Диссертация (1155102), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Следстваие 2.3 ниже). Ключевую роль в выборе корректной постановки задачи для дифференциально-разностного уравнения (2.1.1)–(2.1.2) играет множество корней характеристическогоквазимногочлена оператора (2.1.2).λ2 = −a2 + beλh .(2.1.4)Множество Ξ комплексных корней уравнения (2.1.4) является счетным множеством в комплексной плоскости C (см. [10], [13] ), котороесимметрично относительно вещественной оси при условии a, b, h ∈ R.Спецификой опережающего типа дифференциально-разностного оператора (2.1.2) является то, что в любой полуплоскости Re(λ) < γ плоскости C находится не более чем конечное множество точек Ξ. Поэтомусуществует конечное подмножество точек множества Ξ, на которыхдостигается величина γ∗ = inf(ReΞ).Достаточные условия корректной разрешимости задачи сначальными условиями в пространстве Соболева сэкспоненциальным весом.В этой части исследуются вопросы постановки и корректной– 53 –разрешимости задачи с начальными условиями для модельногодифференциально-разностного уравнения видаutt (t) = L u(t) + f (t),t > 0,(2.1.5)гдеL u(t) = −a2 u(t) + bu(t − h) + cu(t + τ ) − γ0 u(t),t ∈ (0, +∞).

(2.1.6)Здесь коэффициенты b, c - вещественные числа, a, h, τ – положительные постоянные, f – заданная числовая функция на интервале(0, +∞), а u – неизвестная числовая функция, областью определениякоторой является промежуток (−h, +∞).Областью определения оператора L , действующего в гильбертовом пространстве L2,γ ((−h, +∞)), является гильбертово пространствоD(L ) = W22 ((−h, +∞)) (см.

[7],[11]), на котором оператор L определен согласно формуле (2.1.6).Ставится задача определить функцию u : (h, +∞) → R, котораяв области (0, +∞) удовлетворяет уравнению (2.1.5) почти всюду, а наотрезке [−h, 0] удовлетворяет начальному условиюu |[−h,0] = ϕ,(2.1.7)где ϕ(t) – начальное значение функции u, заданное на множестве[−h, 0]. При этом предполагается, что функция ϕ удовлетворяет условию ϕ ∈ W22 ((−h, 0)).Случай наличия слагаемых с опережением аргумента отличаетсяот случай отсутствия опережения тем, что не для каждого опреторавида (2.1.6) найдется такой параметр γ ∈ R, что задача (2.1.5)–(2.1.7)2корректно разрешима в пространстве W2,γ, а если множество значенийвесового параметра γ, при котором задача (2.1.5)– (2.1.7) корректноразешима, ограничено.– 54 –Определение 2.2. Решением задачи Коши (2.1.5)–(2.1.7) будем2((−h, +∞)), которая удовлетворяет уравназывать функцию u ∈ W2,γнению (2.1.5) на интервале (0, +∞) и начальному условию (2.1.7) наинтервале (−h, 0).

Согласно теореме о следах (см. [21] гл. I, а также[7]), справедливо следующее утверждение:1Лемма 2.1. Если l ∈ N и u ∈ W2,γ((a, b)), то существует u(a +0) ∈ C такое, чтоlim |u(t) − u(a + 0)| = 0.t→a+01((a, b))Наоборот, если u0 ∈ C, то существует функция u ∈ W2,γтакая, что lim |u(t) − u0 | = 0. При этом справедливо неравенствоt→a+0l (a,b) ,|u0 | ≤ CkukW2,γl((a, b)).в котором постоянная C не зависит от u ∈ W2,γ2((h, +∞)) является решениемЛемма 2.2. Если функция u ∈ W2,γзадачи Коши (2.1.5)–(2.1.7) то предел u(+0) ∈ C функции u при t →+0 и предел ut (+0) ∈ C ее приизводной u0 при t → +0 удовлетворяют0равенствам u(+0) = ϕ(−0) и ut (+0) = ϕt (−0).В связи с утверждением леммы 2.2 всюду далее мы предполагаем,что задача Коши (2.1.5)–(2.1.7) исследуется при следующих предположениях ϕ(−0) ∈ C и ϕ0t (−0) ∈ C. Как нетрудно проверить с помощьюнепосредственной подстановки, справедливо следующее утверждение.2Лемма 2.3.

Функция u ∈ W2,γ((h, +∞)) является решением за-дачи Коши (2.1.5)–(2.1.7) тогда и только тогда, когда функцияv(t) = exp(−γt)u(t),t ∈ (h, +∞)принадлежит пространству W22 ((h, +∞)) и является решениемфункционально-дифференциального уравненияvtt (t) + 2γvt (t) + γ 2 v(t) = Lγ v(t) + fγ (t),– 55 –t > 0,(2.1.8)где fγ = e−γt f и Lγ – разностный оператор, действующий по правилуLγ v(t) = −a2 v(t) + be−γh v(t − h) + ceγτ v(t + τ ) − γ0 v(t),t ∈ (0, +∞),(2.1.9)удовлетворяющим начальному условиюv |[−h,0] = e−γt ϕ,t ∈ (−h, 0).(2.1.10)Заметим, что f ∈ L2,γ (R+ ) тогда и только тогда, когда fγ ∈ L2 (R+ ),причемkfγ kL2 (R+ ) = kf kL2,γ (R+ ) .Лемма 2.4.

Для любых η0 ∈ C, η1 ∈ C существует функцияη ∈ W22 ((0, +∞)) такая, чтоη(+0) = η0 ;dη(+0) = η1 ,dtпричем справедлива оценкаkηkW22 ((0,+∞)) ≤ k[|η0 | + |η1 |].(2.1.11)Доказательство. Положимη(t) = e−t2 a22[cos(at)η0 + a−1 sin(at)η1 ],t ≥ 0.(2.1.12)Тогда функция η удовлетворяет требуемым начальным условиям.При этомka2 ηk2L2 ((0,+∞)Z+∞Z+∞ 2 2−t a=|a2 η(t)|2 dt ≤|e 2 a2 cos(at)η0 |2 dt+00Z+∞ 2 2−t a|e 2 a sin(at)η1 |2 dt ≤ a3 [k1 |η0 |2 + k2 |η1 |2 ],0где k1 =+∞R02e−t cos2 (t)dt и k2 =+∞R2e−t0– 56 –sin2 (t) 2t2 t dt.Таким образом, η ∈ L2 (R+ ) иkηkL2 (R+ ) ≤ c[|η0 | + |η1 |].Функция η обладает обобщенной производной второго порядка по t.Оценка нормы функции2 2d222 − t 2aη(t)=−aη(t)+ae(t2 a2 )[cos(at)η0 + a−1 sin(at)η1 ]−2dt2 a222 −t2ta e[cos(at)η1 − asin(at)η0 ],t ∈ R+ ,в пространстве L2 (R+ ), производимая, как и выше, позволяет утверждать существование такой постоянной c0 > 0, чтоkd2ηkL2 (R+ ) ≤ c0 [|η0 | + |η1 |]2dtЛемма доказана.Следствие 2.2.

Пусть l ≥ 0. Для любых η0 ∈ C, η1 ∈ C существуетфункция η ∈ W22+l ((0, +∞)) такая, чтоη(+0) = η0 ;dη(+0) = η1 ,dtпричем справедлива оценкаkηkW22+l ((0,+∞)) ≤ kl [|η0 | + |η1 |].(2.1.13)Следствие 2.3. Если ϕ ∈ W22 (R+ ), то существует функция η ∈W22 ((0, +∞)) такая, чтоη(+0) = ϕ(−0);dη(+0) = ϕ0t (−0) − γϕ(−0),dtпричем справедлива оценкаkηkW22 ((0,+∞)) ≤ kkϕkW22 ((−h,0)) .– 57 –(2.1.14)Положим v(t) = w(t) + g(t), где g(t) = ϕ(t) при (t) ∈ (−h, 0) иg(t) = η(t),t ∈ (0, +∞).(2.1.15)Тогда если ϕ ∈ W22 ((−h, 0)), то g(t) ∈ W22 ((−h, +∞)), справедливаоценкаkgkW22 ((−h,+∞)) ≤ CkϕkW22 ((−h,0))(2.1.16)и, как нетрудно проверить с помощью непосредственной подстановки,следующее утверждение.Лемма 2.5.

Пусть выполнено условие fγ ∈ L2 (R+ ), а функция ϕпринадлежит пространству W22 ((−h, 0)).Функция v ∈ W22 ((−h, +∞)) является решением задачи Коши(2.1.8), (2.1.10) тогда и только тогда, когда функция w(t) = v(t) −g(t), t ∈ (−h, +∞), удовлетворяет условию w(t) = 0, t ∈ (−h, 0),а ее сужение w|R+ принадлежит пространству W22 (R+ ) и являетсярешением задачи Коши∂2∂w(t)+2γw(t) + γ 2 w = Lγ w(t) + Fγ (t),2∂t∂tt ∈ (0, +∞),(2.1.17)lim |wt (t)| = 0, lim |w(t)| = 0(2.1.18)0t→+0t→+0где функцияFγ = (fγ − γ 2 g − 2γ∂∂2g + Lγ g − 2 g)|R+∂t∂t(2.1.19)принадлежит пространству L2 (R+ ) и допускает оценкуkFγ kL2 (R+ ) ≤ C(kϕkW22 ((−h,0)) + kf kL2,γ (R+ ) ).(2.1.20)Доказательство.

Пусть функция g определяется условиями(2.1.10) и (2.1.15). Пусть функция v является решением задачи (2.1.8) –– 58 –(2.1.10), а функция w определяется равенством w = v −g. Тогда равенства (2.1.17) и (2.1.19) следуют из равенства (2.1.8), равенств (2.1.15)и подстановки v = w + g. Из определения функции g следует равенство w(t) = 0, t ∈ (−h, 0), и поэтому в силу леммы 3.8 справедливо равенство (2.1.18). Заметим, что поскольку fγ ∈ L2 ((−h, +∞)) иg ∈ W22 ((−h, +∞)), то в силу (2.1.19) и следствия 2.5 выполняетсяусловие Fγ ∈ L2 ((0, +∞)) и неравенство (2.1.20).Наоборот, если функция w|R+ является решением задачи Коши(2.1.17) – (2.1.19), и равна нулю на (−h, 0), то определенная равенством v = w + g функция является решением задачи Коши (2.1.8) –(2.1.10). В силу определения функций fγ и g и неравенства (2.1.16)выпоняется оценкаkFγ kL2 (R+ ) ≤ c[kf kL2 (R+ ) + kϕkW22 ((−h,0)) ].Оценим величину kFγ kL2 (R+ ) .

Заметим, что посколькуd2dk ukL2 (R+ ) ≤ k 2 ukL2 (R+ ) + kukL2 (R+ )dtdtдля любого u ∈ W22 (R+ ), то первые три слагаемых Fγ из (2.1.19) лежатв пространстве L2 (R+ ) и для них справедлива оценка (2.1.20).2∂Докажем, что оценке (2.1.19) удовлетворяет и сумма (Lγ g− ∂t2 g)|R+ .Действительно,∂2g∂t2∈ L2 (R+ ), а в силу определения оператора Lγ (см.[8]) справедлива оценкаkLγ gkL2 (R+ ) ≤ ckkW22 (R+ ) .Остается воспользоваться следствием 2.3. Лемма 2.5 доказана.

Так0как w(+0, ·) = 0, и wt (+0, ·) = 0, то будем искать решение уравнения(2.1.17) в видеw(t) = a−1Ztsin(a(t − s))e−γ(t−s) Z(s)ds ≡ (Vγ Z)(t),0– 59 –t ∈ R+ ,(2.1.21)где Z ∈ L2 ((0, +∞)) – неизвестная функция.Лемма 2.6. Пусть γ > 0. Оператор Vγ является ограниченнымпреобразованием пространства L2 ((0, +∞)). Оператор Vγ при γ > 0допускает следующую оценкy:kVγ kB(L2 (R+ ),L2 (R+ )) ≤1.γ 2 + a2(2.1.22)Для любого u ∈ L2 (R+ , D(A)) справедливо равенствоZtVγ u =a−1 sin(a(t − s))e−γ(t−s) u ds.0Продолжим функцию w(t) = Vγ u(t), t ≥ 0, нулем на полуось(−∞, 0) до функции w̃(t), t ∈ R. Тогда если γ > 0, то преобразование Фурье ŵ(ξ), ξ ∈ R, функции w̃ в силу теоремы о преобразованииФурье свертки имеет видŵ(ξ) =где û(ξ) =1 −1a [((γ + iξ) − ia)−1 − ((γ + iξ) + ia)−1 ]û(ξ),2i√12π+∞Rξ ∈ R,u(t)e−iξt dt – преобразование Фурье функции ũ, яв-0ляющейся продолжением функции u нулем на полуось (−∞, 0).Следовательно, в силу унитарности преобразования Фурье в пространстве L2 (R), для любого u ∈ L2 (R+ ) справедлива оценкаkwkL2 (R+ ) = supξ∈R111[−]kukL2 (R+ ) =2ia γ + i(ξ − a) γ + i(ξ + a)1sup((γ 2 + (ξ − a)2 )(γ 2 + (ξ + a)2 ))− 2 kukL2 (R+ ) .ξ∈RСтационарными точками непрерывно дифференцируемой функцииV (ξ) = (γ 2 + (ξ − a)2 )(γ 2 + (ξ + a)2 )– 60 –является точка ξ = 0.

Характеристики

Список файлов диссертации