Диссертация (1155102), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Как установлено выше в теореме 2.2, уравнение (2.2.1) допускает корректную постановку задачи с начальными данными, вкоторой ищется в пространстве Соболева с экспненциальным весом2W2,γ(−h, +∞), а начальные данные φ ∈ W22 ([−h, 0]) для решения за-даются на промежетке запаздывания [−h, 0]:u(t) = φ(t),t ∈ [−h, 0].(2.2.2)Решением задачи (2.2.1)–(2.2.2) называется функция u∈2(−h, +∞), удовлетворяющая уравнению (2.2.1) почти всюду и наW2,γчальному условию (2.2.2) тождественно.Предположим, что при некотором h0 > 0 на отрезке [−h0 , 0] задана некоторая функция φ0 ∈ W22 ([−h0 , 0]).

Тогда при произвольных(h, τ ) ∈ R+ × R+ таких, что h ∈ (h0 , 0), рассматривается задача (2.1.1)– (2.1.3) с начальным условием φh = φ0 |[−h,0] . В предположении, чтопри всех (h, τ ) ∈ (0, h0 ) × (0, h0 ) выполняются условия теоремы 2.2,исследуется сходимость при (h, τ ) → (0, 0) семейства решений указанных задач (2.1.1) – (2.1.3). В доказательстве теоремы 2.1 установлено(см. (2.1.16)), что задача (2.2.1)–(2.2.2) эквивалентна уравнению(I − Kγ,h,τ )z = Fγ ,– 69 –(2.2.3)для неизвестной функции z ∈ L2 (R+ ), гдеFγ (t) = f (t)e−γt∂2∂+ (Lγ g − γ g − 2 g − 2γ g)|R+ ,∂t∂t2I – тождественный оператор в пространстве H = L2 (R+ ) и оператор Kγ,h,τ в пространстве H = L2 (R+ ) определяется равенством (см.0.0.17)Kγ,h,τ Z(t) = be−γh S−h (Vγ Z)(t) + ceγτ Sτ (Vγ Z)(t).(2.2.4)Лемма 2.11. Семейство операторов Sh , h ∈ R, сходится в сильной операторной топологии пространства B(L2 (R+ )) к оператору Iпри h → 0.Утверждение следует из теоремы о непрерывности в среднем функции из пространства L2 (R+ ) и непрерывности интеграла Лебега.2, сходитсяСледствие 2.5.

Семейство операторов Kγ,h,τ , (h, τ ) ∈ R+в сильной операторной топологии пространства B(L2 (R+ )) к оператору Kγ,o ≡ (b + c)I при (h, τ ) → (0, 0).Напомним, что при каждом γ > 0 и для любых h > 0, τ > 0 поначальным данным задачи (2.1.1) – (2.1.3) равенством (1.1.10) определяется функция Fγ,h,τ .Лемма 2.12. Пусть φ0 ∈ W22 ([−h0 , 0]. Тогда если f ∈ L2,γ (R+ ) принекотором γ > 0, то существует Fγ,o ∈ L2 (R+ ) такое, чтоlim(h,τ )→(0,0)kFγ,h,τ − Fγ,o kL2 (R+ ).В силу равенства (1.1.10)∂2∂Fγ,h,τ (t) = fγ (t) − γ g(t) − 2γ g(t) − 2 g(t) + +ag + be−γh g(t − h)+∂t∂t2ceγτ g(t + τ ),– 70 –t ∈ R+ ,где g(t) = φ0 (t) при t ∈ [−h0 , 0] иg(t) = [cos(at)φ0 (−0) + a−1 sin(at)(φ00 (−0) − γφ0 (−0))]e−a 2 t22при t > 0.

Поэтому в силу леммы 2.12 справедливо равенствоlim(h,τ )→(0,0)kFγ,h,τ − Fγ,o kL2 (R+ ) = 0,гдеFγ,o∂∂2= fγ − γ g(t) − 2γ g(t) − 2 g(t) + (−a2 + b + c)g.∂t∂t2Напомним, что достаточное условие корректной разрешимости задачи (2.1.1) – (2.1.3) определяется функцией (см. (2.1.1)). ω(γ), γ > 0.Пусть φ0 ∈ W22 ([−h0 , 0])), f ∈ L2,γ0 (R+ ) и при произвольных (h, τ ) ∈(0, h0 ) × (0, h0 ) и при γ ∈ (α, β) выполнено условие ω(γ) < 1 теоремы2.2. Обозначим через uh,τ единственное решение задачи (2.1.1) – (2.1.3)2(−h, +∞), а через u0 – решение задачи Коши дляиз пространства W2,γобыкновенного дифференциального уравненияutt (t) = (−a2 + b + c)u(t) + f (t),t > 0,u(+0) = φ0 (−0), ut (+0) = φ00 (−0).(2.2.5)(2.2.6)Теорема 2.4. Пусть существует такое γ0 > a, что ω(γ0 ) < 1.Тогда существует такое > 0, что ω(γ) ≤ δ < 1 для любых (h, τ ) ∈O (0, 0) и γ ∈ O (γ0 ).

При этом для любого γ ∈ O (γ0 ) выполняетсяравенство:lim(h,τ )→(0,0)2 (0,+∞) = 0.kuh,τ (t)|R+ − uo (t)kW2,γДействительно, из непрерывности функции ω в точке (γ0 , 0, 0) следует существование таких δ =12 (1– 71 –+ ω(γ0 )) ∈ (0, 1) и > 0,о которых говорится в утверждении теоремы. Поэтому для любогоγ ∈ O (γ0 ) условие kKγ,h,τ k ≤ δ < 1 выполняется при всех любого(h, τ ) ∈ (0, ) × (0, ). Здесь оператор Kγ,h,τ при произвольных γ > a и(h, τ ) ∈ (0, h0 ) × (0, h0 ) определен равенством (2.2.4)Kγ,h,τ Z(t) = be−γh Sh (Vγ Z)(t) + ceγτ Sτ (Vγ Z)(t)∀Z(t) ∈ L2 (R+ ).Поэтому выполняется первое условие леммы 1.8. Второе условиелеммы 1.8 следует из следствия 2.5 Следовательно, для любого v ∈L2 (R+ ) выполняетя равенствоlim(h,τ )→(0,0)k[(I − Kγ,h,τ )−1 − (I − Kγ,o )−1 ]vkL2 (R+ ) = 0.Тогда утверждение теоремы 2.4 следует из леммы 1.8, леммы 2.12 иТеоремы 2.1 об эквивалентности задачи (2.2.1)–(2.2.2) и задачи (2.2.3).Действительно, в силу теоремы 2.2 решение задачи (2.2.3) при произвольных γ ∈ O (γ0 ) и (h, τ ) ∈ (0, ) × (0, ) имеет видZ = (I − Kγ,h,τ )−1 Fγ,h,τа в силу теоремы 2.2 об эквивалентности задач (2.1.1) – (2.1.3) и (2.2.4)задача (2.1.1) – (2.1.3) имеет единственное решениеuh,τ = eγt [g + Vγ ((I − Kγ,h,τ )−1 Fγ,h,τ )].Фиксируем произвольное γ ∈ O (γ0 ) и произвольное начальное условие φ0 ∈ W21 ([−h0 , 0]).В силу леммы 2.12 справедливо равенствоlim(h,τ )→(0,0)kFγ,h,τ − Fγ,o kL2 (R+ ) = 0,гдеFγ,o = fγ − γg −∂g + (−a2 + b + c)g.∂tВ силу леммы 1.8– 72 –lim(h,τ )→(0,0)k((I − Kγ,h,τ )−1 − (I − Kγ,o )−1 )Fγ,o kL2 (R+ ) .А поскольку оператор Vγ не зависит от параметров (h, τ ), тоlim(h,τ )→(0,0)1 (R ) = 0,kuh,τ |R+ − uo kW2,γ+где2uo (t) = eγt [g(t) + ((I − Kγ,o )−1 )Fγ,o )(t)] = e(−a+b+c)tφ0 (−0),t ≥ 0,– решение задачи Коши (2.2.5) для обыкновенного дифференциального уравнения.– 73 –2.3 Дифференциально-разностного уравнения сопережением без запаздывания.В настоящем разделе главы 2 исследуются вопросы постановки икорректной разрешимости задачи с начальными условиями для модельного дифференциально-разностного уравнения второго порядка сопережением без запаздывания, т.е.

для ДРУ видаutt (t) = L u(t) + f (t),t > 0,(2.3.1)где L – разностный оператор, сопоставляющий функции u : R+ ≡[0, +∞) → C функцию L u : R+ → C, определяемую равенствомL u(t) = −a2 u(t) + bu(t + h),t ∈ [0, +∞).(2.3.2)Здесь коэффициенты a, b ∈ R – вещественные числа, h > 0, f –заданная числовая функция на области (0, +∞), а u – неизвестнаячисловая функция, областью определения которой является полуось(0, +∞). Областью определения оператора L , действующего в гильбертовом пространстве L2,γ (0, +∞), является гильбертово простран2(0, +∞), (см.

[7], [11]), на котором оператор L опрество D(L ) = W2,γделен согласно формуле (2.3.2). Ставится задача определить функциюu : (0, +∞) → R, которая в области (0, +∞) удовлетворяет уравнению (2.3.1), у удовлетворяет начальным условиям, которые для ДРУ сопереженинм без запаздывания ставятся в соответствии с замечанием2.3 так: при t → +0 функция u удовлетворяет начальному условию:u(+0) = ϕ,ut (+0) = ψ,(2.3.3)где (ϕ, ψ) ∈ C 2 – начальное значение функции и ее первой производной. Ключевую роль в выборе корректной постановки задачидля дифференциально-разностного уравнения (2.3.1)–(2.3.2) играет– 74 –множество корней характеристического квазимногочлена оператора(2.3.2).λ2 = −a2 + beλh .(2.3.4)Множество Ξ комплексных корней уравнения (2.3.4) является счетным множеством в комплексной плоскости C (см. [10], [13] ), котороесимметрично относительно вещественной оси при условии a, b, h ∈ R.Спецификой опережающего типа дифференциально-разностного оператора (2.3.2) является то, что в любой полуплоскости Re(λ) < γ плоскости C находится не более чем конечное множество точек Ξ.

Поэтомусуществует конечное подмножество точек множества Ξ, на которыхдостигается величина γ∗ = inf(ReΞ).Далее установлено, что в зависимости от коэффициентов уравнения,точнее, в зависимости от расположения корней характеристического квазимногочлена дифференциально-разностного оператора (2.3.2),реализуются различные возможности корректной постановки задачи(2.3.1)–(2.3.2)–(2.3.3) а также возможность однозначной разрешимостизадачи с одним начальным условием (2.3.3) для однородного уравнения (2.3.1), (см. Теарему 2.9 ниже).Свойства множества корней характеристического квазимногочлена.Характеристическое уравнение (2.3.4) эквивалентно следующей системе из двух уравнений для пары вещественных переменных (x, y) ∈R2 :2xy = bexh sin(yh).(2.3.5)x2 − y 2 = −a2 + bexh cos(yh);(2.3.6)Следовательно, из системы (2.3.5)–(2.3.6).

(из уравнения (2.3.4).) следует, что(x2 + a2 − y 2 )2 + 4x2 y 2 = b2 e2hx ;– 75 –(2.3.7)кроме того, для всех корней уравнения (2.3.4) с ненулевой мнимойчастью выполняется равенство2xy= tg(yh).x 2 + a2 − y 2(2.3.8)Из уравнения(2.3.7)следует, чтоp222a + x + y = 4a2 y 2 + b2 e2hx ,(2.3.9)из которого следует, что при достаточно больших значениях переменной |y| вещественные части комплексных корней уравнения (2.3.4) положительны.Лемма 2.12.

Если y 2 > 2|a||y| + |b| (то есть |y| > |a| +p|b| + a2 ),то множество точек, удовлетворяющих уравнению (1.3.6), лежитв полуплоскости x > 0.Действительно, если y 2 > 2|a||y| + |b|, тоa2 + x2 + y 2 > a2 + |b| + 2|a||y| >p4a2 y 2 + b2 ,поэтому уравнение (2.3.9) не может быть выполненно при x ≤ 0.

Излеммы 2.12 следует, что для заданной неявно уравнением (2.3.9) функции x(y), y ∈ O(∞), выполняется асимптотическое равенство1y4x(y) =ln( 2 )(1 + o(1))2hbпри |y| → +∞. Множеством вещественных корней уравнения (2.3.4)является совокупность корней уравненияx2 + a2 = bexh .(2.3.10)Уравнение (2.3.10) не имеет вещественных корней при условии b ≤ 0;в этом случае минимум действительной части множества Ξ достигается на конечном множестве комлекснено-сопряженных корней, в случаеобщего положения – на двух комплексно-сопряженных корнях.– 76 –Если же b > 0, то:1) При условии 0 < b ≤ a2 уравнение (2.3.10) может иметь от одногодо трех вещественных корней, каждый из которых положителен.2) При условии a2 < b уравнение (2.3.10) имеет один отрицительныйкорень x1 и от нуля до двух положительных корней. Исследуем асимптотическое поведение корней уравнения (2.3.10) при условиях b > a2и h → +0.Лемма 2.13. Если b > a2 , то существует такое h0 > 0, что привсех h ∈ (0, h0 ) уравнение (2.3.4) имеет три вещественных корняx1 , x2 , x3 , для которых справедливы неравенства x1 < 0 < x2 < x3 ,√√причем x1 = − b − a2 + o(1) при h → 0, x2 = b − a2 + o(1) приh → 0, и x3 → +∞ при h → +0.Первая часть утверждения леммы 2.13 следует из того, что вершинапараболы u = x2 + a2 лежит ниже графика экспоненты u = behx , апри достаточно малых h > 0 парабола дважды пересекает графикэкспоненты в полуплоскости x > 0.

Асимптотическое поведение приh → +0 точек пересечения графиков параболы и экспоненты следуетиз свойств элементарных функций.Лемма 2.14. Если b > 2a2 , то существует такое h0 > 0, что привсех h ∈ (0, h0 ) все комплексные корни характеристического многочлена (2.3.4)имеют вещественную часть, большую чем максимальный вещественный корень x3 уравнения (2.3.4).Все корни уравнения (2.3.4) лежат на кривойΓ = {x = x(y 2 ),y ∈ R},заданной неявно уравнением (2.3.9), которая состоит из двух связныхкомпонент:pΓ1 = {(x, y) ∈ R : y = a − x ± b2 e2hx − 4x2 a2 ,2222– 77 –x ∈ [x1 , x2 ]}иΓ2 = {(x, y) ∈ R2 : y 2 = a2 − x2 ±pb2 e2hx − 4x2 a2 ,x ≥ x3 }.Все вещественные корни лежат на пересечении кривой Γ с вещественной осью: x1 , x2 ∈ Γ1 , x3 ∈ Γ2 . Кроме того, все корни уравнения(2.3.4) с ненулевой вещественной частью лежат на кривой γ, задаваемой уравнением (2.3.8) и состоящей из счетного множества связныхкомпонент, задаваемых уравнениями:sπmy2− a2 , y ∈ R\{x = y ctg(hy) ±,2hsin (hy)m ∈ Z}.Через γ0 обозначим множество точек плоскости, определяемое уравнениямиsx = y ctg(hy) ±y2− a2 ,2sin (hy)[ ππy ∈ (− , 0) (0, ),hhа через γm , m ∈ N – кривые, определяемые уравнениямиsy2π(m + 1) πm [ πm π(m + 1)2 , y ∈ (−x = y ctg(hy)±−a,−) (,).hhhhsin2 (hy)Все точки пересечения кривой γ с кривой Γ2 лежат, как и самакривая Γ2 , в полуплоскости x ≥ x3 .

Характеристики

Список файлов диссертации