Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1944) (1155751), страница 19
Текст из файла (страница 19)
проведенному в рассматриваемую точку из полюса О. Учитывая направление вектора скорости, получаем следующую связь между Гд'и ьс Гл аю 2ягь. 94 Воспользовавшись формулой (6), найдвм закпн распределенйй скорости'по радиусу г и по времени 1: г 'в= — 11 — е 4"г). юг При 1=0 получается закон распределения скоростей, соответствующий точечному вихрю в идеальной жидкости. При г)0 и 1= 0 движение жидчости по1енциально, и вихри отсутствуют: при г~б и 1)0 движение жидкости вихревое в каждой точке жилкостн. Формула 17) дает закон распространения †диффузи вихрей. Эта формула показывает, что величина вихря в каждой точке возрастает с течением времени от нуля до максимума, равного — и затем опять стремится к нулю. ' Так как уравнение 13) линейное, то, исходя из полученного решения о распространении точечного вихря, можно построить методом суперпозвции решение задачи об асимметричном ' дан>кении при любом начальном распределении скоростей.
5 21. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ПРИ ОБТЕКАНИИ ВЯЗКОЙ жИДКОСТЬ1О ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ. Рассмотрим обтекание плоской бесконечно тонкой пластинки несжимаемой вязкой жидкостью. Пусть вдали перед пластинкой жидкость движется поступательно спостоянной скоростью У . Пластинка имеет бесконечную длину и расположена вдоль по потоку параллельно скорости 1гю Задача плоская. Движение установившееся. Жидкость аанимает всю плоскость вне пластинки. Эта задача о движении вязйой жидкости явлзстся самой простой, но, несмотря на зто, она не подлайтся.
точному решению с помощью уравнений Навье-Стокса ввиду больших математических трудностей. 'Мы разберем эту задачу с помощью уравнений Прандтля, которые получаются из общих уравнений'движений вязкой жидкости с помощью некоторых приближений '). Уравнения пограничного слоя Прандтля в рассматриваеном случае имеют внд ди ди дьл и-д-+ о — = т —, л ду дуг' ди де ~+ — =0, . где и и и суть проекции. скорости частиц жидкости на оси ко. ординат, а ч — козффициедт кинематнческой вязкосдн.
Ось ж '1 Р г а и д11 1... ЧегЬапб!„бег дг1ггеп 1пгеш., Магк Коняг. 1п Не1де!Ьегй (1904), 1.е1рзгя, 1905. 95 диг дит дтиа .,—. ,+.,— = — „ де еЧ , дЧ диг дог —,+ -=о. (б) направлена на пластинке вдоль потока, ось у в «ерпенднкулярно к пластинке. Кроме уравнений '(1), для определения ' и (л, у) и о(х, у) имеем ещй граничные условия: при л>0, у 0 и о 0; 1' (2) при у=-+ оо и=Уз.
Определяющими параметрами будут (7м т, х, у. Ввиду того, что пластинка плоская н -бесконечно длинная, характерного линейного размера указать нельзя. Из общих соображений теории размерностей следует, что все безразмерные величины являются функцнямн двух безразмерных комбвнапий: У У / чх Поэтому для рассматриваемой задачи справедливы формулы вида ~"' ~Ф' (3) (4) и. Покажем теперь, что вследствие особенностей уравнений (1) первый параметр У в формулах (3) и (4) несущественен, Для этого сделаем преобразование переменных: ,х=Л, у — у — л; 'и= Цеим и='у — о,, (5) о где Х есть некоторая постоянная, большая нуля.
Если мы припишем постоянной 1 размерность длины, то величины 1, ть иы о, можно рассматривать как безразмерные. После замены переменных по формулам (5) уравнения (1) примут вид: Граничные условия (2) в новых переменных примут вид: при $~0, т1=0, и о,=О; при л +о~ ' и~=1. (7) Уравнения (6) и граничные условия (7) можно рассматривать как формулировку задача о пограничном снов в безразмерном виде. решение втой аадачи не момгет зависеть от величины — = К. иег ч которая никак не фигурирует в уравнении (6) и граничных условиях (7) *).
С другой стороны, общие формулы (3) и (4) показывают, что и= — =у( ч, ч), (8) Так как решение не должно зависеть от 1с, то отсюда следует, что первый аргумент — не может входкть в правую часть фор- У мул (8) и (9). Таким образом, мы доказали, что решение поставленной задачи должно иметь вид ') гг,Г ( г ), . ГгОГ ' ".'1 — -;;) Введбм теперь новое переменное Л = — ч = у и положим ~4 У(Л) = гр'(Л). Подставляя а и о в уравнение неразрывности, вырк. знм функцию Ф(Л) через 9(Л): а Ф (Л)= Лр (Л)--(Лр р).
Пользуясь этим равенством, формулы (10) н (11) можно написать в виде (9) и=* Уор'(л). ГчОе 1 Г в = аг — „— ~Лгрг (Л) — гр(Л)1. (10') (1!г) 7 с=а л. и. «) Это обстоятельство есть свойство уравнений Праидтля (6), Если„ применить преобразование (5) к уравнениям Навье-Сгокса, то в резуяьтате получим безразмерные уравнения, сеаержащяе параметр й, вследствие чего дальнейшие выводы теряют свою справедливость в применения к уравнениям Навье †Сток. г) Локазательство справедливости формулы (1О) проведено несколько вяым способом в книге Л. Г.
Лойцянского, Аэродинамика пограничного слоя, Гостехлздат, 1941, стр. 76. Подставляя пол)гченные вырюкеиия для и и и в первбе из уравнений (1), для функции в (Л) получим обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка: 2р" + рр" =О. (12) Из граничных условий задачи (2) для искомой функции ав(Л), удовлетворяющей уравнению (12), получаются следующие граничные условия: <р' (0) = ~р (0) = 0 и <р' (со) = 1.
(13) Решение нелинейного дифференциального уравнения (12) при грзничных условиях 113) может быть получено приблнжзнно '). В приближенном способе решения, данном Твпфером, используется общее свойство решений уравнения (12), которое заключается в следующем. Если <ре(Л) есть некоторое решение уравнения (12), то функция <р (Л) = аее (аЛ), где а — любая постоянная, есть также решение уравнения (12).
Непосредственной проверкой легко убедиться в справедливости этого свойства. В качестве исходного решения ус(Л) возьмем решение уравнениа (12), удовлетворяющее граничным условиям: Ре(0)-Рв(0)=0 и р (0)-1. Функцию <ре(Л) можно построить обычными приближйнными методами. В результате приближанного решения можно вычислить предел 1)ш Ра(Л) =и. Х~+~а Численные выврисления дают й= 2,0854. Решение уравненкя (12), представляемое формулой Р(Л) = свч Ро(эч Л), удовлетворяет граничным условиям: м' <р(0) = <р' (0) = 0 и ср" (0) а, причйм ,.Иш е'(Л)= й ° ецч Х->+ сю Отсюда ясно, что для получения искомого решения достаточно положить а е —,.
0,332. 1 а'4 ') В1ав1ав, Яеивслг. й Майк и. Раув., т. бэ (1908); Тзр1ег, хе)1всаг. 1. Мань в. Раув.', т.'60 (19!2). 98 Определив ве=эе(0), с помощью формулы (10') легко кайлам сопротивление трения, испытываемое пластинкой. На пластинке для напряжения трения т имеем: = РЦ вЂ” = 0,332 $г — '. (14) гпа~ Че(0) ~ Гргы, $' и. Пользуясь этим, вычислим сопротивление Вг участка пластинки шириною 3 и длиною 1: 27 3~ т Их = 0,6443 У рр1(Уев (18) е Напряжение трения т и сопротивление Вг оказались пропорциональными'полуторной степени скорости обтекания. Из соотношения (15) для коэффициента трения сг получается следующая формула: 2йг 1,328 сг рай Тгй ' где Данные экспериментов ') с плоскимн гладкими пластинками хорошо согласуются с найденным законом распределения скорости н сопротивления прн ламинарном режиме обтекания, характеризующемся небольшими значениями числа Рейнольлса И= — (3 ° 10з.
и,~ При больших значениях числа Рейнольдса рассмотренное выше ламиНарное установившееся движение неустойчиво. Возникает турбулентное двнжение, изменяющее существенным образом законы сопротивления и распределения скоростей вблизи пластинкй, $22. ИЗОТРОПНЫЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ. 1. Осредиение турбулентных движений.
Многие движения жидкости, наблюдающиеся в природе, и большинство движений, с которыми мы имеем дело в технике, характеризуютсв наличием беспорядочного неустановившегося движения жидкости, налагающегося на основное движение жидкости, которое е) Н а Пе е и, 2АМЗ1, Вб 8, гй 3, 1928; Р а 8 е, АВС, 1ИМ, рй 1880, 1934. те 22; можно представить себе, как некоторое статистически среднее движение. Движения жидкости такого рода называются турбулентНыми. При турбулентном движеняи жидкости скорость, давление н другие величины в каждой точке потока претерпевают нерегулярные пульсирующие изменения около некоторых средних значений.
Поэтому для исследования турбулентных потоков возможно целесообразно использовать понятия теории вероятностей; в этом случае мгновенные значения механических характеристик рассматриваются как случайные величины, а средние значения опреде. ляются как математические ожидания').
Чаще, однако, средние значения определяются как обычные средние по времени. Проне. жутки времени, за которые производится осреднение, должны быть достаточно большими по сравнению с временем отдельных пульсаций и должны быть малыми по сравнению с временем заметного изменения средних величин, если осреднйнное движение нестационарно е). Средние значения давлений, проекций скорости, произведений проекций пульсаций скорости, взятых в одной и той же точке или в различных соседних точках (так называемые моменты связи для скорости), и т. п, зависят в сильной степени от наличия турбулентного перемешивання, которое способствует выравниванию и сглаживанию изменения средних з зависимости от координат точек пространства. Опыт показывает, что ламинарные установившиеся движения жидкостк при больших значениях числа Рейнольдса, т. е.
при больших скоростях и больших масштабах, становятся неустойчивыми и переходят в неустановившиеся турбулентные движения, которые в среднем в ряде случаев могут быть установившимися движениями. В современной гидромеханике и аэродинамике основные и насущные проблемы о движении жидкостя в ограниченных про. странствах и о сопротивлении при движении-тел в жидкости тесно связаны с исследованием турбулентных потоков. Все теоретические исследования о движении вязкой жидкости исходят из предпосылки о справедливости уравненвй Навье — Стокса для истинного неустановившегося пульсирующего движения.
Однако, ввиду крайней аапутанности, извилистостн и сложности траекторий частиц жидкости при турбулентном движении и, - повидимому, вообще всех основных функциональных связей, получение решения уравнений Навье — Стокса для таких движений представляет собой крайне громоздкую и сложную задачу, которую можно ') См, например, Миллионщиков М. Д Доклады Академии иауи, т. 22, га 5, 1939. ') Об осредиевии см. Розе, Кочин и Ки бель, Теоретическая гидроиеааиива, ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
