Диссертация (1155102), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Пусть x1 , x2 ∈ R, x1 < x2 . Тогда существует такоеγ̂ > 0 и такое Ĉ > 0, что для любого γ ≥ γ̂ и любого g ∈ L2,γ (R+ )уравнениеx21Zt1ex1 (t−s) z(q)dq + x22x1 − x2Zt1ex2 (t−s) z(q)dq+x1 − x200z(t) = g(t),t > 0,(2.3.19)относительно неизвестной функции z имеет единственное решениеz ∈ L2,γ (R+ ), причемkzkL2,γ (R+ ) ≤ ĈkgkL2,γ (R+ ) .Действительно, уравнение (2.3.19) представляет собой операторноеуравнение(I + A1 + A2 )z = g,– 86 –где в силу леммы 2.15 операторы A1 , A2 ∈ B(L2,γ (R+ )) допускаютоценкуkAj kB(L2,γ (R+ ))x2j≤,γ − xjj = 1, 2.Тогда утверждение леммы 2.17 справедливо, если2x222x21+< 1.γ̂ − x1 γ̂ − x2Из леммы 2.17 и равества (2.3.17) следует утверждениеСледствие 2.10.
Пусть b > a2 и пусть x1 , x2 ∈ R, x1 < x2 – дванаименьших корня уравнения (2.3.10). Тогда существует такое γ̂ > 0 и2такое Ĉ > 0, что для любого γ ≥ γ̂ и любого u ∈ W2,γ(R+ ) существуютединственные функция z ∈ L2,γ (R+ ) и константы c1 , c2 ∈ C такие, чтофункция u представима в виде (2.3.14), причем2 (R ) .|c1 | + |c2 | + kzkL2,γ (R+ ) ≤ ĈkukW2,γ+2(R+ ), то положим g = u00 , тогда g ∈Действилельно, если u ∈ W2,γL2,γ (R+ ) и2 (R ) ≤ kukW 2 (R ) .kgkW2,γ++2,γТогда применяя к функции g лемму 2.17 получаем утверждениеследствия 2.10.
Поскольку x1 , x2 – корни уравнения (2.3.4), то с учетом равенств (2.3.16)–(2.3.18) и следствия 2.10 уравнение (2.3.1) эквивалентно уравненнию1z(t) = bx1 − x2Zt+h(ex1 (t+h−q) −ex2 (t+h−q) )z(q)dq +f (t),tа начальные условия (2.3.4) – системе уравненийϕ = c1 + c2 ;ψ = x1 c1 + x2 c2 .– 87 –t > 0, (2.3.20)которая имеет единственное решение.
Поэтому задача (2.3.1)– (2.3.2)–(2.3.3) эквивалентна операторному уравнениюz − Bz = f,(2.3.21)гдеBz(t) = b1x1 − x2Zt+h(ex1 (t+h−q) − ex2 (t+h−q) )z(q)dq,t > 0.tСледовательно,1Bz(t) = bx1 − x2Zh(ex1 (h−q) − ex2 (h−q) )z(q + t)dq,t > 0.0При этом, как и в доказательстве леммы 2.16,F (Bz)γ (ξ) =bex2 hex1 h(γ−x2 +iξ)h((1 − e)−(1 − e(γ−x1 +iξ)h ))ẑ(ξ).x2 − x1 γ − x2 + iξγ − x1 + iξ(2.3.22)Заметим, что в выражении (2.3.22) от параметра γ зависят тольковеличины x1 , x2 .
Поскольку (см. лемму 2.13) при h → 0 величины x1 , x2√√имеют конечные пределы − b − a2 , b − a2 , то при фиксированном√γ > b − a2 справедлива оценкаe x2 hsup |(1 − e(γ−x2 +iξ)h )| = O(h)ξ∈R γ − x2 + iξпри h → 0. Аналогично,e x1 hsup |(1 − e(γ−x1 +iξ)h )| = O(h),ξ∈R γ − x1 + iξ√при h → 0. Тогда при фиксированном γ > b − a2 имеет место асимптотика при h → 0 нормы оператора kBkB(L2,γ (R+ )) = O(h) при h → 0.– 88 –Следовательно, для каждого γ >√b − a2 существует такое h0 > 0,что при всех h ∈ (0, h0 ) выполняется условиеkBkB(L2,γ (R+ )) < 1.Лемма 2.18. Для каждого γ >√b − a2 существует такое h0 > 0,что если h ∈ (0, h0 ), то при всех f ∈ L2,γ (R+ ) уравнение (2.3.21) имеет единственное решение z ∈ L2,γ (R+ ), причем справедлива оценкаkzkL2,γ (R+ ) ≤ C(γ, h)kf kL2,γ (R+ )с константой C(γ, h), не зависящей от выбора f ∈ L2,γ (R+ ).Из леммы 2.16 – 2.18 следует утверждение:Теорема 2.7.
Пусть b > a2 . Тогда для каждого γ >√b − a2 суще-ствует такое h0 > 0, что если h ∈ (0, h0 ), то при всех f ∈ L2,γ (R+ ),ϕ, ψ ∈ C задача (2.3.1)–(2.3.2)–(2.3.4) имеет единственное решение2u ∈ W2,γ(R+ ), причем справедлива оценка2 (R ) ≤ C(γ, h)[kf kLkukW2,γ+ |ϕ| + |ψ|]2,γ (R+ )+(2.3.23)с константой C(γ, h), не зависящей от выбора f ∈ L2,γ (R+ ).Действительно, в силу леммы 2.13 существует такое h1 > 0, что при√любом h ∈ (0, h1 ) выполняется условие x2 < b − a2 + 1.
Тогда со√гласно следствию (2.3.4) существует такое γ̂1 > b − a2 + 1, что прилюбом γ ≥ γ̂1 задача (2.3.1)– (2.3.2)–(2.3.3) для неизвестной функ2ции u ∈ W2,γ(R+ ) эквивалентна уравнению (2.3.21) в пространствеL2,γ (R+ ).А в силу леммы 2.18 существует такое h0 ∈ (0, h1 ], что при любомh ∈ (0, h0 ) и любом γ ≥ γ̂1 уравнение (2.3.21) при всех f ∈ L2,γ (R+ )имеет единственное решение f ∈ L2,γ (R+ ), удовлетворяющее оценке(2.3.4). Тогда в силу следствия 1.3 функция u, определенная равен– 89 –ством (2.3.14) по функции z = (I − B)−1 f и постояннымc1 =x2 ϕ − ψ,x2 − x1c2 =ψ − x1 ϕ,x2 − x1является в силу равенств (2.3.16)–(2.3.18) решением задачи (2.3.1)–(2.3.3) и справедлива оценка (2.3.23).Замечание 2.5.
Если b > a2 и γ >√b − a2 , то при всех доста-точно малых h > 0 выполняются неравенства x1 < 0 < x2 < γ < x3√поскольку x2 → b − a2 и x3 → ∞ при h → 0. Кроме того, согласнолемме 2.14, для всех невещественных корней λj , j ∈ N, уравнения(2.3.4) выполняется условие Re(λj ) > γ, ибо Re(λj ) → +∞ при h → 0.√Замечание 2.6. Если b > a2 , то при условии γ > b − a2 выполняется неравенствоeγh bb=< 1.h→+0 a2 + γ 2a2 + γ 2lim (ω(γ)) = limh→+0Следовательно, теорема 2.7 определяет такие области изменения переменных (a, b, h, γ) ∈ R4 , при которых задача (2.3.1)–(2.3.3) корректно разрешима и выполняется условие ω(γ) < 1 теоремы 2.5. Отличием теоремы 2.7 от теоремы 2.5 является то, что в теореме 2.5 прификсированных значениях a, b, h определяются значения параметраγ, обеспечивающие выполнение неравенства ω(γ) < 1; а в теореме 2.7при фиксированных значениях a, b определяются значения параметров h, γ, обеспечивающие выполнение неравенства ω(γ) < 1.Кроме того, замечание 2.5 и следствие 2.7 определяют изменениеструктуры множества корней характеристического квазимногочленапри изменении соотношений парамертов a и b.Пусть Ξ – множество комплексных корней характермстическогоуравнения λ2 + a2 = beλh .
Множество Ξ счетно и если|b|γha2 +γ 2 e< 1,то существует пара точек λ1 , λ2 ∈ Ξ таких, что Reλ1 ≤ Reλ2 <inf Re(Ξ\{λ1 , λ2 }).– 90 –Теорема 2.8. Пусть c = 0 и|b|γha2 +γ 2 e< 1. Тогда задача с началь-2ными условиями (2.3.1)-(2.3.3) в пространстве W2,γ(0, +∞) эквива-лентна задаче Коши для ОДУu00 (t) − (λ1 + λ2 )u0 (t) + λ1 λ2 u(t) = f (t), t > 0,с начальными данными (2.3.3).Заметим, что если 0 < −b < a2 , то λ1 = λ̄2 , то есть λ1 , λ2 – паракомплексносопряженных корней (см. следствие 2.7). А если b > a2 , топри достаточно малых значениях h > 0 корни λ1 , λ2 вещественны иλ1 < λ2 (см. замечание 2.5).Теорема 2.9. Пусть выполнено неравенство b > a2 и величинаh > 0 мала настолько, что величина γ∗ = inf(ReΞ) достигается вединственной точке λ1 = x1 ∈ R множества Ξ. Тогда если выполне√ны условия 0 < γ 0 < b − a2 , то существует такое h1 > 0, что привсех h ∈ (0, h1 ) и при любом начальном условииu(+0) = ϕ(2.3.24)2однородное уравнение (2.3.1) имеет в пространстве W2,γ0 (R+ ) един-ственное решениеu(t) = ϕex1 t ,Пусть γ 0 <√t ≥ 0.b − a2 .
Выберем некоторое γ >(2.3.25)√b − a2 . Тогда в силутеоремы 1.3 существует такое h0 > 0 что при всех h ∈ (0, h0 ) задачаоднородное уравнение (2.3.1) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию(2.3.3), причем решение это имеет видu(t) = c1 ex1 t + c2 ex2 t .Поскольку x2 (h) →√b − a2 при h → +0, то существует такое h1 ∈2(0, h0 ), что x2 > γ 0 и поэтому ex2 t ∈/ W2,γ0 (R+ ).– 91 –Поэтому при h ∈ (0, h1 ) однородное уравнение (2.3.1) с начальным2условием (2.3.24) имеет решение (2.3.25) из пространства W2,γ0 (R+ ).2Если предположить, что в пространстве W2,γ0 (R+ ) найдется другое ре-шение однородного уравнения (2.3.1) с начальным условием (2.3.24), то2тогда в пространстве W2,γ(R+ ) однородное уравнение (2.3.1) с началь-ным условием (2.3.3) будет иметь более одного решения, что невозможно в силу теоремы 2.7.– 92 –3.
Гиперболические ДРУ с отклонением временногоаргумента.3.1. Постановка задачи с начальными условиями впространстве Соболева с экспоненциальным весом.В этой главе исследуются вопросы постановки и корректной разрешимости задачи с начальными условиями для модельного гиперболического дифференциально-разностного уравнения видаutt (t, x) = L u(t, x) + f (t, x),t > 0, x ∈ Rd(3.1.1)гдеL u(t, x) = −A u(t, x) +2NX{[ak (u(t + hk , x))]+k=1[ck (Au(t + hk , x))]} − γ0 u(t, x),(t, x) ∈ (0, +∞) × Rd . (3.1.2)Здесь коэффициенты ak , ck , hk , k = 1, N - вещественные числа,h = h1 < h2 < ... < hN , причем h < 0, f – заданная числовая функция на области (0, +∞) × Rd , а u – неизвестная числовая функция,областью определения которой является множество (h, +∞) × Rd .
Вравенстве (3.1.2), оператор A – самосопряженный положительный оператор в пространстве H = L2 (Rd ), действующий из области определения D(A) = W22 (Rd ) ⊂ H в пространство H . Превратим областьопределения D(Aβ ) в гильбертово пространство H β с нормой графика оператора Aβ . Областью определения оператора L , действующегов гильбертовом пространстве L2,γ ((−h, +∞), H ), является гильбертово пространствоD(L ) = L2,γ ((h, +∞), D(A2 ))\2W2,γ((h, +∞), H )(см. [7, 11]), на котором оператор L определен согласно формуле(3.1.2).– 93 –Ставится задача определить функцию u : (h, +∞) × Rd → R, которая в области (0, +∞) × Rd удовлетворяет уравнению (3.1.1) , а намножестве (h, 0] × Rd удовлетворяет начальному условиюu |(h,0]×Rd = ϕ,(3.1.3)где ϕ(t, x) – начальное значение функции u, заданное на множестве(h, 0] × Rd .
При этом предполагается, что функция ϕ удовлетворяетусловию ϕ ∈ W22 ((−h, 0), A2 ).Подчеркнем, что поскольку величина hN может быть положительна, то исследуется задача не только с запаздывающим, но и с опережающим аргументом, корректность которой установить труднее. Болеетого, случай наличия слагаемых с опережением аргумента отличаетсяот случай отсутствия опережения тем, что не для каждого операторавида (3.1.2) найдется такой параметр γ ∈ R, что задача (3.1.1), (3.1.3)2, а если множество значенийкорректно разрешима в пространстве W2,γвесового параметра γ, при котором задача (3.1.1), (3.1.3) корректно разешима, ограничено.Корректная разрешимость начально-краевых задач для эволюционных уравнений с запаздыванием временного аргумента и с отклонениями пространственных переменных является актуальной проблемойтеории дифференциальных уравнений (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
