Диссертация (1155102), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Эта задача интересна тем,что она проявляет ряд свойств задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. В частности, область задания начальныхданных не зависит от парамера отклонения аргумента.– 38 –1Определение 1.2. Функцию u ∈ W2,γ(0, +∞) назовем решениемзадачи (1.2.1) – (1.2.2) в весовом пространстве Соболева, если онаудовлетворяет дифференциальному уравнению (1.2.1) в пространствеL2,γ (0, +∞) и начальному условию (1.1.3).Аналогично теореме 1.1, устанавливается следующая теорема.Теорема 1.3. Пусть ω(γ) < 1 на интервале (α, β) ⊂ R, гдеω(γ) =ceγτγ−a ,γ ∈ R. Тогда если f ∈ L2,γ0 (0, +∞) при некоторомγ0 ∈ (α, β), то задача Коши (1.2.1)–(1.2.2) имеет единственное ре1(0, +∞) при всех γ ∈ [γ0 , β).шение u в пространстве W2,γНеобходимые условия корректной разрешимости задачи(1.1.1) – (1.1.3) без запаздывания.Наряду с задачей (1.1.1)–(1.1.3) рассмотрим задачу с начальнымиусловиями для дифференциально-разностного уравнения видаut (t) = M u(t) + f (t),t > 0,(1.2.3)гдеM u(t) = au(t) + cu(t + τ ).(1.2.4)Рассмотрим задачу с начальным условием для однородногодиффренцианьно-разностного уравнения вида (1.2.1).Характеристическоеуравнение,соответствующеедифференциально-разностному уравнению (1.2.1), имеет видλ = a + ceλτ ,λ ∈ C,(1.2.5)которое с помощью замены λ → λ + γ сводится к эквивалентномууравнениюλ + γ = a + ceγτ eλτ ,λ ∈ C.(1.2.6)Это уравнение имеет счетное множество Ξ комплексных корней Ξ ={λk , k ∈ N}, причем при каждом k ∈ N функция exp (λk t), t > 0,– 39 –является решением уравнения(1.2.1).

Если λk = xk + iyk и γ ∈ R, то1(0, +∞) выполняется тогда и только тогда,включение exp (λk t) ∈ W2,γкогда xk < γ.Основываясь на этом факте мы исследуем взаимное расположениемножества Ξ и промежутка корректности задачи (1.2.1)–(1.2.2) в шкале весовых показателей – такого промежутка (α, β), что ∀γ ∈ (α, β) иω(γ) < 1.

Определим числаâ = sup{Reλ : λ ∈ Ξ, Reλ < α},b̂ = inf {Reλ : λ ∈ Ξ, Reλ > β}.Как и теорема 1.2, доказывается следующее утвержение:Теорема 1.4. Пусть ω(γ) < 1 на интервале (α, β) ⊂ R. Тогдаесли γ > b̂, то однородная задача (1.2.1)–(1.2.2) имеет нетривиальное1(0, +∞). Если γ < â, то не при всех начальныхрешение u ∈ W2,γданных u0 ∈ C, однородное уравнение ut = M u(t), t > 0, имеет1решение из пространство W2,γ(0, +∞).Корни характеристического уравнения.Согласно теореме 1.1, условие ω(γ) < 1 (то есть γ ∈ (α, β)) достаточно для существования единственого решения задачи с начальнымусловием (1.2.1)–(1.2.2).Лемма 1.6. Пусть при некотором γ > a выполнено неравенство0 < |b|eγτ < γ − a.

Тогда характеристическое уранение (1.2.6) имеетдва вещественнных корня различных знаков при условии c > 0, а приусловии c < 0 – один отрицательный вещественный корень.Доказательство. Действительно, вещественные корни уравнения(1.2.6) определяются как абсциссы точек пересечения графиков функций u = x − a + γ и u = ceγτ exτ .– 40 –Поэтому если c < 0, то графики монотонно возрастающей и монотонно убывающей функции имеют единственную точку пересечения.А если c > 0, то прямая u = x − a + γ и выпуклая вниз криваяu = ceγτ exτ имеют две общие точки, лежащие по разные стороны отпрямой x = 0 поскольку 0 < ceγτ < γ − a. Лемма 1.6 доказана.Лемма 1.7. Пусть при некотором γ > a выполнено неравенство0 < |c|eγτ < γ − a.

Тогда вещественная часть любого комплексногокорня характеристического уравнения (1.2.5) превосходит его минимальный вещественный корень.Действительно, пусть x1 – минимальный вещественный корень уравнения (1.2.5). В силу условия леммы |c|eγτ < γ − a, поэтому, как показано в лемме 1.6, x1 < γ.Следовательно, функция ex1 t , t ≥ 0, является решением задачи(1.2.1)–(1.2.2) с начальным условием φ = 1, принадлежащим простран1(R+ ). Так как в силу условия леммы ω(γ) < 1, то согласноству W2,γтеореме 1.1 решение задачи (1.2.1)–(1.2.2) существует и единственно.Поэтому если предположить, что пара комплексно сопряженных корней x∗ ±y∗ удовлетряет условию x∗ ≤ x1 , то помимо решения ex1 t , t ≥ 0,эта же задача (1.2.1)–(1.2.2) имеет также решение ex∗ t cos(y∗ t), t ≥ 0,а это противоречит теореме 1.1, Лемма 1.7 доказана.Следствие 1.3.

Если выполнено условие 0 < c < −a, то x1 < α <β < x2 . Действительно, согласно Лемме 1.6 характеристическое уравнение (1.2.5) имеет при условии 0 < c < −a два вещественных корняx1 , x2 таких, что x1 < 0 < x2 . Следовательно, u0 ex1 t ∈ W21 (0, +∞)и функция u0 ex1 t является решением задачи с начальным условием(1.2.1)–(1.2.2) при γ = 0.

Так как ω(0) =|c|−a< 1, то 0 ∈ (α, β).В силу теоремы 1.1 при любом γ ∈ (α, β) задача с начальным условием (1.2.1)–(1.2.2) имеет единственное решение и этим решением яв– 41 –ляется функция u0 ex1 t . Поэтому x1 < α. В силу теоремы 1.1 никакая из функций eλk t , λk ∈ Ξ, кроме ex1 t , не может быть решением1уравнения (1.2.1) из пространства W2,γ(0, +∞). Ибо если eλk t лежитв пространстве W21 (0, +∞) то решение задачи (1.2.1)–(1.2.2) не единственно. Поэтому β < x2 . Таким образом, x1 < α < β < x2 . В этомслучае вещественные постоянные x1 , x2 играют роль постоянных â, b̂из теремы 1.2.Следствие 1.4. Если выполнено условие a < c < 0, то x1 < α < 0.Действительно, если выполнено условие a < c < 0, то ω(0) < 1 ипоэтому α < 0.

Согласно Лемме 1.6 характеристическое уравнение(1.2.5) имеет один вещественный корень x1 < 0.В этом случае функция u0 ex1 t ∈ W21 (0, +∞) и, согласно теореме 1.1,она является единственным решением ДРУ (1.2.1) из пространства1W2,γ(0, +∞) при любом γ ∈ (α, β). Поэтому x1 < α.Эквивалентность дифференциально-разностного уравнения обыкновенному дифференциальному уравнению.Определение. Будем говорить, чтозадача с начальными условиями (1.2.1)–(1.2.2) эквивалентна задаче Коши с начальным условием(1.2.2) для некоторого линейного обыкновенного дифференциальногоуравнения первого порядка, если при произвольном выборе начального условия и неоднородного слагаемого в правой части каждое решениеодной из задач является также и решением другой.Следующий результат показывает, что если задача с начальными1условиями (1.2.1)–(1.2.2) в пространстве Соболева W2,γ(R+ ) корректнопоставлена, то она эквивалентна задаче Коши с начальным условием(1.2.2) для некоторого линейного обыкновенного дифференциальногоуравнения первого порядка, коэффициенты которого выражаются через коэффициенты уравнения (1.2.1).– 42 –Теорема 1.5.

Пусть выполнено условие |c| < −a. Тогда задача(1.2.1)–(1.2.2) в пространстве Соболева W21 (0, +∞) эквивалентна задаче Коши для ОДУut (t) = x1 u(t) + f (t),t > 0,(1.2.7)с начальным условием(1.2.2) , где x1 – корень характеристическогоуравнения (1.2.5) с наименьшей вещественной частью.Доказательство. Так как ω(0) < 1, то в силу теоремы 1.1 задача(1.2.1)–(1.2.2) имеет единственное решение в пространстве W21 (0, +∞).А поскольку x1 < 0, то в пространствe W21 (0, +∞) лежит функцияex1 t u0 и эта функция является единственным решением задачи (1.2.1)–(1.2.2) из пространства W21 (0, +∞).Эта же функция и только она является решением задачи Коши дляоднородного (при f = 0) линейного уравнения (1.2.7) с начальнымусловием (1.2.2).

Поскольку решения однородных уравнений (1.2.1) и(1.2.7) с начальным(1.2.2)совпадают, то в силу представления решения задачи Коши для неоднородного уравнения, полученного методомвариации постоянных, совпадают и решения неоднородных уравнений(1.2.1) и (1.2.7) с начальным (1.2.2).Таким образом, множества решений задачи (1.2.1),(1.2.2) и(1.2.2),(1.2.7) совпадают, что и доказывает теорему 1.5.С помощью преобразования u(t) → eγt u(t) можно распространитьутверждение теоремы 1.5 до следующего утверждения:Теорема 1.6. Пусть существует γ > a такое, что выполненоусловие |c|eτ γ < γ − a.

Тогда задача (0.0.6)–(0.0.7) в пространстве1Соболева W2,γ(0, +∞) эквивалентна задаче Коши c начальным усло-вием (0.0.7) для ОДУ (1.2.7), где x1 – корень характеристическогоуравнения λ = a + ceλτ с наименьшей вещественной частью.– 43 –1.3. Предельный переход при h, τ → (0, 0).Пусть выполнены условия 0 < |c| < −a. Тогда абсцисса x1 точкипересечения графиков функций u = x − a и u = cehx (пересечениекоторых определяет вещественные корни уравнения (1.2.5)), как легкозаметить, удовлетворяет условию x1 → (a + c) при h → 0.Поэтому u0 ex1 t→u0 e(a+c)t равномерно на каждом отрезке[0, T ], T > 0. Таким образом, доказано следующее предложение.Предложение 1.1.

Характеристики

Список файлов диссертации