и для смоченной длины по щеке клина' имеют место формулы: Р, с,'роз1, 1= св'пй (4) Из формул (3) и (4) видно, что при погружении тела в воду с постоянной скоростью зависимость величины силы реакции воды от скорости движения оказывается разной для тел различной формы. Постоянные с,' и с' зависят от угла килеватости клина, от углов наклона плоскости симметрии клчиа и скорости клина отно- сительно невозмущенного уровня свободной поверхности.
Для плоской вадачи имеются приближенные теоретические решения для вертикального погружения и для погружения пла- стинки, мало наклонзнной куровню жидкости, когда горизонтальная' составляющая скорости пластинки велика '). $20. ДИФФУЗИЯ ВИХРЕЙ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ. Соображения теории размерностей могут оказать большую по мощь при математическом решении некоторых фивических задач. В этом и следующих параграфах мы приведем примеры такого приложения теории размерностей. а) См. % а 2 и е г, 2АМИ, 1932, И 4; Седов Л.
И., Труды ЦАГИ, вмп, 252, 1936. 92 1эассмотрим. задачу о диффузии вихрей в вязкой несжимаемой жидкости в предположении, что движение жидкости плоскопараллельное ') и жидкость занимает всю плоскость. Рассматриваемое двн. жение — неустановившееся. Пусть в начальный момент времени г='О жидкость движется потенциально везде, за„исключением полюса О, представляющего собой след на плоскости движения бесконечного прямолинейного концентрированного вих(гя с циркуляцией Г. Примем, что движение обладает аксиальной симметрией.
Обозначим через Я угловую скорость частиц жидкости. Как известно, циркуляция по кругу радиуса гс с центром в О равна л та л Гл= 2~ ~ ЯгбгЛ=4я ~ гЯ(г)г(г. (1) ее о В начальный, момент времени для любого, в частности и для сколь угодно малого круга имеем: Гл=Г. ' (2) Уравнение распространения вихрей в рассматриваемом случае имеет вид дц гд»О 1 — »' — +— дт' ~ дг» г дг)' (3) г нь где» есть коэффициент иинематической вязкости ~»= -). Задача Р заключается .в определении величины Я как функции от радиуса г и времени г.
Из постановки задачи следует, что Я =у'(Г, », г, г). Из линейности уравнения (3) и начального условия следует, что Я пропорционально Г, т. е. Я=Ху,(», г, г). (4) О»Г Безразмерная комбинация — должна выразиться как функция от Г единственной независимой безразмерной величины — =$, которую можно составить из размерных параметров», г, 1. Следовательно, Я вЂ”,ф (1). а) См, Розе, Кибель и Кочин, Теозетическая гилромехаяика, ч. П, ОНТИ, 1641. В этой книге содержатся подробное описание и решение этой задачи с использованием соображений о Размерностях. .
93 Из формулы (б) очевиднб, что уравнение в частных производных (3) для функции И с дНумя независимыми переменными г и г при. водится к обыкновенносу дифференциальному уравнению с одной неиавестной переменной Е Подставляя выражение для Я из (б) в уравнение (3), имеем: ф (Е)+ Еф'(Е) + 4 (ф'(Е) + Еф" (Е)) = О. Интегрируя, получаем: Еф+4 Еф'=С. Постояиная С равняется нулю для решеиия, в котором ф(0) и ф'(О) конечны.
Интегрируя уравнение 4 — „„+ф=0, лф А" вайдам $ ф=Ае Для величины вихря Я это дает: а 1' Ае ог. Постоянную А определяем из начального условия. Циркуляция по кругу радиуса 7Е равняется Гл=4к — ) ге "'г(г=8кАГ(1 — е "'). АГ г о При а=0 для любого 7Е)0 имеем: Гл = 8кАГ. Начальное условие Гл = Г даат: 1 А= —. Ве' Окоичательное'решение задачи представляется формулой. и ст (е е.г) зты (7) Обозначим через Ь (г, С) скорость частиц жидкости. Движение жидкости обладает аксиальной симметрией, причйм скорость частиц жидкости направлена перпеиднкулярио к 'радиУсУ-вектоРУ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
