Диссертация (1155102), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Пусть выполнено условие |c| < −a. Тогдапоследовательность {uh } решений задачи с начальными условиями(1.2.1)–(1.2.2) сходится при h → +0 равномерно на каждом отрезке[0, T ] к решению ОДУ ut (t) = (a + c)u(t) + f (t),t > 0.Аналогично устанавливается и следующее предложениеПредложение 1.2. Пусть существует γ > a такое, что выполненоусловие |c|eτ γ < γ − a. Тогда последовательность {uh } решений зада1чи с начальными условиями (1.2.1)–(1.2.2) из пространства W2,γ(R+ )сходится при h → +0 равномерно на каждом отрезке [0, T ] к решениюОДУ ut (t) = (a + c)u(t) + f (t), t > 0.Эти результаты допускают распространение на уравнение (1.1.1) общего вида.Предельный переход при стремлении к нулю отклоненийаргументовСправедливо следующее утверждение о связи сходимости последовательности операторов и соответствующей последовательности резольвент.Лемма 1.8.

Пусть последовательность операторов {Kn } удовлетворяет слелующим условиям:– 44 –∃ b ∈ (0, 1) : kKn kB(H) ≤ b < 1.∃ K ∈ B(H) : ∀ u ∈ H lim kKn u − KukH = 0.n→∞Тогда∀ u ∈ H lim k(I − Kn )−1 u − (I − K)−1 ukH = 0.n→∞Доказательство. Из условия равномерной ограниченности по норме последовательности {Kn } следует, что операторы (I − Kn )−1 и(I − K)−1 с любой точностью могут быть по норме аппроксимированычастичными суммами ряда Неймана.Для оценки близости частичных сумм ряда Неймана операторов(I − Kn )−1 и (I − K)−1 воспользуемся тем, что композиция двух (илюбого конечного числа) равномерно ограниченных последовательностей сходящихся в сильной операторной топологии операторов является сходящейся в сильной операторной топологии.Далее с помощью леммы 1.8 исследуется дифференциальноразностное уравнение опережающего типа в котором присутствуюткак члены с опережением аргумента, так и члены с запаздыванием:ut (t) = au(t) + bu(t − h) + cu(t + τ ),t > 0.(1.3.1)Ставится вопрос (этот вопрос был поставлен И.В.

Воловичем) определьном поведении решений рассматриваемого ДРУ при (h, τ ) →(0, 0). Как установлено в работе [16], уравнение (1.3.1) допускает корректную постановку задачи с начальными данными, в которой ищется1в пространстве Соболева с экспненциальным весом W2,γ(−h, +∞), аначальные данные для решения задаются на промежетке запаздывания [−h, 0]:u(t) = φ(t),t ∈ [−h, 0].– 45 –(1.3.2)Решением задачи (1.3.1)–(1.3.2) называется функция u∈1(−h, +∞), удовлетворяющая уравнению (1.3.1) почти всюду иW2,γначальному условию (1.3.2) тождественно.

Предположим, что принекотором h0 > 0 на отрезке [−h0 , 0] задана некоторая функцияφ0 ∈ W21 ([−h0 , 0]). Тогда при произвольных (h, τ ) ∈ R+ × R+ таких, что h ∈ (0, h0 ), рассматривается задача (1.1.1) – (1.1.3) с начальным условием φh = φ0 |[−h,0] . В предположении, что при всех(h, τ ) ∈ (0, h0 ) × (0, h0 ) выполняются условия теоремы 1.1, исследуется сходимость при (h, τ ) → (0, 0) семейства решений указанных задач(1.1.1) – (1.1.3).В доказательстве теоремы 1.1 установлено (см.

(1.1.15)), что задача(1.3.1)–(1.3.2) эквивалентна уравнению(I − Kγ )z = Fγ ,(1.3.3)для неизвестной функции z ∈ L2 (R+ ), гдеFγ (t) = f (t)e−γt + (Lγ g − γg −∂g)|R+ ,∂tI – тождественный оператор в пространстве H = L2 (R+ ) и операторKγ в пространстве H = L2 (R+ ) определяется равенством (1.1.16)Kγ Z(t) = be−γh Sh (Vγ Z)(t) + ceγτ Sτ (Vγ Z)(t).(1.3.4)Лемма 1.9. Семейство операторов Sh , h ∈ R, сходится в сильнойоператорной топологии пространства B(L2 (R+ )) к оператору I приh → 0.Утверждение следует из теоремы о непрерывности в среднем функции из пространства L2 (R+ ) и непрерывности интеграла Лебега.2Следствие 1.5.

Семейство операторов Kγ,h,τ , (h, τ ) ∈ R+, сходитсяв сильной операторной топологии пространства B(L2 (R+ )) к оператору Kγ,o ≡ (b + c)I при (h, τ ) → (0, 0).– 46 –Напомним, что при каждом γ > 0 и для любых h > 0, τ > 0 поначальным данным задачи (1.1.1) – (1.1.3) равенством (1.1.10) определяется функция Fγ,h,τ .Лемма 1.10. Пусть φ0 ∈ W21 ([−h0 , 0]). Тогда если f ∈ L2,γ (R+ )при некотором γ > 0, то существует Fγ,o ∈ L2 (R+ ) такое, чтоlim(h,τ )→(0,0)kFγ,h,τ − Fγ,o kL2 (R+ ) .В силу равенства (1.1.10)Fγ,h,τ (t) = fγ (t)−γg(t)−∂g(t)+ag+be−γh g(t−h)+ceγτ g(t+τ ),∂tгде g(t) = φ0 (t) при t ∈ [−h0 , 0] и g(t) = ϕ(−0)e−t2/2t ∈ R+ ,при t > 0.

Поэтомув силу леммы 1.9 справедливо равенствоlim(h,τ )→(0,0)kFγ,h,τ − Fo kL2 (R+ ) = 0,гдеFo = fγ − γg −∂g + (a + b + c)g.∂tНапомним, что достаточное условие корректной разрешимости задачи (1.1.1) – (1.1.3) определяется функцией|b|e−γh + |c|eτ γω(γ) =,γ−aγ > a.Пусть φ0 ∈ W21 ([−h0 , 0])), f ∈ L2,γ0 (R+ ) и при произвольных (h, τ ) ∈(0, h0 ) × (0, h0 ) и при γ ∈ (α, β) выполнено условие ω(γ) < 1 теоремы1.1. Обозначим через uh,τ единственное решение задачи (1.1.1) – (1.1.3)1из пространства W2,γ(−h, +∞), а через u0 – решение задачи Коши дляобыкновенного дифференциального уравненияut (t) = (a + b + c)u(t) + f (t),t > 0,– 47 –u(+0) = φ0 (−0).(1.3.5)Теорема 1.7. Пусть существует такое γ0 > a, что|b|+|c|γ0 −a< 1.Тогда существует такое > 0, что|b|e−hγ + |c|eτ γω(γ) =≤δ<1γ−aдля любых (h, τ ) ∈ O (0, 0) и γ ∈ O (γ0 ).При этом для любого γ ∈ O (γ0 ) выполняется равенство:lim1 (0,+∞) = 0.sup kuh,τ (t)|R+ − uo (t)kW2,γ(h,τ )→(0,0) t∈[0,T ]Действительно, из непрерывности функции ω в точке (γ0 , 0, 0) следует существование таких δ =12 (1+ ω(γ0 )) ∈ (0, 1) и > 0,о которых говорится в утверждении теоремы.

Поэтому для любогоγ ∈ O (γ0 ) условие kKγ,h,τ k ≤ δ < 1 выполняется при всех любого(h, τ ) ∈ (0, ) × (0, ). Здесь оператор Kγ,h,τ при произвольных γ > a и(h, τ ) ∈ (0, h0 ) × (0, h0 ) определен равенством (1.1.16)Kγ,h,τ Z(t) = be−γh Sh (Vγ Z)(t) + ceγτ Sτ (Vγ Z)(t) ∀ Z(t) ∈ L2 (R+ ).Поэтому выполняется первое условие леммы 1.8 Второе условие леммы 1.8 следует из следствия 1.3 Следовательно, для любого v ∈ L2 (R+ )выполняетя равенствоk[(I − Kγ,h,τ )−1 − (I − Kγ,o )−1 ]vkL2 (R+ ) .Тогда утверждение теоремы 1.7 следует из леммы 1.8, леммы 1.10 илеммы 1.5 об эквивалентности задачи (1.3.1)–(1.3.2) и задачи (1.3.3).Действительно, в силу теоремы 2.1 решение задачи (1.3.3) при произвольных γ ∈ O (γ0 ) и (h, τ ) ∈ (0, ) × (0, ) имеет видZ = (I − Kγ,h,τ )−1 Fγ,h,τ– 48 –а в силу лемм 1.2, 1.3 и 1.5 об эквивалентности задач (1.1.1) – (1.1.3)и (2.1.17) задача (1.1.1) – (1.1.3) имеет единственное решениеuh,τ = eγt [g + Vγ ((I − Kγ,h,τ )−1 Fγ,h,τ )].Фиксируем произвольное γ ∈ O (γ0 ) и произвольное начальное условие φ0 ∈ W21 ([−h0 , 0]).В силу леммы 1.10 справедливо равенствоlim(h,τ )→(0,0)kFγ,h,τ − Fo kL2 (R+ ) = 0,гдеFo = fγ − γg −∂g + (a + b + c)g.∂tВ силу леммы 1.8lim(h,τ )→(0,0)k((I − Kγ,h,τ )−1 − (I − Kγ,o )−1 )Fo kL2 (R+ ) .А поскольку оператор Vγ не зависит от параметров (h, τ ), тоlim(h,τ )→(0,0)1 (R ) = 0,kuh,τ |R+ − uo kW2,γ+гдеuo (t) = eγt [g(t) + ((I − Kγ,o )−1 )Fo )(t)] = e(a+b+c)t φ0 (−0),t ≥ 0,– решение задачи Коши для ОДУ (1.3.5).Корни характеристического многочлена и размерностьпространства начальных условий.Заметим, что если при некотором γ ∈ R множество{ξ ∈ Ξ : ξ < γ} = {ξ−1 , ..., ξm } состоит из m(γ) ∈ N элементов, то1пространство W2,γ(0, +∞) содержит m-мерное подпространство реше-ний однородного уравнения (1.1.1),mXΛγ = {cj eξj t }.j=1– 49 –Замечание 1.4.

Матрица Вронского системы функций eξj t , j ∈0, m − 1 невырождена, поскольку все числа ξj , j ∈ 0, m − 1 различны.Замечание 1.5. Пусть при некотором γ ∈ R выполняется условиеm(γ) ∈ N. Тогда для любого набора чисел (u0 , u1 , ..., um(γ)−1 ) ∈ Cm(γ)дифференциально-разностное уравнение (1.1.1) имеет хотя бы одно ре1(R+ ), удовлетворяющее начальному условиюшение u ∈ W2,γu(j) (+0) = uj ,j ∈ 0, m − 1.(1.3.6)Замечание 1.5 устанавливает достаточные условия существования1в пространстве W2,γ(R+ ) решения задачи с начальными условиями(1.1.1)–(1.1.2) –(1.3.6), единственность решения которой требует дополнительного исследования.

Замечание 1.5 показывает, как размерностьпространства начальных данных задачи с начальными условиями дляДРУ (1.1.1)–(1.1.2) зависит от весового параметра γ пространства Соболева и от расположения корней характеристического многочлена.Заметим, что при выполнении условий теоремы 1.1 минимум вещественной части множества Ξ корней характеристического квазимногочлена достигается на единственной точке λ1 множества Ξ, причемпромежуток (α, β) должен быть заключен в отрезке [Reλ1 , Reλ2 ].При росте величины |b| коэффициента при слагаемом с отклонением аргумента по сравнению с коэффициентом a структура множестваΞ изменяется таким образом, что при всех достаточно больших значениях величины|b||a|минимум вещественной части множества Ξ корнейхарактеристического квазимногочлена достигается на конечном подмножестве Ξ1 множества Ξ, состоящем не менее чем из двух точек.Если множество Ξ1 состоит из двух точек x1 ± iy1 , то при любом1γ > x1 в пространстве W2,γ(R+ ) существует решение однородного ДРУпервого порядка (1.1.1), удовлетворяющее двум начальным условиямпри t → +0.– 50 –2.

ЗАДАЧА С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ(ДРУ) ВТОРОГО ПОРЯДКА.2.1. Дифференциально-разностное уравнение сопережением и запаздыванием.В этой главе исследована корректная разрешимость задачи с начальными условиями для дифференциально-разностного уравнениявторого порядка с опережающим аргументом в весовом пространстве Соболева при отсутствии ограничений на малость коэффициентовпри слагаемых с отклонениями аргумента. Установлено что для скольугодно большого значения коэффициента при слагаемом с опережением найдутся столь малые значения величины отклонения аргумента и такие значения весового параметра пространства Соболева, чтов соответствующем пространстве рассматриваемая задача корректноразрешима.Рассмотрены новые постановки задачи с начальными условиями дляуравнения с опережением, при которых в начальный момент временизадаются значения m первых производных неизвестной функции принекотором натуральном m.

Установлено, что при достаточно большихзначениях показателя пространства Соболева такая задача имеет хотябы одно решение. В настоящей работе исследуются вопросы постановки и корректной разрешимости задачи с начальными условиями длямодельного дифференциально-разностного уравнения второго порядка видаutt (t) = L u(t) + f (t),– 51 –t > 0,(2.1.1)где L – разностный оператор, сопоставляющий функции u : R+ ≡[0, +∞) → C функцию L u : R+ → C, определяемую равенствомL u(t) = −a2 u(t) + bu(t + h),t ∈ [0, +∞).(2.1.2)Здесь коэффициенты a, b ∈ R – вещественные числа, h > 0, f –заданная числовая функция на области (0, +∞), а u – неизвестнаячисловая функция, областью определения которой является полуось(0, +∞). Областью определения оператора L , действующего в гильбертовом пространстве L2,γ (0, +∞), является гильбертово пространство2D(L ) = W2,γ(0, +∞),(см [7], [11]), на котором оператор L определен согласно формуле(2.1.2) .

Ставится задача определить функцию u :(0, +∞) → R,которая в области (0, +∞) удовлетворяет уравнению (2.1.1) , а приt → +0 удовлетворяет начальному условию следующего вида:u(+0) = ϕ,ut (+0) = ψ,(2.1.3)где (ϕ, ψ) ∈ R2 – начальное значение функции и ее первой производной.2Определение 2.1. Функцию u ∈ W2,γ(0, +∞) назовем решениемзадачи (2.1.1)–(2.1.2)– (2.1.3) в весовом пространстве Соболева, еслиона удовлетворяет дифференциальному уравнению (2.1.1) в пространстве L2,γ (0, +∞) и начальному условию (2.1.3).Исследован вопрос о корректности задач (2.1.1)–(2.1.2)– (2.1.3) в ве2совых пространствах Соболева из шкалы W2,γ(R+ ), γ ∈ R. То есть,решен следующий вопрос – при заданных коэффициентах a, b, h существуют ли такие значения параметра γ ∈ R, что при любых начальныхданных (2.1.3) и при любых f ∈ L2,γ (0, +∞) задача (2.1.1)–(2.1.2)–2(2.1.3) имеет единственное решение из пространства W2,γ(0, +∞), и– 52 –2при этом W2,γ-норма решения допускает оценку через L2,γ -нормуфункции f и норму начальных данных в евклидовом пространствеR2 :2kukW2,γ≤ c[kf kL2,γ + |ϕ| + |ψ|].Установлено, что в зависимости от коэффициентов уравнения, точнее, в зависимости от расположения корней характеристического квазимногочлена дифференциально-разностного оператора (2.1.2), реализуются различные возможности корректной постановки задачи(2.1.1)–(2.1.2)–(2.1.3) а также возможность однозначной разрешимостизадачи с одним начальным условием (2.1.3) для однородного уравнения (2.1.1), (см.

Характеристики

Список файлов диссертации