Диссертация (1155102), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Обозначим через uh единственное решение задачи (2.1.1)2– (2.1.3) из пространства W2,γ((−h, +∞), A2 ), а через uo – решениезадачи Коши для операторного дифференциального уравнения2utt (t) = (−A − γ0 I +NX(ak I + ck A))u(t) + f (t),k=1– 119 –t > 0,(3.4.5)u(+0) = φ0 (−0), ut (+0) = φ00 (−0).(3.4.6)2(R+ , A2 ) является решением заЛемма 3.13 Функция uo ∈ W2,γдачи Коши для операторного дифференциального уравнения (3.4.5)(3.4.6) тогда и только тогда, когда существует функция Z0 ∈L2 (R+ , H 1 ) является решением уравнения(I − Kγ,o )Z = Fγ,o .При этом u0 = eγt [g + Vγ Z0 ].Теорема 3.4. Пусть существует такое γ∗ > a, что ω(γ∗ ) < 1.
Тогда существует такое > 0, что ω(γ) ≤ δ < 1 для любых h ∈ O (0)в RN и γ ∈ O (γ0 ). При этом для любого γ ∈ O (γ0 ) выполняетсяравенство:2 ((0,+∞),A2 ) = 0.lim kuh (t)|R+ − uo (t)kW2,γ(h)→(0)Действительно, из непрерывности функции ω в точке (γ0 , 0) следуетсуществование таких δ = 21 (1 + ω(γ0 )) ∈ (0, 1) и > 0, о которых говорится в утверждении теоремы. Поэтому для любого γ ∈ O (γ0 ) условиеkKγ,h,τ k ≤ δ < 1 выполняется при всех любого h такого, что khkRN <. Здесь оператор Kγ,h при произвольных γ > 0 и h : khkRN < определен на произвольном элементе Z(t) ∈ L2 (R+ , H 1 ) равенством(3.4.4)Kγ,h Z(t) =NX[eγhk ak Shk (Vγ Z)(t) + ck eγhk ASτ (Vγ Z)(t)] − γ0 Vγ Z(t).k=1Поэтому выполняется первое условие леммы 1.8.
Второе условиелеммы 1.8 следует из следствия 3.5. Следовательно, для любого v ∈L2 (R+ ) выполняетя равенствоlim(h,τ )→(0,0)k[(I − Kγ,h )−1 − (I − Kγ,o )−1 ]vkL2 (R+ ,H 1 ) = 0.– 120 –Тогда утверждение теоремы 3.4 следует из леммы 1.8, леммы 3.12 иТеоремы 3.1 об эквивалентности задачи (3.4.1)–(3.4.2) и задачи (3.4.3).Действительно, в силу теоремы 3.2 решение задачи (2.2.3) при произвольных γ ∈ O (γ0 ) и h ∈ O (0) имеет видZ = (I − Kγ,h )−1 Fγ,hа в силу леммы 3.3, 3.5 и 3.1 об эквивалентности задач (3.1.1) – (3.1.3)и (3.2.8) задача (3.3.1) – (3.3.2) имеет единственное решениеuh = eγt [g + Vγ ((I − Kγ,h )−1 Fγ,h )].Фиксируем произвольное γ ∈ O (γ0 ) и произвольное начальное условие φ0 ∈ W23 ([−h0 , 0], A3 ).В силу леммы 3.12 справедливо равенствоlim kFγ,h − Fγ,o kL2 (R+ ,H 1 ) = 0,h→0гдеNFγ,oX∂(ak I + ck A)g.= fγ − γg − g +∂tk=1В силу леммы 1.8lim k((I − Kγ,h )−1 − (I − Kγ,o )−1 )Fγ,o kL2 (R+ ,H 1 ) .h)→(0А поскольку оператор Vγ не зависит от параметров h, то2 (R ,A2 ) = 0,lim kuh |R+ − uo kW2,γ+h→0гдеuo (t) = eγt [g(t) + Vγ ((I − Kγ,o )−1 )Fγ,o )(t)],t ≥ 0,– решение задачи Коши (2.2.5) для операторного дифференциальногоуравнения.– 121 –4.
Заключение.Вдиссертациипроведеноисследованиелинейныхдифференциально-разностных уравнений первого и второго порядков опережающего типа для неизвестной функции со значениямив гильбертовом пространстве.В первых двух главах изучаются дифференциально-разностныеуравнения для комплекснозначных неизвестных функций, а в третьейглаве для эволюционного уравнения гиперболического типа с опережением и запаздыванием. Для таких дифференциально-разностныхуравнений сформулированы постановки задачи с начальными условиями, в которых дифференциально-разностное уравнение дополняетсязаданием неизвестной функции на промежутке запаздывани временного аргумента или в точке в случае отсутствия запаздывания.Получены достаточные и необходимые условия корректной разрешимости задачи с начальными условиями для дифференциальноразностных уравнений первого и второго порядка.
А именно, указанашкала пространств Соболева с экспоненциальным весом, в которойзадача с начальным условием имеет единственное решение, котороезависит непрерывно по норме указанного пространства от начальныхусловий и неоднородного слагаемого уравнения.Определены эффекты, связанные с нарушением необходимых условий корректной разрешимости в весовых пространствах Соболева –a) нарушение единственности решения при расширении весовогопространства и нарушении существования решения при его сужении;b) изменение расположения корней характеристического квазимногочлена дифференциально-разностного оператора при увеличении коэффициентов при слагаемых с отконением аргументов;с) изменение размерности пространства начальных данных задачис начальными условиями для однородного ДРУ с опережением без– 122 –запаздывания при увеличении коэффициентов при слагаемых с отконением аргументов.Установлена сходимость единственного решения задачи с начальными условиями для ДРУ из весового пространсва Соболева к решениюОДУ при стремлении к нулю величин отклонений аргументов.Доказана эквивалентность ДРУ с опережением без запаздывания ввесовом пространстве Соболева и ОДУ.– 123 –Список литературы[1] A.
Акбари Фаллахи, A. Йаакбариех, В.Ж. Сакбаев. Корректность задачи с начальными условиями для гиперболическихдифференциально-разностных уравнений со сдвигами временного аргумента. Дифференциальные уравнения, 2016. Т 52, № 3,С. 352-365.[2] A. Акбари Фаллахи. О стремлении к нулю величины отклоненияаргумента в дифференциально-разностных уравнениях с опережением.ТРУДЫ МФТИ, 2016. Т. 8, № 1, С. 109-114.[3] А.
Акбари Фаллахи. Дифференциально-разностных уравненийвторого порядка с опережением в весовых пространствах Соболева. ТРУДЫ МФТИ, 2016. Т. 1, № 1, С. 109-120.[4] В.И. Богачев, О.Г. Смолянов, Действительный и йунециональный анализ, М. 2009.[5] М.А. Воронцов, Ю.Д.
Думаревский, Д.В. Пруидзе, В.И. Шмальгаузен. Изв. АН СССР. Физика. 1988. Т. 52, № 2. С. 374-376.[6] В. В. Власов, Дж. Ву, Г. Р. Кабирова, Корректная разрешимость и спектральные свойства абстрактных гиперболическихуравнений с последействием, СМФН, 2010, том 35, 44–59.[7] В.В. Власов, В.Ж. Сакбаев. О корректной разрешимости в шкалепространств Соболева некоторых дифференциально-разностныхуравнений. Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 9.
С.1194-1202.[8] В.В. Власов, В.Ж. Сакбаев. О корректной разрешимости векторных дифференциально-разностных уравнений в пространствахСоболева. Математические заметки. Т. 68, № 6. С. 939-942.[9] В.В. Власов, В.Ж. Сакбаев. О разрешимости одного классафункционально-дифференциальных уравнений с опережающимаргументом в гильбертовом пространстве. Некоторые проблемыфундаметнальной и прикладной математики. М.: МФТИ. 1997.С. 72-823.– 124 –[10] В.В.Власов,Д.А.Медведев.Функциональнодифференциальные уравнения и связанные с ними вопросыспектральной теории. Современная математика.
Фундаментальные направления. 2008. Т. 30,С. 3-173.[11] В.В. Власов, К.И. Шматов. Корректная разрешимость уравнений гиперболического типа с последействием в гильбертовом пространстов.труды математического института им.В.А.Стеклова, 2003. т.243, с. 127-137.[12] Д.А. Декерт, Д. Дюр, Н. Фона, Уравнения с запаздывающимаргументом типа Уилера–Фейнмана, СМФН, 2013, том 47, 46–59.[13] А.М. Зверкин, Г.А. Каменский, С.Б. Норкин, Л.Э. Эльсгольц.Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом.1962. Т. 17. УМН. № 2ю С. 77-164.[14] A.
Йаакбариех. О полугруппах, порождаемых задачей Коши длягиперболических дифференциально-разностных уравнений с отклонениями пространственных переменных. // ТРУДЫ МФТИ,2014. Т. 6, № 2, С. 38-43.[15] A. Йаакбариех, В.Ж. Сакбаев. Корректность задачи с начальными условиями для параболических дифференциальноразностных уравнений со сдвигами временного аргумента. Известия вузов, 2015. № 4, С. 17-25.[16] A. Йаакбариех, В.Ж. Сакбаев. Представление формулами Фейнмана полугрупп, порожденных параболическимидифференциально-разностными операторами.ТРУДЫ МФТИ,2012. Т. 4, № 4, С.
113-119.[17] А. М. Селицкий, А. Л. Скубачевский. “Вторая краевая задачадля параболического дифференциально-разностного уравнения”,Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 26, Изд-во Моск. ун-та, М., 2007,324–347.[18] Л. В. Бородулина, Л. Е. Россовский. Разрешимость эллиптических функционально-дифференциальных уравнений со сжатиемаргументов в весовых пространствах. Тр. сем. им.
И. Г. Петровского, 26 (2007), 39–57.– 125 –[19] Г.А. Каменский, А.Л. Субачевский. Линейные краевые задачидля дифференциально-разностных уравнений. М.: Изд. МАИ.1992.[20] Л.Д. Кудрявцев. О лагранжевой асимптотике решений неоднородных систем обыкновенных дифференциальных уравненийМатем. сб., 2006, том 197, № 9, С. 91–102.[21] Ж.Л. Лионс, Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи иих приложения: Пер. с фр. М.мир, 1971.[22] А.Б. Муравник. О задаче Коши для некоторых неоднородныхдифференциально-разностных параболических уравнений.
Математические заметки. 2003. T. 74. № 4. C. 538-548.[23] А.Б. Муравник. Асимптотические свойства решений задачиДирихле в полуплоскости для некоторых дифференциальноразностных эллиптических уравнений. Матем. заметки, 2016. Т.100б № 4. С. 566–576.[24] А.Д. Мышкис, Л.Э. Эльсгольц. Состояние и проблемы теориидифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.УМН. 1967. Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
