Диссертация (1155102), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

[24], [28], [10]). Если функция u : (a, b) × Rd при каждом t ∈ (a, b) ⊂ R принимает значениеu(t, .) ∈ Wpl (Rd ) при некоторых p ≥ 1; l ≥ 0, причем отображениеt → u(t, .); t ∈ (a, b) интервала (a, b) в банахово пространство Wpl (Rd )непрерывно на интервале(a, b), то говорят, что функция принадлежитпространству C((a, b), Wpl (Rd )). Пусть H - сепарабельное гильбертовопространство, A - самосопряженный положительный оператор в гильбертовом пространстве действующий в пространстве H = L2 (Rd ), I единичный оператор в пространстве H .– 94 –Через α0 обозначим положительную нижнюю грань оператора A.Превратим область определения Dom(Aβ ) оператора Aβ (β > 0) вгильбертовом пространстве H β , введя на Dom(Aβ ) нормуk · kAβ =k Aβ · k .При каждом β ≥ 0 обозначим через L2,γ ((a, b), H β ), (−∞ ≤ a < b ≤+∞) пространство вектор-функций со значениями в H β , снабженноенормойZ bk f kL2,γ ((a,b),H β ) = ( exp(−2γt) k f (t) k2H β dt)1/2 ,γ≥0(3.1.4)al((a, b), Al ) при каждом l ∈ N обозначим пространствоЧерез W2,γвектор-функций на интервале (a, b) со значениями в H таких, чтоApl u(1−p)l (t) ∈ L2,γ ((a, b), H ),p = 0, 1, l = 1, 2, ..;с нормой(l) 2l ((a,b),Al ) = (k uk u kW2,γkL2,γ ((a,b),H ) +(k Al u k2L2,γ ((a,b),H ) )1/2 ,γ ≥ 0.(3.1.5)Для исследования модельной задачи с начальными условиями (3.1.1),(3.1.3) можно предполагать, что A2 = −∆.Определение 3.1.

Решением задачи Коши (3.1.1)–(3.1.3) будем на2зывать функцию u ∈ W2,γ((h, +∞), A2 ), которая удовлетворяет урав-нению (3.1.1) на интервале (0, +∞) и начальному условию (3.1.3) наинтервале (h, 0). Согласно теореме о следах (см. [21] гл. I, а также [7]),справедливо следующее утверждение:lЛемма 3.1. Если l ∈ N и u ∈ W2,γ((a, b), Al ), то существует1u(a + 0, ·) ∈ D(Al− 2 ) такое, чтоlim ku(t, ·) − u(a + 0, ·)kAl− 21 = 0.t→a+0– 95 –1Наоборот, если u0 ∈ D(Al− 2 ) при некотором l ∈ N, то существуlет функция u ∈ W2,γ((a, b), Al ) такая, чтоlim ku(t, ·) − u0 (·)kAl− 21 = 0.t→a+0При этом справедливо неравенствоl ((a,b),Al ) ,ku0 (·)kAl− 21 ≤ CkukW2,γl((a, b), Al ).в котором постоянная C не зависит от u ∈ W2,γ2Лемма 3.2. Если функция u ∈ W2,γ((h, +∞), A2 ) является реше-нием задачи Коши (3.1.1)–(3.1.3), то предел u(+0) ∈ Hu при t → +0 и предел ut (+0) ∈ H1232функцииее приизводной u0 при t → +00удовлетворяют равенствам u(+0, ·) = ϕ(−0, ·) и ut (+0, ·) = ϕt (−0, ·).В связи с утверждением леммы 3.2 всюду далее мы предполагаем,что задача Коши (3.1.1), (3.1.3) исследуется при следующих предположениях ϕ(−0) ∈ H321, ϕ0t (−0) ∈ H 2 .

Как нетрудно проверить с по-мощью непосредственной подстановки, справедливо следующее утверждение.Схема исследования задачи с начальными условиями для гиперболического дифференциально-разностного уравнения (3.1.1) имеет ту же структуру, что и схема исследований дифференциальноразностного уравнения второго порядка (2.1.1).Однако имеются некоторые особенности совместных оценокдействия неограниченных операторовd2dt2и A2 в пространстве2W2,γ((h, +∞), A2 ), поэтому условия для корректной разрешимости за-дачи с начальным условием (3.1.1)-(3.1.3) жестче, чем для корректнойразрешимости задачи с начаоьным условием (2.1.1)-(2.1.3).2Лемма 3.3.

Функция u ∈ W2,γ((h, +∞), A2 ) является решениемзадачи Коши (3.1.1)–(3.1.3) тогда и только тогда, когда функцияv(t, x) = exp(−γt)u(t, x),– 96 –(t, x) ∈ (h, +∞) × Rdпринадлежит пространству W22 ((h, +∞), A) и является решениемфункционально-дифференциального уравненияvtt (t, x) + 2γvt (t, x) + γ 2 v(t, x) = Lγ v(t, x) + fγ(t, x), t > 0, x ∈ Rd(3.1.6)где fγ = e−γt f иNXLγ v(t, x) = −A v(t, x)+ {[ak eγhk (v(t+hk , x))]+[eγhk ck Av(t+hk , x)]}−2k=1γ0 v(t, x), (t, x) ∈ (0, +∞) × Rd ,(3.1.7)удовлетворяющим начальному условиюv |[h,0]×R = e−γt ϕ, (t, x) ∈ (h, 0) × Rd .(3.1.8)Заметим, что f ∈ L2,γ (R+ , H β ) тогда и только тогда, когда fγ ∈L2 (R+ , H β ), причемkfγ kL2 (R+ ,H β ) = kf kL2,γ (R+ ,H β ) .3Лемма 3.4.

Для любых η0 ∈ H 2 , η1 ∈ H12η ∈ W22 ((0, +∞), A2 ) такая, что η(+0) = η0 ;существует функцияddt η(+0)= η1 , причемсправедлива оценкаkηkW22 ((0,+∞),A2 ) ≤ c[kη0 kH 32 + kη1 kH 12 ].(3.1.9)Доказательство. Положимη(t) = e−t2 A22[cos(At)η0 + A−1 sin(At)η1 ],t ≥ 0.(3.1.10)Тогда функция η удовлетворяет требуемым начальным условиям.При этомkA2 ηk2L2 ((0,+∞),H )Z+∞Z+∞−t2 A2=kA2 η(t)k2H dt ≤ke 2 A2 cos(At)η0 k2H dt+00– 97 –Z+∞−t2 A2ke 2 Asin(At)η1 k2H dt.0Первый из интегралов оценим с помощью спектрального разложеR∞ния самосопряженного оператора A : A = λdE(λ). Напомним,a0что условие η0 ∈ HЛебега-Стилтьесса32эквивалентно сходимости следующего интеграла+∞R|λ|3 d(E(λ)η0 , η0 ).

Посколькуa0e−t2 A22Z+∞ 2 2λ tA2 cos(At)η0 =e− 2 λ2 cos(λt)dE(λ)η0 ,a0тоZ+∞Z+∞ Z+∞−t2 A22 2ke 2 A2 cos(At)η0 k2H dt =e−λ t λ4 cos2 (λt)d(E(λ)η0 , η0 )dt =00a0Z+∞Z+∞2|λ|3 d(E(λ)η0 , η0 )e−ξ cos2 (ξ)dξ = ckη0 k2Ha032.0Аналогично оценивается и второе слагаемое.Z+∞Z+∞−t2 A22ke 2 Asin(At)η1 k2H dt ≤e−ξ sin2 (ξ)dξ)kη1 k2H012.0Таким образом, η ∈ L2 (R+ , A2 ) иkA2 ηkL2 (R+ ,H ) ≤ c[kη0 kH 3/2 + kη1 kH 1/2 ].Для η0 ∈ H 2 , η1 ∈ H функция η обладает обобщенной производной второго порядка по t. Оценка нормы функции2 2d222 − t 2Aη(t)=−Aη(t)+Ae(t2 A2 )[cos(At)η0 + A−1 sin(At)η1 ]−2dt2 A222 −t2tA e[cos(At)η1 − Asin(At)η0 ], t ∈ R+– 98 –в пространстве L2 (R+ , H ), производимая, как и выше, с применением спектральной теоремы, позволяет утверждать существование такойпостоянной c0 > 0, чтоd2k 2 ηkL2 (R+ ,H ) ≤ c0 [kη0 kH 3/2 + kη1 kH 1/2 ];dtЛемма доказана.Следствие 3.1.

Пусть l ≥ 0. Для любых η0 ∈ H32 +l, η1 ∈ H12 +lсуществует функция η ∈ W22+l ((0, +∞), A2+l ) такая, что η(+0) =η0 ;ddt η(+0)= η1 , причем справедлива оценкаkηkW22+l ((0,+∞),A2+l ) ≤ c[kη0 kH 32 +l + kη1 kH 12 +l ].(3.1.11)Следствие 3.2.A) Если ϕ∈W22 (R+ , A2 ), то существует функция η∈W22 ((0, +∞), A2 ) такая, чтоη(+0) = ϕ(−0);dη(+0) = ϕ0t (−0) − γϕ(−0),dtпричем справедлива оценкаkηkW22 ((0,+∞),A2 ) ≤ ckϕkW22 ((h,0),A2 ) .(3.1.12)B) Если ϕ ∈ W22+l (R+ , A2+l ), то существует функция η∈W22 ((0, +∞), A2 ) такая, чтоη(+0) = ϕ(−0);dη(+0) = ϕ0t (−0) − γϕ(−0),dtпричем справедлива оценкаkηkW22+l ((0,+∞),A2+l ) ≤ ckϕkW22+l ((h,0),A2+l ) .(3.1.13)Положим v(t, x) = w(t, x) + g(t, x), где g(t, x) = ϕ(t, x) при (t, x) ∈(h, 0) × Rd иg(t, x) = η(t, x),(t, x) ∈ (0, +∞) × Rd .– 99 –(3.1.14)Тогда если ϕ ∈ W22+β (R+ , A2+β ) при некотором β ≥ 0, то g(t, x) ∈W22+β ((h, +∞), A2+β ), справедлива оценкаkgkW 2+β ((h,+∞),A2+β ) ≤ CkϕkW 2+β ((h,0),A2+β )22(3.1.15)и, как нетрудно проверить с помощью непосредственной подстановки,следующее утверждение.Лемма 3.5.

Пусть выполнено условие fγ ∈ L2 (R+ , H β ), а функцияϕ принадлежит пространству W22+β ((−h, 0), A2+β ) при некоторомβ ≥ 0. Функция v ∈ W22 ((h, +∞), A2 ) является решением задачиКоши (3.1.6), (3.1.8) тогда и только тогда, когда функцияw(t, x) = v(t, x) − g(t, x),(t, x) ∈ (h, +∞) × Rd ,удовлетворяет условию w(t, x) = 0, (t, x) ∈ (h, 0) × Rd , а ее сужениеw|R+ ×Rd принадлежит пространству W22 (R+ , A2 ) и является решением задачи Коши∂2∂w(x,t)+2γw(x, t) + γ 2 w = Lγ w(x, t) + Fγ (x, t),2∂t∂t(t, x) ∈ (0, +∞) × Rd0lim kwt (t, ·)kH 21 = 0, lim kw(t, ·)kH 23 = 0t→+0t→+0(3.1.16)(3.1.17)где функцияFγ = (fγ − γ 2 g − 2γ∂2∂g + Lγ g − 2 g)|R+ ×Rd∂t∂t(3.1.18)принадлежит пространству L2 (R+ , H β ) и допускает оценкуkFγ kL2 (R+ ,H β ) ≤ C(kϕkW 2+β ((h,0),A2+β ) + kf kL2,γ (R+ ,H β ) ).2(3.1.19)Доказательство.

Пусть функция g определяется условиями(3.1.10) и (3.1.14). Пусть функция v является решением задачи (3.1.6) –– 100 –(3.1.8), а функция w определяется равенством w = v − g. Тогда равенства (3.1.16) и (3.1.18) следуют из равенства (3.1.6), равенств (3.1.14) иподстановки v = w + g. Из определения функции g следует равенствоw(t, x) = 0, (t, x) ∈ (h, 0) × Rd , и поэтому в силу леммы 3.1 справедливо равенство (3.1.17). Заметим, что поскольку fγ ∈ L2 ((h, +∞), H β ) иg ∈ W22+β ((h, +∞), A2+β ), то в силу (3.1.18) и следствия 3.2 B) выполняется условие Fγ ∈ L2 ((0, +∞), H β ) и неравенство (3.1.19). Наоборот, если функция w|R+ ×Rd является решением задачи Коши (3.1.16)– (3.1.18), и равна нулю на (h, 0) × Rd , то определенная равенствомv = w + g функция является решением задачи Коши (3.1.6) – (3.1.8).В силу определения функций fγ и g и неравенства (3.1.15) выпоняетсяоценкаkFγ kL2 (R+ ,H ) ≤ c[kf kL2 (R+ ,H ) + kϕkW22 ((h,0),A2 ) ].Лемма 3.5 доказана.2∂Замечание 3.1.

При оценке суммы (Lγ g− ∂t2 g)|R+ в доказательствелеммы 3.5 мы оценили каждое слагаемое по отдельности.0Так как w(+0, ·) = 0, и wt (+0, ·) = 0, то будем искать решениеуравнения (3.1.16) в видеZ tw(t, x) = A−1sin(A(t − s))e−γ(t−s) Z(s, x)ds ≡ (Vγ Z)(t, x),0(t, x) ∈ R+ × Rd ,(3.1.20)где Z ∈ L2 ((0, +∞), H 1 ) – неизвестная функция.Лемма 3.6 Операторы Vγ и AVγ являются ограниченными преобразованиями пространства L2 ((0, +∞), H ), допускающими соответственно оценкиkVγ kB(L2 (R+ ,H ),L2 (R+ ,H )) ≤– 101 –1γ 2 + α02(3.1.21)и1.(3.1.22)γДля оценки нормы оператора Vγ как оператора из L2 ((0, +∞), H )kAVγ kB(L2 (R+ ,H ),L2 (R+ ,H )) ≤в L2 ((0, +∞), H ) используем спектральную теорему и разложение самосопряженного оператора A в интегралZ+∞Au =λdE(λ)u,u ∈ D(A).α0Тогда для любого u ∈ L2 (R+ , D(A)) справедливо равенствоZ+∞Z tVγ u =α0λ−1 sin(λ(t − s))e−γ(t−s) dE(λ)u ds.0Продолжим функцию w(t) = Vγ u(t), t ≥ 0, нулем на полуось(−∞, 0) до функции w̃(t), t ∈ R, преобразование Фурье которойŵ(ξ), ξ ∈ R, имеет вид1ŵ(ξ) = A−1 [((γ + iξ)I − iA)−1 − ((γ + iξ)I + iA)−1 ] û(ξ), ξ ∈ R,2i+∞Rгде û(ξ) = √12πu(t)e−iξt dt – преобразование Фурье функции ũ, яв0ляющейся продолжением функции u нулем на полуось (−∞, 0).

Следовательно, в силу унитарности преобразования Фурье в пространствеL2 (R, H ), для любого u ∈ L2 (R+ , D(A)) справедлива оценка111[−]kukL2 (R+ ,H )kwkL2 (R+ ,H ) =supγ + i(ξ + λ)ξ∈R, λ∈[α0 ,+∞) 2iλ γ + i(ξ − λ)и, следовательно,kwkL2 (R+ ,H ) ≤1kukL2 (R+ ,H ) .γ 2 + α02Поскольку пространство L2 (R+ , D(A)) плотно в пространствеL2 (R+ , H ), тоkVγ kB(L2 (R+ ,H ),L2 (R+ ,H )) ≤– 102 –1.γ 2 + α02Аналогично, для оценки оператора AVγ как оператора изL2 ((0, +∞), H ) в L2 ((0, +∞), H ) получим, что если y(t) = AVγ u(t)при некотором u ∈ L2 (R+ , D(A)), тоŷ(ξ) =1[((γ + iξ)I − iA)−1 − ((γ + iξ)I + iA)−1 ]û(ξ),2iξ ∈ R.Поэтому в силу унитарности преобразования Фурье в пространствеL2 (R, H ), для любого u ∈ L2 (R+ , D(A)) справедлива оценкаkykL2 (R+ ,H ) ≤1kukL2 (R+ ,H ) .γПоскольку пространство L2 (R+ , D(A)) плотно в пространствеL2 (R+ , H ), тоkAVγ kB(L2 (R+ ,H ),L2 (R+ ,H )) ≤Лемма1.γ3.7.

Оператор Mγ , действующий в пространствеL2 (R+ , H ) по правилуZtMγ Z(t) =e−γ(t−s) cos(A(t − s))Z(s)ds,t ≥ 0,(3.1.23)0при γ > 0 допускает оценку ||M||B(L2 (R+ ,H )) ≤ γ1 .Доказательство леммы 3.7 проводится аналогично доказательствулеммы 3.6 (см.

Характеристики

Список файлов диссертации