Диссертация (1155102), страница 4
Текст из файла (страница 4)
При t → +0 функция u удовлетворяетначальному условию:u(+0) = ϕ,ut (+0) = ψ,(0.0.16)где (ϕ, ψ) ∈ C 2 – начальное значение функции и ее первой производной.2(0, +∞) назовем решением задаОпределение. Функцию u ∈ W2,γчи (0.0.14)–(0.0.16) в весовом пространстве Соболева, если она удовлетворяет дифференциальному уравнению (0.0.14) в пространствеL2,γ (0, +∞) и начальному условию (0.0.16)Положимeγτ |c|,ω(γ) = 2a + γ2γ ∈ R.(0.0.17)Теорема 2.5.
Пусть ω(γ) < 1 на некотором промежутке (α, β) ⊂R и пусть f ∈ L2,γ0 (0, +∞) при некоторых γ0 ∈ (α, β). Тогда прилюбом γ ∈ [γ0 , β) задача Коши (0.0.14)–(0.0.16) имеет единственное2решение u в пространсве W2,γ(0, +∞), причем справедлива оценка2 (0,+∞) ≤ C[|ϕ| + |ψ| + kf kLkukW2,γ]2,γ (0,+∞)с константой, не зависящей от ϕ, ψ, f .Установлено, что в зависимости от коэффициентов уравнения, точнее, в зависимости от расположения корней характеристического квазимногочлена дифференциально-разностного оператора (0.0.15), реализуются различные возможности корректной постановки задачи(0.0.14)–(0.0.15)–(0.0.16), а также возможность однозначной разрешимости задачи с одним начальным условием (0.0.16) для однородного– 21 –уравнения (0.0.14). Ключевую роль в выборе корректной постановкизадачи для дифференциально-разностного уравнения (0.0.14)–(0.0.15)играет множество корней характеристического уравнения (0.0.18) оператора (0.0.15),λ2 = −a2 + beλh .(0.0.18)Множество Ξ комплексных корней уравнения (0.0.18), являетсясчетным множеством в комплексной плоскости C (см.
[10], [13] ), которое симметрично относительно вещественной оси при условии a, b, h ∈R. Спецификой опережающего типа дифференциально-разностногооператора (0.0.15) является то, что в любой полуплоскости Re(λ) < γплоскости C находится не более чем конечное множество точек Ξ. Поэтому существует конечное подмножество точек множества Ξ, на которых достигается величина γ∗ = inf(ReΞ).Пусть Ξ – множество комплексных корней характермстическогоуравнения λ2 + a2 = beλh . Установлено, что если|b|γha2 +γ 2 e< 1,то существует пара точек λ1 , λ2 ∈ Ξ таких, что Reλ1 ≤ Reλ2 <inf Re(Ξ\{λ1 , λ2 }).|b|γha2 +γ 2 eТеорема 2.8. Пусть c = 0 и< 1.
Тогда задача с началь-2(0, +∞) эквиными условиями (0.0.14)-(0.0.16) в пространстве W2,γвалентна задаче Коши для ОДУu00 (t) − (λ1 + λ2 )u0 (t) + λ1 λ2 u(t) = f (t), t > 0,с начальными данными (0.0.16).Теорема 2.9. Пусть выполнено неравенство b > a2 и величинаh > 0 мала настолько, что величина γ∗ = inf(ReΞ) достигается вединственной точке λ1 = x1 ∈ R множества Ξ. Тогда если выполне√ны условия 0 < γ 0 < b − a2 , то существует такое h1 > 0, что привсех h ∈ (0, h1 ) и при любом начальном условииu(+0) = ϕ,– 22 –2однородное уравнение (0.0.14) имеет в пространстве W2,γ0 (R+ ) един-ственное решениеu(t) = ϕex1 t ,t ≥ 0.В третьей главе изучаются гиперболические ДРУ с отклонениемвременного аргумента.В этой части исследуются вопросы постановки и корректной разрешимости задачи с начальными условиями для модельного гиперболического дифференциально-разностного уравнения видаutt (t, x) = L u(t, x) + f (t, x),t > 0, x ∈ Rd(0.0.19)гдеL u(t, x) = −A u(t, x) +2NX{[ak (u(t + hk , x))]+k=1[ck (Au(t + hk , x))]} − γ0 u(t, x),(t, x) ∈ (0, +∞) × Rd .
(0.0.20)Здесь коэффициенты ak , ck , hk , k = 1, N - вещественные числа,−h = h1 < h2 < ... < hN , причем −h < 0, f – заданная числовая функция на области (0, +∞) × Rd , а u – неизвестная числовая функция,заданная на множестве (−h, +∞) × Rd .
В равенстве (0.0.20), A – самосопряженный положительный оператор в пространстве H = L2 (Rd ),действующий из области определения D(A) = W22 (Rd ) ⊂ H в пространство H . Пусть α0 – точная нижняя грань оператора A и пустьα0 ≥ 0. Областью определения оператора L , действующего в гильбертовом пространстве L2,γ ((−h, +∞), H ), является гильбертово пространство2D(L ) = L2,γ ((−h, +∞), D(A ))\W22 ((−h, +∞), H )(см. [7],[11]), на котором оператор L определен согласно формуле(0.0.20). Ставится задача определить функцию u : (−h, +∞) × Rd →– 23 –R, которая в области (0, +∞) × Rd удовлетворяет уравнению (0.0.19), а на множестве (−h, 0] × Rd удовлетворяет начальному условиюu |(−h,0]×Rd = ϕ,(0.0.21)где ϕ(t, x) – начальное значение функции u, заданное на множестве(−h, 0] × Rd .
При этом предполагается, что функция ϕ удовлетворяетусловию ϕ ∈ W22 ((−h, 0), A2 ).Положимω(γ) =NXeγhk {akk=1111+c}+γ,k0γ 2 + α02γγ 2 + α02γ ∈ R+ = (0, +∞).Теорема 3.2. Пусть ω(γ) < 1 на интервале (α, β) ⊂ R. Пустьфункции ϕ ∈ W23 ([−h, 0], A3 ). Тогда если f ∈ L2,γ (R+ , H 1 ) при некотором γ ∈ (α, β), то задача с начальным условием (0.0.19)–(0.0.21)2имеет единственное решение u в пространстве W2,γ((−h, +∞), A2 ),причем норма решения допускает оценку2 ((−h,+∞),A2 ) ≤ c[kf kL1 + kϕkW 3 ([−h,0],A3 ) ],kukW2,γ2,γ (R+ ,H )2(0.0.22)с постоянной c, не зависящей от выбора f ∈ L2,γ (R+ , H 1 ) , ϕ ∈W23 ([−h, 0], A3 ) .Наряду с задачей (0.0.19)–(0.0.21) рассмотрим задачу с начальными условиями для модельного гиперболического дифференциальноразностного уравнения видаutt (t) = Z u(t) + f (t),t > 0,(0.0.23)гдеZ u(t) = −A u(t) +2NX{[ak (u(t + hk ))] + [ck A2 u(t + hk )]}−k=1γ0 u(t),t ∈ (0, +∞).– 24 –(0.0.24)В равенстве (0.0.24) A – линейный самосопряженный положительный оператор в гильбертовом пространстве H с плотной областьюопределения D ⊂ H , имеющий дискретный спектрσ(A) = {sn , n ∈ N)}с точной нижней гранью α0 > 0, причем каждому собственному значению sn соответствует единственная собственная функция vn оператора A.
В равенстве (0.0.23) f – заданная функция из пространстваL2 ((0, +∞), H 1 ), а u – неизвестная числовая функция, заданная намножестве (−h, +∞) × Rd из пространства W22 ((−h, +∞), A2 ).Ставится задача определить функцию u : (−h, +∞) × H , которая в области (0, +∞) × Rd удовлетворяет уравнению (0.0.19) , а намножестве (−h, 0] × Rd удовлетворяет начальным условиямu |(−h,0] = ϕ,(0.0.25)где ϕ(t) : (−h, 0] → H - заданная начальная функция из пространстваW23 ((h, 0), A3 ).Рассмотрим связанные с корнем sn оператора Z характеристическое уравнение2ξ =−s2n+NXeξh [ak + ck sn ] − γ0 .(0.0.26)k=1Определим числаâ = sup{Reλ : λ ∈ Ξ, Reλ < α},b̂ = inf {Reλ : λ ∈ Ξ, Reλ > β},где Ξ ⊂ C – множество, являющееся обединением множеств Ξn корнейхарактеристического уравнения (0.0.26) по всем sn ∈ σ(A), а числаα, β определены условием ω(γ) < 1 на интервале (α, β) ⊂ [0, +∞).– 25 –Теорема 3.3.
Пусть функции ϕ ∈ W23 ([−h, 0], A3 ). Пусть ω(γ) <1 на интервале (α, β) ⊂ [0, +∞). Тогда если γ > b, то однородная(с нулевыми начальным условием и правой частью) задача (0.0.19)–2(0.0.21) имеет нетривиальное решение u ∈ W2,γ((h, +∞), A2 ).А если γ < a, то не при всех начальных данных φ ∈ W23 ([h, 0], A3 )однородное уравнение (0.0.23) utt (t) = Z u(t), t > 0, имеет решение2из пространства W2,γ((−h, +∞), A2 ).Предположим, что при некотором h0 > 0 на отрезке [−h0 , 0] задана некоторая функция φ0 ∈ W23 ([−h0 , 0], ). Тогда при произвольных (h1 , ..., hN ) ∈ RN таких, что hj ∈ [−h0 , h0 ] при всех j ∈{1, ..., N }, рассматривается задача (0.0.19)–(0.0.21) с начальным условием φh = φ0 |[−h,0] . В предположении, что при всех (h1 , ..., hN ) ∈(−h0 , h0 )N выполняются условия теоремы 3.2, исследуется сходимостьпри (h1 , ..., hN ) → (0, ..., 0) семейства решений uh , h ∈ RN , указанныхзадач (0.0.19)–(0.0.21).Теорема 3.4.
Пусть функции φ0 ∈ W23 ([−h0 , 0], A3 ) при некоторомh0 > 0. Пусть существует такое γ∗ > a, что ω(γ∗ ) < 1. Тогдасуществует такое > 0, что ω(γ) ≤ δ < 1 для любых h ∈ O (0)в RN и γ ∈ O (γ0 ). При этом для любого γ ∈ O (γ0 ) выполняетсяравенство:2 (R ,A2 ) = 0,lim kuh (t)|R+ − uo (t)kW2,γ+(h)→(0)где uo – решение задачи Коши для дифференциального уравнения2utt (t) = (−A − γ0 I +NX(ak I + ck A)u(t) + f (t), t > 0,k=1с начальными условиямиu(+0) = φ0 (−0),ut (+0) = φ00 (−0).– 26 –ГЛАВА 1.
ЗАДАЧА С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГОУРАВНЕНИЯ (ДРУ) ПЕРВОГО ПОРЯДКА.1.1. Дифференциально-разностное уравнение сопережением и запаздыванием.В этой главе исследуются, вопросы постановки и корректнойразрешимости задачи с начальными условиями для модельногодифференциально-разностного уравнения первого порядка видаut (t) = L u(t) + f (t),t > 0,(1.1.1)где L – разностный оператор, действующий в линейном пространствефункций u : R → C по следующему правилуL u(t) = au(t) + bu(t − h) + cu(t + τ ).(1.1.2)В равенстве (1.1.2) коэффициенты a, b, c - вещественные числа, h, τ –параметры запаздывания и отклонения аргумента – причем h > 0, τ >0.
Ставится задача определить функцию u : [−h, +∞) → C, котораяв интервале (0, +∞) удовлетворяет уравнению (1.1.1) , а на отрезке[−h, 0] удовлетворяет начальному условиюu |[−h,0] = ϕ,(1.1.3)где ϕ(t) - начальная функция, заданная на промежутке [−h, 0].Замечание 1.1. 1. В случае уравнения с запаздыванием без опережения (c = 0) задача (1.1.1) – (1.1.3) подробно исследована в рядеработ (см. [13], [24],[10]).2. В случае наличия как запаздывания, так и опережения (bc 6= 0)задача (1.1.1) – (1.1.3) исследовалась в работах [8],[16], в которых– 27 –были определены достаточные и необходимые условия корректности.Рассматриваемая постановка задачи отличается областью задания начальной функции от рассмотренной в статье [13], в которой установлено отсутствие коррекности задачи отыскания решения уравнения(1.1.1) – (1.1.2), сужение которого на промежуток [−h, τ ] совпадает сзаданной функцией ψ : [−h, τ ] → C.3.
В случае отсутствия запаздывния (b = 0) начальное условие(1.1.3) следует понимать как одноточечное:u(0) = φ0 ,φ0 ∈ C.В такой постановке уравнение с опережением без запаздывания рассматривается впервые.Определение 1.1. Решением задачи Коши (1.1.1), (1.1.3) будем на1((−h, +∞)), которая удовлетворяет уравнезывать функцию u ∈ W2,γнию (1.1.1) почти всюду на интервале (0, +∞) и начальному условию(1.1.3) тождественно на интервале (−h, 0).Достаточные условия корректной разрешимости.Согласно теореме вложения (см. [21] гл. I, а также [7]), справедливоследующее утверждение:Лемма 1.1.
Если u ∈ W21 ((a, b)), то существует единственнаяфункция û ∈ C([a, b]), которая почти всюду на (a, b) совпадает спроизвольным представителем класса эквивалентности u, причемсуществует постоянная K > 0 такая, что для любого u ∈ W21 ((a, b))справедливо неравенствоkûkC([a,b]) ≤ KkukW21 ((a,b))1. Лемма 1.2. Функция u ∈ W2,γ((−h, +∞)) является решением за-дачи Коши (1.1.1) – (1.1.3) тогда и только тогда, когда функцияv(t) = exp(−γt)u(t), t ∈ (−h, +∞)– 28 –принадлежит пространству W21 ((−h, +∞)) и является решениемфункционально - дифференциального уравненияvt (t) + γv(t) = Lγ v(t) + fγ (t),t > 0,(1.1.4)где fγ = e−γt f иLγ v(t) = av(t) + be−γh (v(t − h)] + ceγτ v(t + τ ),t ∈ (0, +∞), (1.1.5)удовлетворяющим начальному условиюv |[−h,0] = e−γt ϕ,t ∈ [−h, 0].(1.1.6)В соответствии с замечанием 1.1, если b = 0, то в условии (1.1.6)полагается h = 0. Заметим, что f ∈ L2,γ (R+ ) тогда и только тогда,когда fγ ∈ L2 (R+ ), причемkfγ kL2 (R+ ) = kf kL2,γ (R+ ) .Положим v(t) = w(t) + g(t), где g(t) = ϕ(t) при t ∈ [−h, 0] и g(t) =t2ϕ(−0)e− 2 , t > 0.
Тогда g(t) ∈ W21 ((−h, +∞)), справедлива оценкаkgkW21 ((−h,+∞)) ≤ CkϕkW21 ((−h,0))(1.1.7)и, как нетрудно проверить с помощью непосредственной подстановки,следующее утверждение.Лемма 1.3. Функция v ∈ W21 ((−h, +∞)) является решением задачи Коши (1.1.4)– (1.1.6) тогда и только тогда, когда функцияw(t) = v(t) − g(t), t ∈ (−h, +∞),удовлетворяет условию w(t) = 0, t ∈ [−h, 0], а ее сужение w|R+ принадлежит пространству W21 (R+ ) и является решением задачи Кошиdw(t) + γw(t) = Lγ w(t) + Fγ (t),dt– 29 –t ∈ (0, +∞)(1.1.8)lim |w(t)| = 0,(1.1.9)t→+0где функцияFγ = (fγ + Lγ g − γg −dg)|R+dt(1.1.10)принадлежит пространству L2 (R+ ) и допускает оценкуkFγ kL2 (R+ ) ≤ C(kϕkW21 ((−h,0)) + kf kL2,γ (R+ ) ).(1.1.11)Доказательство. Равенство (1.1.8) следует из равенства (1.1.4) иподстановки v = w + g, из определения функции g следует равенство w(t) = 0, t ∈ (−h, 0), и поэтому в силу леммы 2.1 справедливо равенство (1.1.9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
