Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1944) (1155751), страница 20
Текст из файла (страница 20)
П, 1941. $66 сравнить с задачей об описании движения отдельных молекул большого обьэма газа. Поэтому, подобно тому как в кинетической теории газов, в гидромеханике основные задачи о турбулентных движениях жидкости ставятся как задачи о разыскании функциональных соотношений между средними величинами. Уравнения движения для средних величин можно получить путйм осреднения уравнений движения для величин, описывающих мгновенное состояние движения. Ввиду нелинейности уравнений движения, после осреднения мы получаем большее число неизвестных, чем число уравнений,так как средние значения нЬлинейных чле. нов, например, произведения двух или нескольких величин, представляют собой новые неизвестные').
Таким образом при осредненнн уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкостна) помимо сРедних значений з),дла пРоекций скоРости и„ иа, из необходимо вводить ещз в рассмотрение средние значения произведений и!ль (1, я = 1,2,3). Следовательно, для математического изучения осредийнных турбулентных движений одних уравнений гидромеханики, достаточных для изучения истинных движений, недостаточно. Поэтому полное теоретическое исследование осреднэнных турбулентных движений возможно только на основании некоторых дополнительных гипотез, справедливость которых, в конечном счэте, может быть установлена только опытом 4). Содержание ряда работ по исследованию турбулентных лвиже. ний сводится' к изучению справедливости разлячных, более или менее вероятных, простых и естественных гипотез, которые можно проверить опытно и которые позволят поставить и решать теоретически основные задачи о турбулентном движении жидкости. В настоящее время ещэ не существует обшей математической постановки задачи о произвольных осреднэнных турбулентных движениях, и вообще ещй не выяснена самая возможность дать математическую формулировку задачи, подобную формулировке задачи об истинном движении вязкой жидкости.
Методы теории размерностей и соображения о подобии движений много раз использовались как основные методы исследования турбулентных движений жидкости. г)Болееподробно обзйомсм. Ке!!ег Е., Аейаейевй е!вез Зуз!евзчоп СЬагздгебзййеп бег а!пгозрййгмсЬеп ТшЬи!епз, Известия Главной физической обсерватории, 192б. з) Предположение о несжимаемостя жидкости мы сохраним во всех леаьиейшвх рассуждениях. з) По принятому обычаю мы будем обозначать среаиие зиачеиия , велвчяв буквами с чертой наверху. а) Мы предполагаем, что речь идат о формулнроаке математнческоя задачи с конечным числом неязвэстпых, 10! 2.
Свойства однородности и нзотровнестн. Рассмотрим турбулентное движение вязкой жидкости, заполняющей вез пространство 1). Состояние движения в каждый момент времени Ф определяется начальными возмущениями (возмущения жидкости в момент Ф * О) и свойствами инерции и вязкости жидкости, т.
е. величинами р и р. Возьмзм снЬему кинематически подобных начальных возмущений. Всякое отдельное возмущенное состояние можно определить заданием масштабов для длины и для времени, указав для етого некоторую характерную скорость и и некоторую характерную величину 1е, имевшую размерность длины. Следовательно, турбулентное состояние движения жидкости для ° системы кинематически подобных начальных возмущений определится параметрами: р р* Уе ие, г, х„х„х„ где х„ х, х суть координаты точек пространства я). Полученная таким образом совокупность турбулентных движений содержит движения, динамически не подобные.
Для подобия двух турбулентных движений необходимо и достаточво, чтобы для обоих движений число Рейнольдса имело одинаковое значение: , ~о!4иИ иеейват яч вя Момент времени и координаты точек, соответствующих подобным состояниям, определятся из соотношений: — — — — (г ],2,3), и01г1 иОФге . хм хм гм гм ' 4а 4м Если по самому определению величин ие и ге они имеют смысл для любого момента времени и зависят от состояния движения только в одной точке потока, то значения и н ! определятся функциями вида: Вообще для любой безразмерной механической характеристики, связанной с одной точкой жидкости, будут справедливы формулы аналогичного вида.
Помимо указанных параметров вти функции ') Вса последующее можно относить к движению жидкости в ограниченном пространстве нли в конечных обазмах жидкости, если допустимо пренебречь влиянием гравии. ° В Системы координат расположеяы подобие относительно распредеаенна начальных возмущенна, 103 зависят ещз .от безразмерных параметров, определяющих законы распределейия начальных возмущений. При изучении турбулентных движений приходится рассматривать характеристики, зависящие от состояния движения в двух нли в нескольких точках; зти характеристики могут зависеть от координат нескольких точек. Например, средние значения / Р с произведений проекций скорости в гн точках М, (хы ха, ла), Ма (х1, ха, лк,), '..., М (л~', хе, хек): ь а~ ° «и ( :иа,(Мг)иа,(М,)...иь„'(Мк) (Ан йа,..., й„=1, 2,3) (2) образуют тензор, компоненты которого для системы подобных начальных возмущений зависят еще от Злг координат л, (1= 1, 2, 3; ь й=1, 2, ..., щ).
Индексы г, а, ..., д представляют собой неко.торую определанную последовательность из номеров 1, 2, ..., гм (лг~ л). В общем случае величины т зависят существенно от всех координат. Турбулентный поток называется однородным, если все средние величины в каждой точке не зависят от положения точки, а средние значения для величин, зависящих от нескольких точек, зависят только от их относительного расположения, т. е.
только от Разностей кооРдинат лгс — л). В одноРодном тУРбУлентном поле скоростей функции (1) не зависят от — т, — к, — з . Осредненные характеристики движения жидкости вблизи любых двух точек одинаковы. Очевидно, что в случае однородного турбулентного потока начальные возмущения должны обладать некоторыми свойствами равномерности распределения возмущений ' по объему жидкости. Однородный турбулентный поток называется иаотропным, если тензоры связи проекций скорости, определанные -равенством 12), для любых и и лг не зависят от ориентации в пространстве многогранника М,Мз...М и от перехода к зеркальным изображениям етого многогранника относительно координатных плоскостей г). Компоненты тензора связи могут зависеть от положения осей координат относительно многогранника М,Мз ...
М и от выбора положительного направления вдоль осей. Для изотронного турбулентного потока величины ть,ь, „ь„ имеют одинаковое значение в системах координат, ориентированных одинаково относительно различных положений одного и того же многогранника. ') Если это условие справедливо только дкя 2 <и(Ф. 2~и(М, уо тйкой поток можно рассматризать аак приближенно изотроаяый. 103 По определению изотропное турбулентное движение обладает свойством симметрии в среднем.
Предполагается, что в течение. достаточно большого промежутка времени, аа который проивводится осреднение, в каждой точке пространства все направления скорости равновероятны; вто сочетается с допущением о том, что каждое мгновение движение жидкости непрерывно и близкие точки имеют приблизительно одинаковые скорости. Однородное нзотропное турбулентное движение можно рассматривать как простейший вид турбулентного движения. Возмущэнная жидкость', предоставленная самой себе, движется по инерции; под действием внутренних снл вязкости происходит диссипация кинетической энергии, †движен характеризуется затуханием, происходит вырождение турбулентных возмущений.
В изучении изотропной турбулентности основная задача закл1очается в определении законов затухания '). В общем случае турбулентные движения характеризуются выравниванием †диффузн возмущений. Изотропное турбулентное движение можно рассматривать в ряде случаев как своего рода предельное турбулентное движение, подобно тому, как неустановившееся течение часто можно приближбнно заменять установившимся предельным движением.
Как пока«зывают опыты, турбулентные движения воздуха, возникающие позади быстро продвигающихся решбток, практиче: ски можно рассматривать как однородные изотропные турбулентные движенияз). К этому же случаю приводится также турбулентное движение воздуха, продуваемого через неподвижную реш6тку, если добавить ко всей системе трансляцию с постоянной скоростью. С такой проблемой мы сталкиваемся при исследовании турбулентности в аэродинамических трубах.
3. Свойства симметрии теизоров моментов связи скоростей. Допущение об изотропностн влечбт за собой ряд соотношений между компонентами тенвора т„„ . Например, если компо- А'''~ ненты тенэора т„« „образованы как средние значения для «1 1''' В проекций скорости .одной и той же точки М, М ... М, то очевидно, что при л нечйтном имеем: т ««О. Прн н ч6тном не равны нулю только те компоненты, в которых г) В настоящее время вопрос о существования и о возможных различных видах изотропного турбулентяого движения вязкой жидкости теоретически еще не рагобран. ') См.
Оо)6«1е!я, Мобегп Рете1орюеп1« 1п г1а1й Вуяаю1сз, т. 1, 6 66, 1!?38 (имеется в русском переводе: Созремешще проблемы гидрчазромехаяики, т. 1, Гостехнз«ат, 1ФИ). !04 каждая проекция скорости встречается в чатной ятепени. В частности, при л 1 имеем: и,=ля из=-О; при л = 2 имеем: — — — -з -а -а 1— ил =и,из=лапе=О; и) из=из= 3 В ' (3) при л=З все компоненты равны нулю и т.
д. Если точки М, М,..., М различны или мы имеем всего две точки, то в этом случае будут иметь место некоторые условия симметрии, причЕм в случае только двух точек тензор связи зависит только от взаимного расстояния г рассматриваемых точек. Компойенты т зависят от г н от ориентации осей координат относительно отрезка М,Мя. Легко усмотреть справедливость сле)ующих соотношений, вытекающих из изотропности движения: щ)м),,)яо-,,)я);дмт )~-1, я, 3; )= ~, 2, 3). )4) Возьмем точку М, в начале координат, а точку Мз на оси х); тогда будем иметь: 4 )) т)) — — Ьл ф О, тзз —— таа — — Ь„ф О, т)з — — т)з — — тзз — О.
(5) Верхние индексы соответствуют точке Мз, нижние — точке М,. Очевидно, что величины Ьл~ и Ь„" зависят от х) и г' и являются чатными функциями от х,: Если точка Мв расположена произвольно относительно осей 4 координат, то все компоненты' т легко выразить через Ьа и Ь„. Формулы, выражающие тга через Ьа и Ь„', представлюот собой формулы преобразования кч)мпонентов тензора при переходе от спе. циальной системы координат, для которой ось х, проходит через.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
