Диссертация (1155102), страница 14
Текст из файла (страница 14)
также [11]). Для решения задачи (3.1.1)– (3.1.3) нампотребуется решить эквивалентную ей задачу (3.1.16)–(3.1.18) в таком функциональном пространстве функций на полуоси R+ , функциииз которого имеют следы из пространства H 3/2 и следы производных из пространства H 1/2 . Этим пространством является пространство W22 (R+ , A2 ). Так как оператор Vγ в силу леммы 2.13 повышает "гладкость"функции на единицу, то для нахождения решения задачи (3.1.1)– (3.1.3) в пространстве W22 ((h, +∞), A2 ) мы будем рассматривать оператор Vγ в пространстве L2 (R+ , H 1 ), что определяет дальнейший выбор пространств и операторов для решения задачи– 103 –(3.1.16)–(3.1.18) и выбор β = 1 в леммах 3.4 и 3.5. Обозначим через||| · ||| и ||| · |||1 нормы в пространстве ограниченных линейных операторов, действующих в гильбертовых пространствах L2 ((0, +∞), H ) иL2 ((0, +∞), H 1 ) соответственно.– 104 –3.2.
Достаточные условия корректной разрешимости.Следствие 3.3. Операторы Vγ и AVγ как преобразования пространства L2 ((0, +∞), H 1 ) допускают оценки|||Vγ |||1 ≤ C0 (γ) =1γ 2 + α02(3.2.1)и1.(3.2.2)γДействительно, для любого z ∈ L2 ((0, +∞), H 1 ) справедлива це|||AVγ |||1 ≤ C1 (γ) =почка равенств:kVγ zkL2 ((0,+∞),H 1 ) = kAVγ zkL2 ((0,+∞),H ) = kVγ AzkL2 ((0,+∞),H ) .Тогда в силу леммы 3.6kVγ zkL2 ((0,+∞),H 1 ) ≤ |||Vγ |||kAzkL2 ((0,+∞),H ) = |||Vγ |||kzkL2 ((0,+∞),H 1 ) .Следовательно,|||Vγ |||1 ≤ |||Vγ ||| ≤γ21.+ α02Аналогично, для любого z ∈ L2 ((0, +∞), H 1 ) справедлива цепочкаравенств:kAVγ zkL2 ((0,+∞),H 1 ) = kA2 Vγ zkL2 ((0,+∞),H ) = kAVγ AzkL2 ((0,+∞),H ) .Тогда в силу леммы 3.6kAVγ zkL2 ((0,+∞),H 1 ) ≤ |||AVγ |||kAzkL2 ((0,+∞),H ) = |||AVγ |||kzkL2 ((0,+∞),H 1 ) .Следовательно,|||AVγ |||1 ≤ |||AVγ ||| ≤1.γСледствие 3.4.
Оператор Vγ является ограниченным операторомиз пространства L2 ((0, +∞), H 1 ) в пространство L2 ((0, +∞), H 1 ), а– 105 –также ограниченным оператором из пространства L2 ((0, +∞), H 1 ) впространство L2 (R+ , A2 ).Действительно, если Z ∈ L2 (R+ , H 1 ), то справедливы равенстваkA2 Vγ ZkL2 (R+ ,H ) = kAVγ AZkL2 (R+ ,H ) ≤ |||AVγ |||kZkL2 (R+ ,H 1 ) .Таким образом,kVγ ZkL2 (R+ ,H 2 ) ≤1kZkL2 (R+ ,H 1 ) .γЛемма 3.8. Если Z ∈ L2 (R+ , H 1 ), то для функции w = Vγ Zсправедливы следующие равенстваZ t∂w(t, x) =cos(A(t − s))e−γ(t−s) Z(x, s)ds − γw(t, x),∂t0(3.2.3)∂ 2w∂w22(t,x)=Z(x,t)−Aw(t,x)−γw(t,x)−2γ(t, x).(3.2.4)∂t2∂tУтверждение леммы 3.8 проверяется непосредственно с учетом тогоуже доказанного обстоятельства, что все что все слагаемые в (3.2.3) и(3.2.4) являются элементами пространства L2 (R+ , H 1 ).Лемма 3.9.
Если w(t, x) ∈ W22 (R+ , A2 ) удовлетворяет равенству(3.2.4) с некоторой функцией Z ∈ L2 (R+ , H 1 ) и начальному условию(3.1.17), то тогда выполняется равенство (3.1.20), при этом существуют число Cγ > 0 такое, чтоkwkW22 (R+ ,A2 ) ≤ CkZkL2 (R+ ,H 1 ) .(3.2.5)Наоборот, если Z ∈ L2 (R+ , H 1 ) и функция w определена равенством(3.1.20), то w ∈ W22 (R+ , A2 ) и справедливы равенство (3.2.4) и оценка(3.2.5).Доказательство. Пусть Z ∈ L2 (R+ , H 1 ) и согласно (3.1.20) w =(Vγ Z)(t, x).
Тогда w удовлетворяет в силу леммы 3.8 равенству (3.2.4)– 106 –и справедливо утверждение леммы 3.6. Следовательно, согласно следствию 3.4 тогдаkA2 w(t, x)kL2 (R+ ,H ) ≤ C1 kZkL2 (R+ ,H 1 ) .В силу леммы 3.8d2 w(t, x) = Z(x, t) − (γ 2 + A2 )w(t, x) − 2γMγ Z(x, t),2dtпоэтомуd2 wkL (R ,H ) ≤ C2 kZkL2 (R+ ,H 1 ) ,dt2 2 +следовательно, получаемkkw(t, x)kW22 (R+ ,H 2 ) ≤ CkZkL2 (R+ ,H 1 ) .Пусть функции w ∈ W22 (R+ , A2 ) и g ∈ L2 (R+ , H 1 ) удовлетворяютравенствуd2 wdw22+(γ+A)w+2γ= g.(3.2.6)dt2dtТогда функция Vγ (g), как уже доказано выше в лемме 3.8, являетсярешением волнового уравнения (3.2.6) с нулевым начальным положением и нулевой начальной скоростью. Докажем, что волновое уравнение (3.2.6) имеет единственное решение.
Действительно, если функцияw ∈ W22 (R+ , A2 ) является решением однородного уравнения (3.2.6), тотогда следующая функцияE(t) = ((A2 + γ 2 I)w(t), w(t)) + (w0 (t),w0 (t)), t ∈ R+ ,(3.2.7)является неубывающей на полуоси R+ .
Действительно, если функцияw ∈ W22 (R+ , A2 ) является решением однородного уравнения (3.2.6), тотогдаdd2 wdw0E(t) = (w (t), 2 + (γ 2 + A2 )w(t)) = −2γk (t)k2H ≤ 0dtdtdt– 107 –в силу уравнения (3.2.6).А поскольку в силу условия (3.1.17), E(0) = 0, то E(t) = 0 ∀ t ≥ 0и, следовательно, решение однородного уравнения (3.2.6) может бытьтолько тривиальным. Следовательно, если функция w ∈ W22 (R+ , A2 )является решением равнения (3.2.6) с функцией Z ∈ L2 (R+ , H 1 ), тотогда функция w удовлетворяет равенству (3.1.20). При этом, как ужедоказано выше, функции g и w удовлетворяют оценке (3.2.5). Лемма3.9 доказана.Следствие 3.5.
Если Z ∈ L2 ((0, +∞), H 1 ) и w = Vγ Z, тоlim kw(t)kH 3/2 = 0,t→+0и0lim kwt (t)kH 1/2 = 0.Обозначим черезt→+02W2,0 (R+ , A2 )2подпространство функций в про-странстве W22 (R+ , A ), удовлетворяющих однородным начальнымусловиям (3.1.17). Определим в пространстве L2 ((0, +∞), H ) для всехh ∈ R линейные операторы сдвигаv(t + h, x)Sh v(t, x) =0if t + h > 0,if t + h ≤ 0.Очевидно, что норма оператора Sh как отображения протранстваL2 ((0, +∞), H ) в себя не превосходит единицы при произвольном h ∈R.Теорема 3.1.
Пусть ϕ ∈ W23 ([−h, 0], A3 ) и при некотором γ ≥ 0выполняется условие f ∈ L2 (R+ , H 1 ). Тогда1. если функция Z ∈ L2 (R+ , H 1 ) является решением уравненияZ(t) − Kγ Z(t) = Fγ (t),t ∈ R+ ,(3.2.8)гдеKγ Z(t) =nX[ak eγhk Shk + ck eγhk AShk ]Vγ Z(t) − γ0 Vγ Z(t),k=1– 108 –(3.2.9)то функция w = Vγ Z удовлетворяет условию w ∈ W22 (R+ , A2 ) иявляется решением задачи Коши (3.1.16)–(3.1.17).2. если функция w удовлетворяет условию w ∈ W22 (R+ , A2 ) иявляется решением задачи Коши (3.1.16)–(3.1.17), то существуетэлемент Z ∈ L2 (R+ , H 1 ), который является решением уравнения(3.2.8)–(3.2.9) и такой, что w = Vγ Z.Из предположений теоремы следует, что функция Fγ , определяемяпо функциям f и ϕ посредством соотношений (), принадлежит пространству L2 (R+ , H 1 ).1.
Пусть функция Z ∈ L2 (R+ , H 1 ) является решением уравнения(3.2.8)–(3.2.9). Тогда в соответствии с леммой 3.9 элемент w = Vγ Zпринадлежит пространству W22 (R+ , A2 ), удовлетворяет (3.2.4) и, в силу следствия 3.5, начальным условиям (3.1.17). А поскольку в правойчасти равенства (3.2.4) элемент Z может быть выражен из равенства(3.2.8) через элемент w = Vγ Z, то из того, что функция w удовлетворяет равенству (3.2.4) следует, что она удовлетворяет и равенству(3.1.16).2. Пусть функция w принадлежит пространству W22 (R+ , A2 ) и является решением задачи Коши (3.1.16)–(3.1.17). Тогда функция w ∈W22 (R+ , A2 ) удовлетворяет равенству (3.2.4) с элементом Z в правойчасти, определяемым равенствомZw = Fγ +nX[ak eγhk Shk w + ck eγhk AShk w] − γ0 Iw.k=1Поскольку Fγ ∈ L2 (R+ , H 1 ) по предположению теоремы, аnXck Shk w ∈ L2 (R+ , H 1 )k=1поскольку w ∈ W22 (R+ , A2 ), то Zw ∈ L2 (R+ , H 1 ).
А поскольку функция w удовлетворяет начальному условию (3.1.17), то из леммы 3.9– 109 –следует, что выполняется равенство w = Vγ Zw . Тогда из равенств(3.2.4) и (3.1.16) для функции w следует, что Zw = Fγ + Kγ Zw , тоесть Zw принадлежит пространству L2 (R+ , H 1 ) и является решениемуравнения (3.2.8)-(3.2.9).Следствие 3.6. Пусть ϕ ∈ W23 ([−h, 0], A3 ) и при некотором γ ≥ 0выполняется условие f ∈ L2 (R+ , H 1 ). Тогда задача (3.1.16)–(3.1.17)эквивалентна задаче (3.2.8)–(3.2.9) в том смысле, что любому решению Z задачи (3.2.8)–(3.2.9) соответствует решение w = Vγ Z задачи(3.1.16)–(3.1.17). Наоборот, любому решению w задачи (3.1.16)–(3.1.17)соответствует решение Zw задачи (3.2.8)–(3.2.9) такое, что Vγ Zw = w.Положимω(γ) =NXeγhk {akk=1111+c}+γ,k0α02 + γ 2γα02 + γ 2γ ∈ R.(3.2.10)Тогда, как следует из следствия 3.3, |||Kγ |||1 ≤ ω(γ).Теорема 3.2 Пусть ω(γ) < 1 на интервале (α, β) ⊂ R.
Пустьфункции ϕ ∈ W23 ([h, 0], A3 ). Тогда если f ∈ L2,γ (R+ , H 1 ) при некотором γ ∈ (α, β), то задача с начальным условием (3.1.1)–(3.1.3) имеет2единственное решение u в пространстве W2,γ((h, +∞), A2 ), причемнорма решения допускает оценку2 ((h,+∞),A2 ) ≤ c[kf kLkukW2,γ+ kϕkW23 ([h,0],A3 ) ],2,γ (R+ ,H )(3.2.11)с постоянной c, не зависящей от выбора f ∈ L2,γ (R+ , H ) , ϕ ∈W22 ([h, 0], A2 ) .Доказательство. Если f ∈ L2,γ (R+ , H 1 ) при некотором γ ∈ (α, β)и ϕ ∈ W23 ((h, 0), A3 ), то согласно леммам 3.4 и 3.5 правая часть Fγуравнения (3.1.16) принадлежит пространству L2 (R+ , H 1 ), причемсправедлива оценка (3.1.19). Так как γ ∈ (α, β), то в силу предположений теоремы выполняется нервенство |||Kγ ||| ≤ ω(γ) < 1.– 110 –В силу теоремы 3.1 и следствия 3.6 задача (3.1.16)–(3.1.17) эквивалентна задаче (3.2.8)–(3.2.9), которая в силу условия |||Kγ |||1 ≤ ω(γ) <1 имеет единственное решение Z = (I − Kγ )−1 Fγ и это решение допускает оценку1kFγ kL2 (R+ ,H 1 ) .1 − ω(γ)Тогда в силу леммы 3.7 задача (3.1.16)–(3.1.17) имеет решениеkZkL2 (R+ ,H ) ≤w = Vγ (I − Kγ )−1 Fγ .В силу теоремы 3.1 решение задачи (3.1.16)–(3.1.17) из простран2(R+ , A2 ) единственно, следовательно, задача (3.1.16)–(3.1.17)ства W2,0имеет единственное решение w = Vγ (I − Kγ )−1 Fγ , причем для негосправедлива оценкаkwkW22 (R+ ,A2 ) ≤ c[kf kL2,γ (R+ ,H 1 ) + kϕkW23 ((h,0),A3 ) ].Как показано в леммах 3.3 и 3.5, задача (3.1.16)–(3.1.17) эквивалентна задаче (3.1.1)–(3.1.3), следовательно, задача (3.1.1)–(3.1.3) имеет единственное решение u, которое допускает оценку (3.2.11).Замечание 3.2.
Ограниченный оператор (I+Kγ )−1 допускает пред∞Pставление сходящимся по операторной норме рядом НейманаKγk ,k=0а норма его допускает оценку|||(I − Kγ )−1 ||| < (1 − ω(γ))−1 .Замечание 3.3. Корректность задачи с опережающим аргументомявляется требованием более ограничительным, чем корректность задачи с запаздывающим аргументом, поскольку в случае отсутствия воператоре (3.1.2) слагаемых с опережением (в случае hN < 0) функцияω должна удовлетворять условию ω(γ) < 1 на некоторой полупрямой(γ0,+∞ ) (см. [9]).– 111 –3.3.
Необходимые условия корректной разрешимости.Параллельно с задачей (3.1.1) – (3.1.3) рассмотрим задачу с начальными условиями для модельного гиперболического дифференциальноразностного уравнения видаutt (t) = Z u(t) + f (t),t > 0,(3.3.1)гдеZ u(t) = −A u(t) +2NX{[ak (u(t + hk ))] + [ck Au(t + hk )]} − γ0 u(t),k=1t ∈ (0, +∞).(3.3.2)В равенстве (3.3.2) A – линейный самосопряженный положительный оператор в гильбертовом пространстве H с плотной областью определения D ⊂ H , имеющий дискретный спектр σ(A) ={sn , n ∈ N)}, причем каждому собственному значению sn соответствует единственная собственная функция vn оператора A; коэффициентыak , ck , hk , k = 1, N - вещественные числа, h = h1 < h2 < ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
