Диссертация (1155102), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Следовательно,kwkL2 (R+ ,H ) ≤1kukL2 (R+ ,H ) .γ 2 + a2Лемма 2.6 доказана.Лемма 2.7. Пусть γ > 0. Оператор Mγ , действующий в пространстве L2 (R+ ) по правилуZtMγ Z(t) =e−γ(t−s) cos(a(t − s))Z(s)ds,t ≥ 0,(2.1.23)0при γ > 0 допускает оценку ||M||B(L2 (R+ ,H )) ≤ γ1 .Доказательство леммы 2.7 проводится аналогично доказательствулеммы 2.6 (см. также [11]). Также, как и в доказательстве леммы 2.6,устанавливается, что11||M||B(L2 (R+ ,H )) ≤ sup[(γ 2 + ξ 2 ) 2 ((γ 2 + (ξ − a)2 )(γ 2 + (ξ + a)2 ))− 2 ],ξ∈Rоткуда и следует доказываемая оценка.Обозначим через ||| · ||| нормы в пространстве ограниченныхлинейных операторов, действующих в гильбертовых пространствахL2 ((0, +∞)).Лемма 2.8. Если Z ∈ L2 (R+ ), то для функции (2.1.20) справедливы следующие равенстваZ t∂w(t) =cos(a(t − s))e−γ(t−s) Z(s)ds − γw(t),∂t0∂ 2w∂w22(t)=Z(t)−aw(t)−γw(t)−2γ(t).∂t2∂t(2.1.24)(2.1.25)Утверждение леммы 2.8 проверяется непосредственно с учетом тогоуже доказанного обстоятельства, что все что все слагаемые в (2.1.24)и (2.1.25) являются элементами пространства L2 (R+ ).– 61 –Следствие 2.4.

Если Z ∈ L2 ((0, +∞)) и w = Vγ Z, тоlim |w(t)| = 0,t→+0и0lim |w (t)| = 0.t→+0Лемма 2.9. Если w(t) ∈ W22 (R+ ) удовлетворяет равенству(2.1.25) с некоторой функцией Z ∈ L2 (R+ ), то тогда существуютчисло Cγ > 0 такое, чтоkZkL2 (R+ ) ≤ Cγ kwkW22 (R+ ) .(2.1.26)Наоборот, если Z ∈ L2 (R+ ) и функция w определена равенством(2.1.21), то w ∈ W22 (R+ ) и справедлива оценкаkwkW22 (R+ ) ≤ Cγ kZkL2 (R+ ) .(2.1.27)Доказательство. Пусть w(t) ∈ W22 (R+ ) удовлетворяет равенству(2.1.25) с некоторой функцией Z ∈ L2 (R+ ) и начальному условию(2.1.18). Тогда непосредсвенно из (2.1.25) и леммы 2.7 следует (2.1.26).Пусть Z ∈ L2 (R+ ) и согласно (2.1.21) w = (Vγ Z). Тогда w удовлетворяет равенству (2.1.25) и справедливо утверждение леммы 2.6. Следовательно, справедлива оценка (2.1.27).Лемма 2.10.

Если функция w ∈ W22 (R+ ) является решением равнения (2.1.25) с некоторой функцией Z ∈ L2 (R+ ) и удовлетворяетначальному условию (2.1.18), то тогда функция w удовлетворяет равенству (2.1.21). При этом функции Z и w удовлетворяют оценкам(2.1.26) и (2.1.27).Пусть функции w ∈ W22 (R+ ) и Z ∈ L2 (R+ ) удовлетворяют равенствуdwd2 w22+(γ+a)w+2γ= Z.dt2dt– 62 –(2.1.28)Тогда функция Vγ (Z), как уже доказано выше в лемме 2.8, является решением волнового уравнения (2.1.28) с нулевым начальным положением и нулевой начальной скоростью в силу начального условия (2.1.18).

Докажем, что если γ > 0, то задача Коши (2.1.18),(2.1.28) имеет единственное решение. Действительно, если функцияw ∈ W22 (R+ ) является решением однородного уравнения (2.1.28), тотогда следующая функцияE(t) = (a2 + γ 2 )w̄(t)w(t) + w̄0 (t)w0 (t)),t ∈ R+ ,(2.1.29)монотонно убывает на полуоси R+ .

Ибо если функция w ∈ W22 (R+ )является решением однородного уравнения (2.1.28), то тогдаdd2 w0E(t) = w̄ (t)( 2 + (γ 2 + a2 )w(t))+dtdtd2 w̄0w (t)( 2 + (γ 2 + a2 )w̄(t)) = −4γ w̄0 (t)w0 (t) ≤ 0,dtв силу уравнения (2.1.28) и условия γ > 0. В силу условия (2.1.18)E(0) = 0, и поскольку E(t) ≥ 0, t ≥ 0 по определению функции E,то E(t) ≡ 0 и решение однородного уравнения (2.1.28) может бытьтолько тривиальным.2(R+ ) подпространство функций в пространОбозначим через W2,0стве W22 (R+ ), удовлетворяющих однородным начальным условиям(2.1.18). Определим в пространстве L2 ((0, +∞)) для всех h ∈ R линейные операторы сдвигаv(t + h, x) if t + h > 0,0if t + h ≤ 0.Очевидно, что норма оператора Sh как отображения протранстваSh v(t, x) =L2 ((0, +∞)) в себя не превосходит единицы при произвольном h ∈ R.Теорема 2.1. Функция Z ∈ L2 (R+ ) является решением уравненияZ(t) − Kγ Z(t) = Fγ (t),– 63 –t ∈ R+ ,(2.1.30)гдеKγ Z(t) = be−γh (S−h (Vγ Z)(t)) + ceγτ (Sτ (Vγ Z)(t)),(2.1.31)тогда и только тогда, когда функция w = Vγ Z удовлетворяет условию w ∈ W22 (R+ ) и является решением задачи Коши (2.1.17)-(2.1.18).Доказательство.

Пусть функция Z ∈ L2 (R+ ) удовлетворяет уравнению (2.1.30). Если w = Vγ Z, то согласно лемме 2.6 функцияw ∈ W22 (R+ ), и согласно лемме 2.8 выполняется равенство (2.1.25).Поэтому если функция Z ∈ L2 (R+ ) удовлетворяет уравнению (2.1.30),то функция w = Vγ Z удовлетворяет равенству (2.1.17). Посколькуw = Vγ Z, то согласно cледствию 2.8, функция w удовлетворяет начальным условиям (2.1.18).Пусть, наоборот, функция w ∈ W22 (R+ ) удовлетворяет начальнымусловиям (2.1.18) и равенству (2.1.17). Кроме того, тогда функция wудовлетворяет равенству (2.1.25) с функциейZ = Fγ + be−γh w(t − h) + ceγτ w(t + τ ) ∈ L2 (R+ ).Следовательно, в силу леммы 2.10, выполняется равенство w =Vγ Z. Поэтому из равенства Z = Fγ + be−γh w(t − h) + ceγτ w(t + τ ) ∈L2 (R+ ) следует, что функция Z является решением уравнения (2.1.30).Теорема 2.1 доказана. Положимω(γ) =γ21(|b|e−γh + |c|eγτ ),2+aγ ∈ (0, +∞).(2.1.32)Тогда, как следует из следствия 2.6,|||Kγ ||| ≤ ω(γ).Теорема 2.2.

Пусть ω(γ) < 1 на интервале (α, β) ⊂ (0, +∞).Пусть функции ϕ ∈ W22 ([−h, 0]). Тогда если f ∈ L2,γ (R+ ) при некотором γ ∈ (α, β), то задача с начальным условием (2.1.5)–(2.1.7)– 64 –2имеет единственное решение u в пространстве W2,γ((h, +∞)), при-чем норма решения допускает оценку2 ((−h,+∞)) ≤ c[kf kLkukW2,γ+ kϕkW22 ([−h,0]) ],2,γ (R+ )(2.1.33)с постоянной c, не зависящей от выбора f ∈ L2,γ (R+ ) , ϕ ∈W22 ([−h, 0]) .Доказательство. Если f ∈ L2,γ (R+ ) при некотором γ ∈ (α, β) иϕ ∈ W22 ((−h, 0)), то согласно леммам 2.4 и 2.5 правая часть Fγ уравнения (2.1.17) принадлежит пространству L2 (R+ ), причем справедливаоценка (2.1.20).

Так как γ ∈ (α, β), то в силу предположений теоремывыполняется нервенство|||Kγ ||| ≤ ω(γ) < 1.Следовательно, решение Z уравнения (2.1.30) существует, единственно, задается равенствомZ = (I − Kγ )−1 Fγи допускает оценкуkZkL2 (R+ ) ≤1kFγ kL2 (R+ ) .1 − ω(γ)Тогда в силу леммы 2.14 задача (2.1.17)–(2.1.18) имеет решениеw = Vγ (I − Kγ )−1 Fγ .В силу теоремы 2.1 решение задачи (2.1.17)–(2.1.18) из пространства2W2,0(R+ ) единственно, следовательно, задача (2.1.17)–(2.1.18) имеетединственное решение w = Vγ (I − Kγ )−1 Fγ , причем для него справедлива оценкаkwkW22 (R+ ) ≤ c[kf kL2,γ (R+ ) + kϕkW22 ((−h,0)) ].– 65 –Как показано в леммах 2.3 и 2.5, задача (2.1.17)–(2.1.18) эквивалентна задаче (2.1.5)–(2.1.7), следовательно, задача (2.1.5)–(2.1.7) имеет единственное решение u, которое допускает оценку (2.1.33).Замечание 2.1. Ограниченный оператор (I − Kγ )−1 допускаетпредставление сходящимся по операторной норме рядом Неймана∞PKγk , а норма его допускает оценкуk=0|||(I − Kγ )−1 ||| < (1 − ω(γ))−1 .Замечание 2.2.

Корректность задачи с опережающим аргументомявляется требованием более ограничительным, чем корректность задачи с запаздывающим аргументом, поскольку в случае отсутствия воператоре (2.1.6) слагаемых с опережением (в случае c = 0) функцияω должна удовлетворять условию ω(γ) < 1 на некоторой полупрямой(γ0,+∞ ) (см.[9])Замечание 2.3.

Все рассуждения раздела 2.1 главы 2 о существовании и единственности решения задачи (2.1.5)–(2.1.7) справедливыв случае отсутствия запаздывания при наличии опережения, то естьпри b = 0 и c 6= 0. В этом случае вместо начальнного условия (2.1.7)ставится начальное условиеu(0) = φ0 ; ut (0) = φ1 ,(φ0 , φ1 ) ∈ C2 .В этом случае задача (2.1.5)–(2.1.7) для неизвестной функции из2пространства W2,γ(R+ ) с помощью введения функции (2.1.12) сη0 = φ0 , η1 = φ1 − γφ0также сводится к эквивалентной ей задаче (2.1.17) – (2.1.18) для неизвестной функции из пространства W22 (R+ ), которая, в свою очередь,эквивалентна уравнению (2.1.30) для неизвестной функции из пространства L2 (R+ ). Достаточные условия корректной разрешимости– 66 –уравнения (2.1.30) предоставляются теоремой 2.1.

Заметим, что приусловии b = 0 область задания начальных данных задачи (2.1.5)–(2.1.7) не зависит от параметров отклонения аргументов h, τ .Необходимые условия корректной разрешимости.Рассмотрим задачу с начальными условиями для однородного параболического дифференциально-разностного уравнения видаutt (t) = M u(t),t > 0,(2.1.34)гдеM u(t) = au(t) + bu(t − h) + cu(t + τ ).Характеристическоеуравнение,(2.1.35)соответствующеедифференциально-разностному уравнению (2.1.34), имеет видλ2 = a + be−λh + ceλτ ,λ ∈ C.(2.1.36)Это уравнение имеет счетное множество Ξ комплексных корней Ξ ={λk , k ∈ N}, причем при каждом k ∈ N функция exp (λk t), t > 0,является решением уравнения (2.1.34).2Если λk = xk + iyk и γ ∈ R, то включение exp (λk t) ∈ W2,γ(0, +∞)выполняется тогда и только тогда, когда xk < γ. Основываясь на этомфакте мы исследуем взаимное расположение множества Ξ и промежутка корректности задачи (2.1.5)–(2.1.7) в шкале весовых показателей такого промежутка (α, β), что ∀γ ∈ (α, β) и ω(γ) < 1.Определим числаâ = sup{Reλ : λ ∈ Ξ, Reλ < α},b̂ = inf {Reλ : λ ∈ Ξ, Reλ > β}.Также, как и теорема 2.2 (см.

также [1] ), доказывается следующееутвержение:– 67 –Теорема 2.3 Пусть ω(γ) < 1 на интервале (α, β) ⊂ R. Тогдаесли γ > b̂, то однородная задача (2.1.5)–(2.1.7) имеет нетривиальное2решение u ∈ W2,γ(0, +∞). Если γ < â, то не при всех начальныхданных (φ, ψ) ∈ C2 , однородное уравнение utt = M u(t), t > 0, имеет2решение из пространство W2,γ(0, +∞).– 68 –2.2 Предельный переход при стремлении к нулю величинотклонения аргумента.Спомощьюлеммы1.8дифференциально-разностноепредыдущейуравнениеглавыисследуетсяопережающеготипавкотором присутствуют как члены с опережением аргумента, так ичлены с запаздыванием:utt (t) = −a2 u(t) + bu(t − h) + cu(t + τ ),t > 0.(2.2.1)Ставится вопрос (этот вопрос был поставлен И.В. Воловичем) о предельном поведении решений рассматриваемого ДРУ при (h, τ ) →(0, 0).

Характеристики

Список файлов диссертации