Диссертация (1155102)
Текст из файла
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ»На правах рукописиУДК 517.972Акбари Фаллахи АрезуЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ СОПЕРЕЖЕНИЕМ01.01.02. – Дифференциальные уравнения, динамическиесистемы и оптимальное управлениеДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наук, доцентВ. Ж. СакбаевМосква – 2017СОДЕРЖАНИЕВВЕДЕНИЕ . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Глава 1. ЗАДАЧА С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГОУРАВНЕНИЯ(ДРУ)ПЕРВОГО ПОРЯДКА.1.1. Дифференциально-разностное уравнение с опережениеми запаздыванием..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2. Дифференциально-разностное уравнение с опережениембез запаздывания.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 381.3 Предельный переход при стремлении к нулю отклоненийаргумента. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Глава 2. ЗАДАЧА С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГОУРАВНЕНИЯ(ДРУ)ВТОРОГО ПОРЯДКА.2.1. Дифференциально-разностное уравнение с опережениеми запаздыванием.. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2. Предельный переход при стремлении к нулю величинотклонения аргумента.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.3. Дифференциально-разностного уравнения беззапаздывания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Глава3.ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОТКЛОНЕНИЕМ ВРЕМЕННОГОАРГУМЕНТА.3.1. Постановка задачи с начальными условиями в пространствеСоболева с экспоненциальным весом.. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 933.2. Достаточные условия корректной разрешимости. . . . . . . 1053.3. Необходимые условия корректной разрешимости.. . . . . 1123.4. Предельный переход при стремлении к нулю величинотклонения аргумента. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117ЗАКЛЮЧЕНИЕ.4.1. ЗаключениеЛИТЕРАТУРА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124–2–ВВЕДЕНИЕАктуальность темы исследования.Дифференциально-разностные и функционально- дифференциальные уравнения возникают в ряде задач математической физики и в задачах теории управления (см. работы А.Д. Мышкиса, Л.Э. Эльсгольца[24], Дж. Уиллера, Р. Фейнмана [36], А.Г. Каменского, А.Л. Скубачевского [19]). Весьма актуальным является вопрос о выборе функционального пространства для решения и вопрос о выборе совокупности условий на поведение решения на границе области определения,при которых решение дифференциально-разносного уравнения (далееДРУ) существует, единственно и непрерывно зависит от параметровзадачи и параметров начально-краевых условий (см.[11] , [19]).В первых систематических исследованиях линейных ДРУ с отклонящимся аргументом была предложена классификация ДРУ на запаздывающие, нейтральные и опрежающие.
Важным вопросом, затрагиваемым в работах (см.[10, 13, 19, 16]), является изучение зависимости условий, накладываемых на искомую функцию, удовлетворяющуюДРУ, и позволяющих выделить среди таких функций единственную,от типа ДРУ и параметров задачи. Задачей с начальными условиямидля ДРУ на полуоси называется задача определения такой функциина промежутке, содержащем рассматриваемую полуось, которая удовлетворяет ДРУ почти всюду на рассматриваемой полуоси и, помимотого, удовлетворяет некоторым дополнительным условиям – таким,как:1) функция (и, быть может, некоторые ее производные) имеет заданное предельное значение в конечной граничной точке полуоси,2) функция принимает заданные значения на промежутке, содержа–3–щем конечную граничную точку полуоси и зависящем от параметровотклонения аргументов,3) асимптотическое поведение функции при приближении к бесконечности по полуоси имеет ограничение на рост типа принадлежностивесовому пространству Соболева с экспоненциальным весом.Эти условия, накладываемые на поведение неизвестной функции вокрестности конечной граничной точки полуоси, будем называть начальными.
Условием на решение ДРУ, затрагивающим его поведение на правой границе полупрямой, состоит в принадлежности решения весовому пространству Соболева с экспоненциальным весом (см.[7, 10, 11]). В зависимости от типа рассматриваемого ДРУ начальныеусловия для искомой функции могут быть выбраны выбраны различными способами (см.
[13], [19], [16]) в виде условий 1) или 2).Поиск условий на рост искомой функции, выделяющих единственое решение среди функций, удовлетворяющих дифференциальномуили дифференциально-разностному уравнению, является, начиная сработ А.Н. Тихонова (см. [35]), одной из основных проблем современной теории краевых задач.
Поиск корректной постановки задачи для нелинейного ОДУ с условиями на асимптотику роста решения на границе области определения проведен в работах Л.Д. Кудрявцева.(см. [20]) Применительно к линейным ДРУ запаздывающегои нейтрального типов эффективным средством описания таких условий является условие принадлежности решения к весовому пространству Соболева с экспоненциальным весом (см. [10]).
Корректная разрешимость начально-краевых задач для эволюционных уравнений сзапаздыванием временного аргумента систематически исследована вработах (см. [13], [24], [31], [10]. В работах [8],[7]) исследованы корректная разрешимость и свойства решений задачи с начальными данными для параболического уравнения с отклоняющимся аргументом–4–нейтрального типа, а в статье (см.[11]) исследованы аналогичные вопросы для гиперболических уравнений с отклоняющимся временнымаргументом. В монографии А.Л. Скубачевского (см.
[29]) исследовано нарушение гладкости решений эллиптических дифференциальноразностных уравнений за счет влияния сдвигов пространственного аргумента, выводящих за пределы области или на ее границу (см. такжеобзор [25]). Подобный эффект нарушения гладкости решения параболического дифференциально-разностнаго уравнения исследован в работе (см.[17]). В работе (см. [18]) изучаются свойства эллиптическихдифференциально-разностных операторов со сжатями пространственных аргументов в ограниченных областях, а в работе [23] изучаютсясвойства эллиптических дифференциально-разностных операторов наплоскости.Объект исследования.Диссертационная работа посвящена исследованию задач с начальными условиями для дифференциально-разностных уравнений на полупрямой или на полупространстве (для комплекснозначных функцийи для векторнозначных функций со значениями в гильбертовом пространстве).
Рассматриваются линейные дифференциально-разностныеуравнения на полупрямой для функции одной переменной, связывающие значения ее производной первого (или порядка k) в произвольнойточке t полупрямой со значениями искомой функции (или ее младшихпроизводных) в конечной совокупности точек полупрямой, полученных из точки t с помощью операций сдвига на фиксированную вещественную величину (отклонение аргумента).dku(t) = Au(t) + Bu(t − h) + Cu(t + τ ) = f (t),dtkt > 0.(0.0.1)Здесь τ, h – положительные числа, u : [−h, +∞) → E – искомоеотображение полуоси [−h, +∞) в некоторое гильбертово пространство–5–E, f : [0, +∞) → E – заданное отображение, A, B, C – заданные линейные оператоы в пространстве E (возможно, неограниченные).
Взависимости от знака отклонения аргумента подразделяются, согласно предложенной в работах (см.[13], [24]) на запаздывания (значенияотклонений аргумента отрицательны) и опережения (значения отклонений аргумента положительны). Соответственно, дифференциальноразностные уравнения для функции одной переменной на полуоси подразделяются на ДРУ порядка k и на уравнения запаздывающего, опережающего и опережающе-запаздывающего типов. ДРУ нейтральноготипа называют такие уравнения, которые связывают значения старших производных неизвестной функции в различных точках рассматриваемой полуоси, но такие уравнения в диссертации исследоваться небудут.Цель диссертационной работы.Ставится задача найти набор условий на отображение u:[−h, +∞) → E, при выполнении которых найдется единственное отображение u : [−h, +∞) → E, удовлетворяющии в определенном смысле ДРУ (0.0.1).
Следуя подходу работ В.В. Власова (см. [7, 10, 11])в диссертации рассматриваются отображения u из класса Соболеkва W2,γ([−h, +∞), E) с экспоненциальным весом eγt при некоторомγ ∈ R. Принадлежность отображения к указанному классу Соболева накладывает условия на его гладкость и на его асимптотическоеповедение при t → +∞, то есть накладывает условие на бесконечноудаленной границе области определения искомого отображения. ДляДРУ (0.0.1) в правой δ-полуокрестности граничной точки −h области определения искомого отображения при некотором δ > 0 ставитсяграничное условие видаu|[−h,−h+δ] = ϕ,–6–(0.0.2)где ϕ – заданное отображение [−h, −h + δ] → E.Степень разработанности исследования.Ранее в работах (см.[13],[19]) рассматривалась постановка задачи(0.0.1)–(0.0.2) при δ = h + τ и было выявлено счетное множество условий согласования для разрешимости такой задачи, а в работах (см.[7],[16] ) рассматривалась постановка задачи (0.0.1)–(0.0.2) при δ = h ибыло определено условие на параметри γ веса пространства Соболева,при выполнении которого задача (0.0.1)–(0.0.2) является корректной.Основы теория функционально-дифференциальных уравнений быливо многом сформированы в работах (см.
[13, 24]), в которых былапредложена классификация таких уравнений на уравнения запаздывающего, нейтрального и опережающего типов. Теория функциональнодифференциальных уравнений запаздывающего и нейтрального типовв дальнейшем получила развитие с привлечением методов спектральной теории оператором и функциональных пространств в работах (см.[10], [19], [24], [27]).Функционально-дифференциальные уравнения опережающего типа изучены в значительно меньшей мере, чем функциональнодифференциальные уравнения запаздывающего и нейтрального типов(см. [10], [24]). Во многом это связано с некорректностью постановкизадачи с начальным условием на промежутке отклонения аргумента втаких уравнениях, требующей от начального условия и правой частиуравнения выполнения бесконечного множества условий согласования(см. [19]). Как было показано в работе [15], для корректности постановки задачи с начальными данными следует задать начальные условиялишь на части промежутка отклонения аргумена – на промежутке запаздывания аргумента (−h, 0).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
