Диссертация (1155102), страница 15
Текст из файла (страница 15)
< hN , причем h < 0. В равенстве (2.3.1) f – заданная функция из пространстваL2 ((0, +∞), H ), а u – неизвестная числовая функция, заданная намножестве (h, +∞) × Rd из пространства L2 ((h, +∞), H ).Ставится задача определить функцию u : (h, +∞) × H , которая вобласти (0, +∞)×Rd удовлетворяет уравнению (3.3.1) , а на множестве(h, 0] × Rd удовлетворяет начальному условиюu |(h,0] = ϕ,(3.3.3)где ϕ(t) : (h, 0] → H - заданная начальная функция из пространстваW23 ((h, 0), A3 ).
Задача (3.3.1) – (3.3.3) представляет собой частный случай задачи (3.3.1) – (3.3.3), поэтому достаточные условия корректнойразрешимости задачи (3.3.1) – (3.3.3) дает теорема 3.2– 112 –Исследуем, насколько условия на весовой параметр γ, предъявляемые неравенством ω(γ) < 1 в теореме 3.2 , существенны для существования и единственности решения задачи (3.3.1) – (3.3.3).Рассмотрим связанные с корнем sn оператора Z характеристическое уравнение2ξ =−s2n+NXehk ξ [ak + ck sn ] − γ0(3.3.4)k=1и обозначим через Θn множество его корней в комплексной плоскостиC.Лемма 3.10.
При любом sn ∈ R уравнение (3.3.4) относительнопеременной ξ = x + iy ∈ C имеет счетно множество корней Θn .Утверждение леммы устанавливается сведением уравнения (3.3.4)к системе из двух вещественных уравнений для переменных x, y ∈ R.∞SΘn .Определим множество Θ =n=1Следствие 3.7. Множество Θ ⊂ C счетно.Пусть ω – функция, определенная по оператору (3.3.2) равенствомω(γ) =NXk=1eγhk {ak111+c}+γ,k0α02 + γ 2γα02 + γ 2γ ∈ R.(3.3.5)и(α, β) = {γ ∈ R : ω(γ) < 1} =6 .Тогда в соответствии с теоремой 3.2 при любом γ ∈ (α, β)) задача2(3.3.1) – (3.3.3) в пространстве W2,γ((h, +∞), A2 ) имеет единственноерешение если только f ∈ L2,γ (R+ , H 1 ).По множеству Θ и интервалу (α, β) определим числаâ = sup{Reλ : λ ∈ Θ, Reλ < α}иb̂ = inf{Reλ : λ ∈ Θ, Reλ > β}.– 113 –Теорема 3.3.
Пусть функции ϕ ∈ W22 ([h, 0], A2 ). Пусть ω(γ) < 1на интервале (α, β) ⊂ R. Тогда если γ > b̂, то однородная (с нулевыми начальным условием и правой частью) задача (3.1.1) – (3.1.3),2имеет нетривиальное решение u ∈ W2,γ((h, +∞), A2 ).А если γ < â, то не при всех начальных данных φ ∈ W23 ([h, 0], A3 )однородное уравнение (3.3.1), utt (t) = Z u(t), t > 0, имеет решение2из пространства W2,γ((h, +∞), A2 ).Доказательство. Предположим, что γ > b̂. Тогда найдется такоеn ∈ N и такой корень ξnj уравнения (2.3.10), что Re(ξnj ) ∈ (β, γ).jТогда функция u(t) = eξn t vn , t ∈ (h, +∞) принадлежит простран3((h, +∞), A3 ), является решением однородного уравненияству W2,γ(3.3.1) и удовлетворяет начальному условию (3.3.3) видаjφ(t) = eξn t vn ,Начальнаяфункцияt ∈ (h, 0].(3.3.6)принадлежит(3.3.6)пространствуW23 ([h, 0], A3 ), поэтому при любом γ̃ ∈ (α, β) согласно теореме3.2 задача (3.3.1)–(3.3.3) с начальным условием (3.3.6) для однородного уравнения (3.3.1) с нулевой правой частью f имеет единственное1решение ũ в пространстве W2,γ̃((h, +∞), A).
Так как γ̃ < β < γ, то1ũ ∈ W2,γ((h, +∞), A).2Следовательно, в пространстве W2,γ((h, +∞), A2 ) задача (3.3.1)–(3.3.2) с начальным условием (3.3.3) для однородного уравнения (3.3.1)имеет по крайней мере два различных решения – ũ иju(t) = eξn t vn ,t ∈ (h, +∞).Аналогично доказывается, что если γ < â, то не при всех начальных данных φ ∈ W23 ([h, 0], A3 ) однородное уравнение (3.3.1) utt (t) =2Z u(t), t > 0, имеет решение из пространства W2,γ((h, +∞), A2 ).Действительно, пусть γ < â и γ̃ ∈ (α, β). Тогда найдется такоеjjm ∈ N и такой корень ξmуравнения (2.3.4), что Re(ξm) ∈ (γ, α).– 114 –jТогда функция u(t) = eξm t vm , t ∈ (h, +∞) принадлежит пространству3W2,γ̃((h, +∞), A3 ), является решением однородного уравнения (3.3.1)и удовлетворяет начальному условию (3.3.3) видаjφ(t) = eξm t vm ,t ∈ (h, 0].(3.3.7)Поэтому если предположить, что задача (3.3.1)–(3.3.3) с начальнымусловием (3.3.7) для однородного уравнения (3.3.1) имеет решение v2в пространстве W2,γ((h, +∞), A2 ), то функция v является решениемзадачи (3.3.1)–(3.3.4) с начальным условием (3.3.7) для однородного2((h, +∞), A2 ) так как γ̃ > γ.
Ауравнения (3.3.1) из пространстве W2,γ̃это противоречит однозначной разрешимости задачи (2.3.1)–(2.3.3) в2((h, +∞), A2 ), утверждаемой теоремой 3.2 Теоремапространстве W2,γ3.3 доказана.Следствие 3.8. Если функция ω определена по оператору (2.3.8)Tи ω(γ) < 1 при γ ∈ (α, β), то (α, β) Θ = .Действительно, предположим, что существует l ∈ N и корень ξljуравнения (2.3.4), соответствующего корню sl . Выберем числа α1 , β1таким образом, что α < β1 < ξlj α1 < β. Тогда в силу теоремы 3.2задача (3.3.1)–(3.3.3) для однородного уравнения (2.3.1) имеет реше2ние из пространства W2,γ((h, +∞), A2 ) не при всех начальных данныхиз пространства W23 ((h, 0], A3 ) если γ ∈ (α, β1 ); и имеет более одного2решения из пространства W2,γ((h, +∞), A2 ), если γ ∈ (α1 , β).
Получа-ется противоречие с утверждением теоремы 3.2.Замечание 3.4. Полученный результат об указании класса весовых пространств Соболева, в которых задача с начальными данными(3.3.1)–(3.3.3) корректно разрешима, подобен результатам А.Н. Тихонова о функциональном классе однозначной разрешимости уравнениятеплопроводности. Действительно, согласно результатам (см.[35]), при– 115 –любом значении T > 0 задача Коши для уравнения теплопроводностис непрерывным ограниченным начальным условием имеет единственное решение в пространстве функций u : [0, T ]×R → R, для которыхконечна величина2sup(e−x sup |u(t, x)|).x∈Rt∈[0,T ]В тоже время, при любом > 0 указанная задача Коши имеет болееодного решения в классе функций, для которыхsup(e−xx∈R2+sup |u(t, x)|).t∈[0,T ]Так и задача (3.3.1)–(3.3.3) с начальным условием для однородного уравнения (3.3.1) имеет единственное решение в пространстве2W2,γ((h, +∞), A2 ) при γ ∈ (α, β), но если γ > b̂ ≥ β, то решениезадачи с начальным условием не единственно, а если γ < â ≤ α, торешение задачи с начальным условием существует не при всех начальных данных.– 116 –3.4 Предельный переход при стремлении к нулю величинотклонения аргумента.С помощью леммы 1.8 главы 1 исследуется дифференциальноразностное уравнение опережающего типа в котором присутствуюткак члены с опережением аргумента, так и члены с запаздыванием:2utt (t) = −A u(t) +NX[ak u(t + hk ) + ck Au(t + hk )]−k=1γ0 u(t),t > 0.(3.4.1)Ставится вопрос о предельном поведении решений рассматриваемогоДРУ при (h1 , ..., hN ) → (0, ..., 0).Как установлено выше в теореме 3.2, уравнение (3.4.1) допускает корректную постановку задачи с начальными данными, в которой ищется в пространстве Соболева с экспненциальным весом2W2,γ((−h, +∞), A2 ), а начальные данные φ ∈ W23 ([−h, 0], A3 ) длярешения задаются на промежетке запаздывания [−h, 0] (здесь h =− min{h1 , ..., hN } > 0):u(t) = φ(t),t ∈ [−h, 0].(3.4.2)Решением задачи (3.4.1)–(3.4.2) называется функция u∈2W2,γ(−h, +∞), удовлетворяющая уравнению (3.4.1) почти всюду и на-чальному условию (3.4.2) тождественно.Предположим, что при некотором h0 > 0 на отрезке [−h0 , 0] задана некоторая функция φ0 ∈ W23 ([−h0 , 0], ).
Тогда при произвольных (h1 , ..., hN ) ∈ RN таких, что hj ∈ [−h0 , h0 ] при всех j ∈{1, ..., N }, рассматривается задача (3.4.1) – (3.4.2) с начальным условием φh = φ0 |[−h,0] . В предположении, что при всех (h1 , ..., hN ) ∈(−h0 , h0 )N выполняются условия теоремы 3.2, исследуется сходимость– 117 –при (h1 , ..., hN ) → (0, ..., 0) семейства решений указанных задач (3.4.1)– (3.4.2). В доказательстве теоремы 3.2 установлено (см.
(2.1.16)), чтозадача (3.4.1)–(3.4.2) эквивалентна уравнению(I − Kγ,h )z = Fγ ,(3.4.3)для неизвестной функции z ∈ L2 (R+ , H 1 ), гдеFγ (t) = f (t)e−γt + (Lγ g − γ 2 g −∂2∂g−2γg)|R+ ,∂t2∂tI – тождественный оператор в пространстве H = L2 (R+ , H 1 ),функция g определена равенством (см. (3.1.14)) и оператор Kγ,h в пространстве L2 (R+ , H 1 ) определяется равенством (см.(3.2.9)).Kγ,h Z(t) =NX[eγhk ak Shk (Vγ Z)(t) + ck eγhk ASτ (Vγ Z)(t)] − γ0 Vγ Z.k=1(3.4.4)Лемма 3.11. Семейство операторов Sh , h ∈ R, сходится в сильной операторной топологии пространства B(L2 (R+ , H 1 )) к оператору I при h → 0.Утверждение следует из теоремы о непрерывности в среднем функции из пространства L2 (R+ , H 1 )) и непрерывности интеграла Лебега.Следствие 3.9.
Семейство операторов Kγ,h , h ∈ RN , сходится всильной операторной топологии пространства B(L2 (R+ , H 1 )) к опеNPратору Kγ,o ≡(ak I + ck A) при (h1 , .., hN ) → (0, ..., 0).k=1Напомним, что при каждом γ > 0 и для любых h ∈ RN по начальным данным задачи (2.1.1) – (2.1.3) равенством (1.1.10) определяетсяфункция Fγ,h .Лемма 3.12. Пусть φ0 ∈ W23 ([−h0 , 0], A3 ).
Тогда если f ∈L2,γ (R+ , H 1 ) при некотором γ>– 118 –0, то существует Fγ,o∈L2 (R+ , H 1 ) такое, чтоlim(h,τ )→(0,0)kFγ,h,τ − Fγ,o kL2 (R+ ,H 1 ).В силу равенства (1.1.10)∂∂2Fγ,h,τ (t) = fγ (t) − γ g(t) − 2γ g(t) − 2 g(t) − A2 g+∂t∂t2NX[ak eγhk Shk g(t) + ck eγhk Shk A]g(t),t ∈ R+ ,k=1где g(t) = φ0 (t) при t ∈ [−h0 , 0] иg(t) = e−A2 t22[cos(At)φ0 (−0) + A−1 sin(At)(φ00 (−0) − γφ0 (−0))]при t > 0. Поэтому в силу леммы 3.12 справедливо равенствоlim(h,τ )→(0,0)kFγ,h − Fγ,o kL2 (R+ ,H 1 ) = 0,гдеNFγ,oX∂2∂2[ak I + ck A])g.= fγ − γ g(t) − 2γ g(t) − 2 g(t) + (−A +∂t∂t2k=1Напомним, что достаточное условие корректной разрешимости задачи (2.1.1) – (2.1.3) определяется функцией (см. (2.1.1))ω(γ),γ > 0.Пусть φ0 ∈ W23 ([−h0 , 0], A3 )), f ∈ L2,γ0 (R+ , H 1 ) и при произвольных h ∈ (−h0 , h0 )N и при γ ∈ (α, β) выполнено условие ω(γ) < 1теоремы 3.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
