Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1944) (1155751), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Число а является произвольной постоянной, введанной Карманом. Решение уравнения (19) зависит только от постоянной а. При е' сопев различие в значениях р и р важно только для Ц1 Вследствие аатухания турбулентного движения должно быть ' 1+ р+ ~ ) О поэтому, так как г (О) = 1,, то распределеняе возмущений, определяемых формулой (17), характеризуется нерегулярностью при а=О. Очевидно, что функция дуб, О, О~), О; И ! указания раамерностн постоянной А. Формула (17) показывает, 1-— что существенна только постоянная А» "', которая имеет размерность г (ет т 7зт!оа-з т+ —,— ! Общее решение уравнения (19) регулярно для всех ЕфО, со.
Регулярное решение при Е О, удовлетворяющееусловию7(0) 1, представляется формулой: У(Е) М(10«, — „— — 1 — «Е+ а(10 + !) Ея а(!0 +1)(!0а+ !Ез+, (20) 4.7 2! 4» ° 7 ° 9 ° 3! где М(«,7, х) есть конфлюэнтная гнпергеометрическая функция !). Дан этого решения при весьма больших значениях Е-ь + со справедливо асимптотическое разложение: Р ( — ) 8на ~ 10а (!Оа — ) Г ( — — 10а) !Оа (10а+ !)(10а — 2)(10а — 2) (21) 3 1 + 8з 2! Еа где Г есть символ функции гамма Эйлера. Из формул (1Т) и (21) легко выяснить поведение момента 3«а при г ч + со или при 1-+О. Для всех а ) 0 сцраведяиво предельное соотношение: 9®3м« !(Ш 3«агяеа = А»а+а ' '35 (22) Ы йслн 10« — — 9 т. е.
« — + (г ° 0,1, где и есть целое поло- 5 1 2 ' ' ' 4 жительное число, то изучаемое решение уравнениа (19) приобре!) См. Лаппве ева йшае, Рапи!!опеп(а(е!и, З.е изд, ТееЬпег, !939. 11$ тает простоа конечныв вид: 5 5 1 (2/ гне л+-— 2/ ( 1)л ("-')"~' В этом случае распределение момента Ьл в момент 1=0 имеет л характер источника.
При гфО и г=О имеем: Ьл=О; прн г=О и Ь-,+О имеем: Ьл-+ со, Уравнение (16) можно истолковать как уравнение теплопро. водности в пятимерном пространстве при наличии симмет- рии относительно начала координат. Решение, соответству1ощее . 1, а = 4:, (й =О), можно рассматривать как аналог теплового источ- ника в пятимерном пространстве1). В этом случае решение имеет вид: 1-Д е ем ЬЛ вЂ” Ач т л гго (ЯЭ) 2 Постояннаа Ач з при ' а = — имеет размерность ьзуол, Не. 4 1 трудно видеть, Что при е = — мнвариант Ь имеет конечное внр.
4 чение, отличное от нуля. На основании формулы (17) можно написать: СО .г чд Л-~ Ь,'.а=в ' ", ' (чг),— '* ~ЮК'~"К. (94) о о Это равенство показывает, что постоянство во времени ДфО, оо' несовместимо с неравенством еф —. Ив разложения(ЯЦ очавидч 1 4 ' но, что при 0<и< 4»меем: Д=оо. При а)-г имеем: д =О; 1 1 и последнем случае у(5) обязательно меняет знак при изменении $ от нуля до бесконечности, ') См. Л о й ц л н с к и й> Труды МАГИ выи.
440, 1939 и М и л л н о и щ иков, Доклады Академии наук,т. ХХП,га5, 1989, 8 оммм д.ли, ЦЗ Решения, определяемые формулам» (1у) и (зй), дают иепре. рывнйе законЫ распределениядля ьл (г, С ) при любых а и Се) й. Очевидно, что в этих'частных случаях, а следовательно, и вобщем случае, закон затухания зависит существенным образом от свойств начальных возмущений. Поэтому для получения асимптотических законов. затухания с'помощью рассмотренйых решений необходимо ещз воспользоваться либо дополнительными гипотезами механического характера, либо опытными данныий.
6. Задача о турбулентном движении в аэродинамической трубе. Как мы уже указывали, исследование изотропной турбулентности связывается с изучением турбулентности,вызываемой направляющими решатками в аэродинамических трубах. Рассмотрим вопрос о развитии турбулентного движения несжимаемой жидкости за решаткой, движущейся поступательно с постоянной скоростью и' вдоль оси х. Для простоты примем, что жидкость беспредельна, а решетка образована двояко-периодической системой конгруэнтных ячеек, сдвинутых друг относительйо друга в' пйоскостп, перпендикулярной к оси х. Возьмем совокупность движений решеток с геометрически фиксированной формой. Движение жидкости в плоскости,'перпендикулярной к оси х, определяется системой параметров: р,р,и,М,х=и(С -Я, где М есть характерный размер решйтки, а х — координата рас.
сматриваемой плоскости; постоянная Се определяется началом отсчвта для х. Безразмерные характеристики движения зависят от дзух параметров х риМ М сс Предположим, что для достаточно больших значений х М можно принять,'что турбулентное движение изотропно, и что в различных плоскостях, перпендикулярных к оси х, развитие изотропмой турбулентности отличается то..ько по фазе.
В этом случае характеристики турбулентного движения жидкости определяются параметрами: р, р, и, М, С. ьй ь - - Коэффипиенты корреляции С = — ' и' й = —, зависят.' от баз' д Ь ..: Фчл размерных параметров ..) лт'' ж' Формула (17) получается как следствие допущения, что для доста иг точно больших значений параметра' — этот параметр становится М несущественным.
Из.форыулы (1й) вытекает, что полагая 8 = Ье+ —,, получим: (25) Формула (25) дает аакон затухания турбулентных пульсаций вдоль оси трубы. , На основе ряда экспериментальных данных, полученных в аэро- диндмических трубах, Тейлор ') предложил эмпирическую формулу вида — =А+ —, и х "т' ь М где А и В суть постоянные, Для,согласоваияя формул (25) и (26) необходимо положить 1 1 ы' ч-— а= —.. При а= — имеем: [Ач Я)=7Я. .5'' т, Турбулемтные движения с большими пульсациями. иг Если параметр — несущественен, то коэффициенты коррег г ляции сохраняют постоянное значение йри )(= — = — сопз1.
)гчг Влияние времени сводится к изменению. масштаба для г. В рассмотренных решениях изменение масштаба определяется соотношением:. 7, а~чг — Ф ~ ." . ~27) и Ив формулы (27) следует, что при х сопя)., т. е. в фиксированной точке относительно решатки, масштаб 1 постоянен во времени.
Вместе с этим формула (27) показывает, что этот масштаб зависит от, скорости и. В цитированной работе Тейлор приводит некоторые опытные данные, которые не подтверждают последнего. вывода. 'Это.обстоятельство привело к необходимости усовершенствованиям видоизме- ')Т у1, Рб.2~у.З ~ .
Ы!,1Ю ~,. 15 1ие. (зз) 1 Лà — — =йс, )ГЕ Л1 лг = — = — с г" зе яг (34) Безразмерньге величины Ас н е не эавнсят от у. Из уравнения (32) н из общих свойств функции у(Х) следует, что величины йс н с являютса,постоянными. Интегрируя уравнения (ЗЗ) н (34), получим: (36) При'А ) — — имеем '): 1 2 т (36) где через 1е обозначен момент времени, которому соответствуют значения 1е н Зе. Если к полученным формулам (36) добавить предположение, что существует Лфб, то нз формулы (30) следует, что й= —. 1 Подставляя й=~ в формулы (36), получим результаты А. Н. 1 Колмогорова з), найденные им с помощью рида допущений, в числе которых содержались допущения, выражаемые равенствами (28) н (30). 1 г) Условне Л~ — — должно удовлетворяться для того, чтобы средняя 2 веанчняа своростн турбулентного двяжения ве обращалась в нуль для некоторого конечного ьомевта вэемевя.
а) Колмогоров А. И„Доклады Академия науа, т. ХХХ1, М 6, 1941, 117 Этому соотношению можно удовлетворить с номощыо различных допущений. Следуя Карману и Ховарту, рассмотрим движения, соответствующие большвм значениям числа Рейнольдса —,н пора г этому пренебрежем правой частью уравнения (31). Тогда получим: Ь + —.= — Х/ * йс+ — у с, г 4Ч 1, 1 (32) В предыдущем выводе показатель й произволен. Если цринятК- что для случая аэродинамической трубы масштаб 1 имеет постоянное значение, пропорциональное размерам ячеек решатки М, т.
В. 1= сопз1. М, то это дает й = О н и и к — — ~1+ — )= А+ —. Уй 2)Ь ( г) М' Получилась формула, совпадающая с формулой Тейлора (26), мулах: Ь~ (г) (28) (29) где 1 и Ь суть некоторые функции от времени. Вследствие этих . рредположений уравнение (14) приводится к соотношению (31). Рассмотрим теперь более подробно точные решения этого уравнения. Дифференцируя уравнение (31) по времени при постоянном Х, получим: — ХЛΠ— ( — „' — ) — — ПХ) — ( —,, — )+ 1 л 1 йт 1 й 1йь + ~у (х)+4~,'"~) —" ~ — ') = о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
