Диссертация (1155102), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Решением задачи Коши (0.0.3)–(0.0.4) будем называть функцию u ∈ W21 (−h, +∞), которая удовлетворяет уравнению(0.0.3) почти всюду на интервале (0, +∞) и начальному условию (0.0.4)тождественно на интервале (−h, 0).В диссертации получены достаточные и необходимые условия корректной разрешимости задачи (0.0.3)– (0.0.4). Исследовано влияниенарушения необходимых условий на нарушение существования и нарушение единственности решения. Исследовано предельное поведениепри (h, τ ) → (0, 0) решений задачи (0.0.3)– (0.0.4).Поэтому всюду далее если b = 0, то в условии (1.1.3) полагаетсяh = 0. В диссертации продолжено исследование статей [9], [15], получены достаточные условия корректной разрешимости задачи (1.1.1) –(1.1.3) – указаны условия на весовую функцию шкалы весовых пространств Соболева, при которых задача (1.1.1) – (1.1.3) имеет единственное решение в весовом пространстве, причем норма решения– 14 –допускает оценку через норму неоднородного слагаемого уравнения(1.1.1) и норму начального условия (1.1.3).

Исследовано, к каким нарушениям корректности задачи (1.1.1) – (1.1.3) приводит нарушениеусловия на вес.решения. Наоборот, если весовая функция убывает слишком медленно, то в соответствующем пространстве Соболева может не найтисьрешения задачи (1.1.1) – (1.1.3).Положимω(γ) = e−γh|c||b|+ eγτ,γ−aγ−aγ > a.Теорема 1.1. Пусть ω(γ) < 1 на интервале (α, β) ⊂ R. Тогда еслиϕ ∈ W21 ([−τ, 0]) и f ∈ L2,γ (R+ ) при некотором γ ∈ (α, β), то задачас начальным условием (0.0.3)–(0.0.4) имеет единственное решение u1в пространстве W2,γ((−τ, +∞)), причем норма решения допускаетоценку1 ((−τ,+∞)) ≤ C[kf kLkukW2,γ+ kϕkW21 ([−τ,0]) ],2,γ (R+ )(0.0.5)с постоянной C, не зависящей от выбора f ∈ L2,γ (R+ ) и ϕ ∈W21 ([−τ, 0]).Пусть Ξ – множество решений характеристического уравнения λ =a + be−hλ + ceτ λ , которое является счетным (см.

[6]). Определим числаâ = sup{Reλ : λ ∈ Ξ, Reλ < α},b̂ = inf {Reλ : λ ∈ Ξ, Reλ > β}.Теорема 1.2. Пусть ω(γ) < 1 на интервале (α, β) ⊂ R. Тогдаесли γ > b̂, то однородная задача (0.0.3)–(0.0.4) имеет нетривиальное1решение u ∈ W2,γ(−τ, +∞). Если γ < â, то не при всех начальныхданных φ ∈ W21 ([−h, 0]), однородное уравнение ut = au(t) + bu(t − h) +1cu(t + τ ), t > 0 имеет решение из пространства W2,γ(−h, +∞).– 15 –Во втором разделе первой глaвы мы исследуем дифференциальноразностные уравнения вида (0.0.3) с опережением без запаздывания –при условии b = 0.В этом случае начальные условия задаются в точке t0 = 0.В работе [15] были исследованы, в частности, вопросы постановкии корректной разрешимости задачи с начальными условиями длядифференциально-разностного уравнения видаut (t) = au(t) + cu(t + τ ) + f (t),t > 0,(0.0.6)гдеu(+0) = u0 .(0.0.7)Здесь τ > 0, f – заданная непрерывная числовая функция на области (0, +∞), а u – неизвестная числовая функция, областью определения которой является множество (0, +∞).Определение.

Решением задачи Коши (0.0.6)–(0.0.7) будем называть функцию u ∈ W21 (0, +∞), которая удовлетворяет уравнению(0.0.6) на интервале (0, +∞) и начальному условию (0.0.7).Теорема 1.6. Пусть существует γ > a такое, что выполненоусловие |c|eτ γ < γ − a. Тогда задача (0.0.6)–(0.0.7) в пространстве1Соболева W2,γ(0, +∞) эквивалентна задаче Коши c начальным усло-вием (0.0.7) для ОДУut (t) = x1 u(t) + f (t),t > 0,(0.0.8)где x1 – корень характеристического уравнения λ = a + ceλτ с наименьшей вещественной частью.Здесь эквивалентность двух задач означает, что если начальныеданные и неоднородные слагаемые этих задач совпадают, то совпадают и их решения.– 16 –Установлен следующий результат о предельном переходе для семейства решений ДРУ (0.0.6) к решению обыкновенного дифференциального уравнения при стремлении к нулю параметров отклонения аргумента.Через uo обозначим решение обыкновенного дифференциальногоуравненияut (t) = (a + b + c)u(t),t > 0,удовлетворяющее начальным условиям Кошиu(+0) = ϕ(−0).Теорема 1.7.

Пусть существует такое γ0 > a, что|b|+|c|γ0 −a< 1.Тогда существует такое > 0, что|b|e−hγ + |c|eτ γ≤δ<1ω(γ) =γ−aдля любых (h, τ ) ∈ O (0, 0) и γ ∈ O (γ0 ).При этом для любого γ ∈ O (γ0 ) выполняется равенство:1 (0,+∞) = 0.sup kuh,τ (t)|R+ − uo (t)kW2,γlim(h,τ )→(0,0) t∈[0,T ]Замечание 1.5 характеризует зависимость размерности пространства начальных данных, при которых ДРУ (0.0.6) имеет хотя бы однорешение, от пасположения корней характеристического квазимногочлена и весового параметра пространства Соболева.Втораяглава"Задачасначальнымиусловиямидлядифференциально-разностного уравнения(ДРУ) второго порядка."Во второй главе исследуются вопросы постановки и корректной разрешимости задачи с начальными условиями для модельногодифференциально-разностного уравнения второго порядка видаutt (t) = L u(t) + f (t),– 17 –t > 0,(0.0.9)гдеL u(t) = −a2 u(t) + bu(t − h) + cu(t + τ ),t ∈ (0, +∞).(0.0.10)Здесь коэффициенты b, c - вещественные числа, a, h, τ – положительные постоянные, f – заданная числовая функция на интервале (0, +∞), а u – неизвестная числовая функция, областьюопределения которой является промежуток (−h, +∞).

Областьюопределения оператора L , действующего в гильбертовом пространстве L2,γ ((−h, +∞)), является гильбертово пространство D(L ) =W22 ((−h, +∞)) (см. [7],[11]), на котором оператор L определен согласно формуле (0.0.10). Ставится задача определить функцию u :(−h, +∞) → R, которая в области (0, +∞) удовлетворяет уравнению(0.0.9) почти всюду, а на отрезке [−h, 0] удовлетворяет начальномуусловиюu |[−h,0] = ϕ,(0.0.11)где ϕ(t) – начальное значение функции u, заданное на множестве[−h, 0]. При этом предполагается, что функция ϕ удовлетворяет условию ϕ ∈ W22 ((−h, 0)).2(−h, +∞) назовем решением заОпределение. Функцию u ∈ W2,γдачи (0.0.9)–(0.0.10)–(0.0.11) в весовом пространстве Соболева, еслиона удовлетворяет дифференциальному уравнению (0.0.9) в пространстве L2,γ (0, +∞) и начальному условию (0.0.11) тождественно на интервале [−h, 0].Теорема 2.1 устанавливает эквивалентность задачи с начальнымиусловиями (0.0.9)–(0.0.11) интегральному уравнению второго рода.Положимω(γ) =γ21(|b|e−γh + |c|eγτ ),2+a– 18 –γ ∈ (0, +∞).(0.0.12)Теорема 2.2.

Пусть ω(γ) < 1 на интервале (α, β) ⊂ (0, +∞).Пусть функции ϕ ∈ W22 ([−h, 0]). Тогда если f ∈ L2,γ (R+ ) при некотором γ ∈ (α, β), то задача с начальным условием (0.0.9)–(0.0.11)2имеет единственное решение u в пространстве W2,γ((h, +∞)), при-чем норма решения допускает оценку2 ((h,+∞)) ≤ c[kf kLkukW2,γ+ kϕkW22 ([−h,0]) ],2,γ (R+ )(0.0.13)с постоянной c не зависящей от выбора f ∈ L2,γ (R+ ) , ϕ ∈W22 ([−h, 0]) .Определим числаâ = sup{Reλ : λ ∈ Ξ, Reλ < α},b̂ = inf {Reλ : λ ∈ Ξ, Reλ > β},где Ξ ⊂ C – множество корней характеристического уравнения λ2 +a2 = be−λh + ceλτ , а числа α, β определены условием ω(γ) < 1 наинтервале (α, β) ⊂ R.Теорема 2.3 Пусть ω(γ) < 1 на интервале (α, β) ⊂ R. Тогда еслиγ > b̂, то однородная задача (0.0.9)– (0.0.11) имеет нетривиальное2решение u ∈ W2,γ(0, +∞).

Если γ < â, то не при всех начальныхданных (φ, ψ) ∈ C2 , однородное уравнение utt = M u(t), t > 0, имеет2решение из пространство W2,γ(0, +∞).Фиксировав некоторое h0 > 0 предположим, что на отрезке [−h0 , 0]задана некоторая функция φ0 ∈ W22 ([−h0 , 0]). Тогда при произвольных(h, τ ) ∈ R+ × R+ таких, что h ∈ (h0 , 0), рассматривается задача (0.0.9)– (0.0.11) с начальным условием φh = φ0 |[−h,0] .Через uo обозначим решение обыкновенного дифференциальногоуравненияutt (t) = (−a2 + b + c)u(t),– 19 –t > 0,удовлетворяющее начальным условиям Кошиu(+0) = ϕ(−0),ut (+0) = ϕ0 (−0).Теорема 2.4.

Пусть существует такое γ0 > a, что ω(γ0 ) < 1.Тогда существует такое > 0, что ω(γ) ≤ δ < 1 для любых (h, τ ) ∈O (0, 0) и γ ∈ O (γ0 ). При этом для любого γ ∈ O (γ0 ) выполняетсяравенство:lim(h,τ )→(0,0)2 (0,+∞) = 0.kuh,τ (t)|R+ − uo (t)kW2,γВо втором разделе второй главы рассматривается модифицированное упрощенное ДРУ (0.0.9), в котором дифференциально-разностныйоператор (0.0.10) является оператором опережиющего типа и не содержит запаздываний.

Исследуются вопросы постановки и корректной разрешимости задачи с начальными условиями для модельногодифференциально-разностного уравнения второго порядка с опережением без запаздывания, т.е. для ДРУ видаutt (t) = L u(t) + f (t),t > 0,(0.0.14)где L – разностный оператор, сопоставляющий функции u : R+ ≡[0, +∞) → C функцию L u : R+ → C, определяемую равенствомL u(t) = −a2 u(t) + cu(t + τ ),t ∈ [0, +∞).(0.0.15)Здесь коэффициенты a, c ∈ R – вещественные числа, τ > 0, f –заданная числовая функция на области (0, +∞), а u – неизвестнаячисловая функция, областью определения которой является полуось(0, +∞).Областью определения оператора L , действующего в гильбертовомпространстве L2,γ (0, +∞), является гильбертово пространство2D(L ) = W2,γ(0, +∞)– 20 –Ставится задача определить функцию u : (0, +∞) → R, котораяв области (0, +∞) удовлетворяет уравнению (0.0.14), и удовлетворяет начальным условиям (0.0.16), которые задаются для ДРУ с опережением без запаздывания.

Характеристики

Список файлов диссертации