Диссертация (1155102), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Лемма 2.14 будет доказана, еслипоказать, что кривая γ не имеет пересечения с кривой Γ1 . Заметим,что при достаточно малых значениях h > 0 кривая Γ1 лежит в полосе|y| <π2hи, следовательно, все кривые γm , m ∈ N, не пересекаются скривой Γ1 . Покажем, что точки пересечения кривой γ0 с кривой Γ1 неявляются решениями системы уравнений (2.3.5)–(2.3.6).Ветви γ+0 кривой γ0 , определяемые уравнением,s[ysin2 (hy)ππ2x=[cos(hy) + 1 − a],y∈(−,0)(0,),sin(hy)y22h2h– 78 –√лежат в полуплоскости y >1−a2 h2,hкоторая при достаточно малыхh > 0 не пересекается с кривой Γ1 (лежит правее кривой Γ1 ).
Ветвиγ−0 кривой γ0 , определяемые уравнением,sysin2 (hy)2[cos(hy) − 1 − a],x=sin(hy)y2y ∈ (−[ππ, 0) (0, ),2h2hлежат в полуплоскости x < 0 при |y| > |a|, а при |y| ≤ |a| лежат впрямоугольнике {(x, y) : 0 ≤ x ≤ a2 h, |y| < |a|}.Заметим, что в силу уравнения (1.1.4) для любыхy ∈ (−[ππ, 0) (0, )2h2hвыполняется равенство 2x = behx sin(hy)> 0, поэтому точки пересечеyния кривой γ−0 с кривой Γ1 , лежащие в полуплоскости x < 0, не могутбыть решениями системы (2.3.5)–(2.3.6). А для точек прямоугольника{(x, y) : 0 ≤ x ≤ a2 h, |y| < |a|} из условия b > a2 следует, что придостаточно малых значениях h > 0 выполняется неравенство222a +x +y <p4a2 y 2 + b2 e2hx ,то есть не выполнено равенство(2.3.9). Поэтому точки пересечениякривой γ−0 с кривой Γ1 , лежащие в полуплоскости x > 0, не могутбыть решениями системы(2.3.5)–(2.3.6).
Таким образом, лемма 2.14.дает достаточные условия того, что вещественные части невещественных точек множества Ξ превосходят максимальный из корней уравнения (2.3.10).Корни характеристического многочлена и разрешимость впространстве Соболевас экспоненциальным весом.Заметим, что если при некотором γ ∈ R множество {ξ ∈ Ξ : ξ <γ} = {ξ−1 , ..., ξm } состоит из m(γ) ∈ N элементов, то пространство– 79 –2W2,γ(0, +∞) содержит m-мерное подпространство решений однород-ного уравнения (2.3.1)mXΛγ = {cj eξj t }.j=1Замечание 2.4. Матрица Вронского системы функций eξj t , j ∈0, m − 1 невырождена, поскольку все числа ξj , j ∈ 0, m − 1 различны.Следствие 2.6. Пусть при некотором γ ∈ R выполняется условиеm(γ) ∈ N. Тогда для любого набора чисел (u0 , u1 , ..., um(γ)−1 ) ∈ Cm(γ)дифферен- циально-разностное уравнение (2.3.1) имеет хотя бы одно2решение u ∈ W2,γ(R+ ), удовлетворяющее начальному условиюu(j) (+0) = uj ,j ∈ 0, m − 1.(2.3.11)Таким образом, следствие 2.6, устанавливает достаточные условия2(R+ ) решения задачи с начальнысуществования в пространстве W2,γми условиями (2.3.1)–(2.3.2) –(2.3.11).
Единственность решения задачис начальными условиями (2.3.1)–(2.3.2)–(2.3.11) требует дополнительного исследования. Планируется применить для этой цели принципсжимающих отображений. Следствие 2.6, показывает, как размерностьпространства начальных данных задачи с начальными условиями длядифференциально-разностного уравнения (2.3.1)–(2.3.2) зависит от весового параметра γ пространства Соболева и от расположения корнейхарактеристического многочлена.Условия корректной разрешимости задачи (2.3.1)–(2.3.3) основанные на малости коэффициентов.В случае, когда коэффициенты при слагаемом с опережением достаточно малы, принцип сжимающих олтображений позволяет установить результат о существовании и единственности решения задачи– 80 –с начальными условиями (см. [7],[16]).
Положимeγh |b|ω(γ) = 2,a + γ2γ ∈ R.(2.3.12)В работах [1] было установлено следующее утверждение.Теорема 2.5. Пусть ω(γ) < 1 на некотором промежутке (α, β) ⊂R и пусть f ∈ L2,γ0 (0, +∞) при некоторых γ0 ∈ (α, β). Тогда прилюбом γ ∈ [γ0 , β) задача Коши (2.3.1)–(2.3.3) имеет единственное2решение u в пространсве W2,γ(0, +∞), причем справедлива оценка2 (0,+∞) ≤ C[|ϕ| + |ψ| + kf kLkukW2,γ]2,γ (0,+∞)с константой, не зависящей от ϕ, ψ, f .Характеристическое уравнение (2.3.4) уравнение имеет счетное множество Ξ комплексных корней Ξ = {λk , k ∈ N}, причем при каждомk ∈ N функция exp (λk t), t > 0, является решением уравнения (2.3.1).1Если λk = xk + iyk и γ ∈ R, то включение exp (λk t) ∈ W2,γ(0, +∞)выполняется тогда и только тогда, когда xk < γ. Основываясь наэтом факте мы исследуем взаимное расположение множества Ξ и промежутка (α, β) корректности задачи (2.3.1)–(2.3.2) в шкале весовыхпоказателей – такого промежутка (α, β), что ∀γ ∈ (α, β) ω(γ) < 1.Определим числаâ = sup{Reλ : λ ∈ Ξ, Reλ < α},b̂ = inf {Reλ : λ ∈ Ξ, Reλ > β}.Как установлено в работе [1] , справедливо следующее утверждение.Теорема 2.6.
Пусть ω(γ) < 1 на интервале (α, β) ⊂ R. Тогда вполосе комплексной плоскости α < Reλ < β нет точек множестваΞ. При этом если γ > b̂, то однородная задача (2.3.1)–(2.3.3) имеет– 81 –2нетривиальное решение u ∈ W2,γ(h, +∞). Если γ < â, то не при всехначальных данных (ϕ, ψ) ∈ R2 , однородное уравнениеutt = L u(t),t>02(h, +∞).имеет решение из пространство W2,γСледствие 2.7. Если выполняется условие 0 < −b < a2 и условие∃ γ ≥ 0 : ω(γ) < 1, то величина γ∗ = inf ReΞ достигается на некоторойпаре комплексно сопряженных корней λ±1 = x1 ± iy1 , где x1 = γ∗ иy1 > 0. Если при этом γ ∗ = inf Reξ : ξ ∈ Ξ, ξ > γ∗ , то (α, β) ⊂ (γ∗ , γ ∗ ).Тогда если γ ∈ (α, β), то для любых (ϕ, ψ) ∈ R2 задача (2.3.1)–(2.3.3), с однородным уравнением (2.3.1) имеет единственное решениеu(t) = [A cos(y1 t) + B sin(y1 t)]ex1 t ,где A = ϕ и B =1y1 (ψt ≥ 0,− x1 ϕ).Следствие 2.8.
Пусть выполнены условия следствия 2.7. Тогда2(R+ ) эквиесли γ ∈ (α, β), то задача (2.3.1)–(2.3.3) в пространстве W2,γвалентна задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравненияutt (t) − 2x1 ut (t) + (x21 − y12 )u(t) = f (t),t ≥ 0,(2.3.13)с начальным условием (2.3.3). Действительно, решение однородногодифференциального уравнения (2.3.13), удовлетворяющего начальному условию (2.3.3), существует, единственно и совпадает с единственным (в силу теоремы 2.2) решением задачи (2.3.1)–(2.3.3), с однородным уравнением (2.3.1).
Поэтому из метода вариации постоянныхследует, что и решение неоднородного дифференциального уравнения(2.3.13), удовлетворяющего начальному условию (2.3.3), совпадает сединственным (в силу теоремы 2.5) решением задачи (2.3.1)–(2.3.3).– 82 –Условия корректной разрешимости задачи (2.3.1)–(2.3.3) сбольшими коэффициентами при слагаемых с отклонениемаргумента.Исследуем корректность задачи (2.3.1)–(2.3.2)–(2.3.3) при нарушении условия(2.3.12) на коэффициенты уравнения. Предположим, чтовыполняется условие b > a2 > 0; и при этом величина h > 0 маланастолько (см. лемму 2.1), что уравнение (2.3.4) имеет три различныхвещественных корня x1 , x2 , x3 таких, что x1 < 0 < x2 < x3 и для любого невещественного корня λj уравнения(2.3.4) выполняется условие√Reλj > x2 .
Ибо, согласно лемме 2.13, x2 = b − a2 + o(1) при h → 0, адля любого невещественного корня λj уравнения (2.3.4) его вещественная часть Re(λj ) является бесконечно большой величиной при h → 0(см. лемму 2.14).Лемма 2.15. Если x ∈ R и γ > x, то для любой функции z ∈L2,γ (R+ ) функцияZtw(t) =ex(t−s) z(s)ds,t ≥ 0,01(R+ ), причем линейный операторпринадлежит пространству W2,γ1(R+ ), действующий по правилу Az = w, ограниA : L2,γ (R+ ) → W2,γчен и выполнены неравенства1kzkL2,γ (R+ ) ;γ−xγ1 (R ) ≤kwkW2,γkzkL2,γ (R+ ) .+γ−xДоказательство леммы 2.15 можно найти в работе [15]. Для каждогоkwkL2,γ (R+ ) ≤z ∈ L2,γ (R+ ) и c1 , c2 ∈ C определим функциюu(t) = c1 ex1 t + c2 ex2 t +Zt1(ex1 (t−q) − ex2 (t−s) )z(q)dq.x1 − x20– 83 –(2.3.14)То есть u(t) = u1 (t) + u2 (t), t > 0, гдеZtu1 (t) = c1 ex1 t +1ex1 (t−s) z(q)dqx1 − x20иu2 (t) = c2 ex2 t −Zt1ex2 (t−s) z(q)dq.x1 − x20Лемма 2.16.
Если x1 , x2 ∈ R, x1 < x2 и γ > x2 , то для любойфункции z ∈ L2,γ (R+ ) функция1v(t) =x2 − x1Zt(ex2 (t−s) − ex1 (t−s) )z(s)ds,t ≥ 0,02(R+ ), причем линейный операторпринадлежит пространству W2,γ2(R+ ), действующий по правилу Λz = v, ограниΛ : L2,γ (R+ ) → W2,γчен и выполнены неравенстваkvkL2,γ (R+ ) ≤1kzkL2,γ (R+ ) ;(γ − x1 )(γ − x2 )2 (R ) ≤ C(γ, x1 , x2 )kzkLkvkW2,γ.2,γ (R+ )+Заметим, чтоkvkL2,γ (R+ ) = ke−γt vkL2 (R+ )1=kx2 − x1Zt(e(x2 −γ)(t−s) −e(x1 −γ)(t−s) )z(s)dskL2 (R+ ) .0Определим функциюg(t) = e(x2 −γ)t − e(x1 −γ)t ,t > 0.Продолжим функции z, v и g нулем на отрицательную полуось дофункций Z, V и G соответственно, и применим к продолженным функциям преобразование Фурье.
Поскольку x1 − γ < 0 и x2 − γ < 0, то– 84 –функция Vγ (t) = e−γt V (t), t ∈ R, т.е.1Vγ (t) =x2 − x1Zt(e(x2 −γ)(t−s) −e(x1 −γ)(t−s) )z(s)ds, t ≥ 0; Vγ (t) = 0,t < 0,0представляет собой свертку функции Z ∈ L2 (R) с функцией G ∈L2 (R), определяемой равенствомG(t) = e(x2 −γ)t − e(x1 −γ)t , t ≥ 0; G(t) = 0, t < 0.Поэтому для преобразования Фурье функции Vγ ∈ L2 (R) получимF (Vγ )(ξ) =111(−)ẑ(ξ) =x2 − x1 γ − x2 + iξ γ − x1 + iξ1Ẑ(ξ),(iξ − x1 + γ)(iξ − x2 + γ)Следовательно,kvkL2,γ ≤ sup |ξ∈Rξ ∈ R.11|kzkL2,γ =kzkL2,γ .(iξ − x1 + γ)(iξ − x2 + γ)(γ − x1 )(γ − x2 )Аналогично можно показать, чтоkd2ξ2Vk≤kzksup||≤γ L2,γ (R)L2,γdt2(iξ−x+γ)(iξ−x+γ)12ξ∈RCkzkL2,γ .(γ − x1 )(γ − x2 )Поскольку v(0) = 0 и v 0 (0) = 0, тоkd2d2dvk≤kVk+2γkVγ kL2,γ (R) + γ 2 kVγ kL2,γ (R)γL(R)L(R)2,γ+2,γ22dtdtdtи существует C > 0 такое, чтоkd2Cvk≤kzkL2,γ (R+ ) .L(R)2,γ+dt2(γ − x1 )(γ − x2 )Из этих оценок следуют утверждения леммы.– 85 –Следствие 2.9.
При произвольном z ∈ L2,γ и c1 , c2 ∈ C функ2, причем существует такаяция (2.3.14) принадлежит пространству W2,γконстанта C > 0, что2kukW2,γ≤ C[|c1 | + |c2 | + kzkL2,γ ].(2.3.15)2Тогда для произвольной функции u ∈ W2,γ(R+ ), представленной ввиде (2.3.14), имеют место равенстваut = x1 c1 ex1 t + x2 c2 ex2 t +Zt1(x1 ex1 (t−q) − x2 ex2 (t−s) )z(q)dq.x1 − x20(2.3.16)utt = x21 u1 (t) + x22 u2 (t) + z(t).1u(t+h) = ex1 h u1 (t)+ex2 h u2 (t)+x1 − x2(2.3.17)Zt+h(ex1 (t+h−q) −ex2 (t+h−q) )z(q)dq.t(2.3.18)Лемма 2.17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
