Диссертация (1155102), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В работе [15] получены условия на коэффициенты уравнения (0.0.1) и параметры весового пространства Со–7–болева, достаточные для корректной разрешимости задачи с начальными условиями в такой модифицированной постановке. В работе [16]было установлено, что ДРУ опережающего типа допускают корректную постановку задачи с начальными уловиями. В настоящей диссертационной работе, являющейся продолжением исследований [7]–[9] и[16], получены достаточные условия корректной разрешимости задачи (0.0.1)–(0.0.2) – указаны условия на весовую функцию шкалы весовых пространств Соболева, при которых задача (0.0.1)–(0.0.2) имеетединственное решение в весовом пространстве, причем норма решениядопускает оценку через норму неоднородного слагаемого f уравнения(0.0.1) и норму начального условия ϕ из (0.0.2).В работе [16] показано, к каким нарушениям корректности задачи(0.0.1)–(0.0.2) приводит нарушение условия на вес.
В терминах спектраоператора задачи показано, что в случае весовых пространств Соболева со слишком быстро убывающим весом задача (0.0.1)–(0.0.2) имеет впространстве Соболева более одного решения. Наоборот, если весоваяфункция убывает слишком медленно, то в соответствующем пространстве Соболева может не найтись решения задачи (0.0.1)–(0.0.2).В этом полученный результат аналогичен результату работы А.Н.Тихонова (см. [35]), в которой для шкалы функциональных пространств найдена граница корректной разрешимости задачи Коши дляуравнения теплопроводности и установлено нарушение единственности решения задачи Коши в более широких пространствах шкалы. Длядостижения поставленной цели необходимо было решить следующиезадачи:1. Определить условия на коэффициенты дифференциальноразностного оператора и функциональное пространство Соболева сэкспоненциальным весом, достаточные для корректной разрешимостизадачи с начальными условиями для ДРУ первого и второго порядков–8–опережающего типа.2.
В терминах корней характеристического многочлена, соответствующего дифференциально-разностному оператору, определитьусловия на показатель экспоненциального веса пространства Соболева, необходимые для корректной разрешимости задачи с начальнымиусловиями для ДРУ опережающего типа.3. Определить зависимость пространства начальных данных задачис начальными условиями для ДРУ опережающего типа без запаздывания, допускающей корректную разрешимость в пространстве Соболевас экспоненциальным весом, от расположения корней характеристического многочлена.4. Доказать сходимость решений корректных задач с начальнымиусловиями для ДРУ с переменными отклонениями аргумента на величины h (запаздывание) и τ (опережение) к решению задачи Коши дляОДУ при стремлении к нулю параметров отклонения аргумента.Научная новизна:Все полученные в диссертации результаты являются новыми.
Наиболее значимые из них:1.Полученыусловиянакоэффициентыдифференциально-разностного оператора и функциональное пространство Соболевас экспоненциальным весом, достаточные для корректной разрешимости задачи с начальными условиями для ДРУ первого и второгопорядков опережающего типа.2. Определены условия на показатель экспоненциального веса пространства Соболева, выраженные в терминах корней характеристического многочлена, соответствующего дифференциально-разностномуоператору, необходимые для корректной разрешимости задачи с начальными условиями для ДРУ опережающего типа.3. Установлены условия на ДРУ с опережением и на показатель ве–9–са пространства Соболева, при которых задача с начальным условиемдля ДРУ с опережением эквивалентна задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (две задачи называются эквивалентными, если каждое решение одной из них является решением другой и наоборот).4.
Для некоторых специальных постановок задачи с начальнымиусловиями для ДРУ второго порядка опережающего типа без запаздывания установлена зависимость размерности пространства начальныхданных, при которых задача имеет единственное решение в пространстве Соболева с экспоненциальным весом, от величины коэффициентов при слагаемом с опережающим аргументом.5. Доказана сходимость решений корректных задач с начальнымиусловиями для ДРУ с фиксированной начальной функцией и переменными отклонениями аргумента на величины h (запаздывание) иτ (опережение) к решению задачи Коши для ОДУ при стремлении кнулю параметров отклонения аргумента.Теоретическая и практическая значимость.Результатыдиссертацииразвиваюттеориюлинейныхдифференциально-разностных уравнений и могут быть применены в исследованиях задач оптимального управления.Методы диссертационного исследования.В диссертации используются методы теории линейных дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений, методы спектрального анализа линейных операторов, методы теории однопараметрических полугрупп линейных операторов.На защиту выносятся следующие положения диссертации:1.Полученыусловиянакоэффициентыдифференциально-разностного оператора и функциональное пространство Соболева– 10 –с экспоненциальным весом, достаточные для корректной разрешимости задачи с начальными условиями для ДРУ первого и второгопорядков опережающего типа, а также для ДРУ гиперболическоготипа.2.
Определены условия на показатель экспоненциального веса пространства Соболева, выраженные в терминах корней характеристического многочлена, соответствующего дифференциально-разностномуоператору, необходимые для корректной разрешимости задачи с начальными условиями для ДРУ опережающего типа.3. Установлены условия на ДРУ с опережением и на показатель веса пространства Соболева, при которых задача с начальным условиемдля ДРУ с опережением эквивалентна задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения порядка, зависящего от ДРУ ипоказателя веса.4. Для некоторых специальных постановок задачи с начальнымиусловиями для ДРУ второго порядка опережающего типа без запаздывания установлена зависимость размерности пространства начальныхданных, при которых задача имеет единственное решение в пространстве Соболева с экспоненциальным весом, от величины коэффициентов при слагаемом с опережающим аргументом.5.
Доказана сходимость решений корректных задач с начальнымиусловиями для ДРУ с фиксированной начальной функцией и переменными отклонениями аргумента на величины h (запаздывание) иτ (опережение) к решению задачи Коши для ОДУ при стремлении кнулю параметров отклонения аргумента.Достоверность.полученных результатов обеспечивается строгими математическимидоказательствами. Результаты находятся в русле современных исследований, проводимых другими авторами.– 11 –Апробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные ее части докладывались на научных семинарах:•Насеминаредифференциальнымподифференциальнымуравнениямподифункционально-руководствомпрофессораА.Л. Скубачевского, 17 мая 2016 года (РУДН).• На семинаре по спектральной теории дифференциальных операторов под руководством академика РАН, профессора В.
А. Садовничего,16 ноября 2016 года (МГУ).• На научном семинаре кафедры математического моделированияНИУ "МЭИ"под руководством профессора А.А. Амосова и профессораЮ. А. Дубинского, 7 декабря 2016 года.• На семинаре квантовой математической физики под руководствомчл.-корр. РАН профессора И. В. Воловича, 25 марта 2015 (МИАН им.В. А. Стеклова).Публикации.Основные результаты по теме диссертации изложены в семи печатных работах, из которых три [A1-A3] в журналах, рекомендованныхВАК.1. Акбари Фаллахи. А, Йаакбариех.
А, Сакбаев В.Ж. Корректность задачи с начальными условиями для гиперболическихдифференциально- разностных уравнений со сдвигами временного аргумента. Дифференциальные уравнения, 2016. Т. 52, № 3,С. 352-365.2. Акбари Фаллахи. А. О стремлении к нулю величины отклоненияаргумента в дифференциально-разностных уравнениях с опережением ТРУДЫ МФТИ, 2016. Т. 8, № 1, С. 109-114.– 12 –3. Акбари Фаллахи. А Дифференциально-разностных уравненийвторого порядка с опережением в весовых пространствах Соболева.
ТРУДЫ МФТИ, 2016. Т. 1, № 1, С. 109-120.Личный вклад.Работа [A1] опубликована в соавторстве. Результаты этой работы,вошедшие в диссертацию, получены лично автором. Также авторомопубликованы статьи [A2-A3].Структура диссертации:Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и спискалитературы. Полный объем диссертации составляет 127 страниц. Список литературы содержит 34 наименования.Содержание работыПерваяглава"Задачасначальнымиусловиямидлядифференциально-разностного уравнения(ДРУ) первого порядка".В первом разделе первой главы изучаются Дифференциальноразностного уравнения с опережением и запаздывания видаut (t) = au(t) + bu(t − h) + cu(t + τ ) + f (t),t > 0,(0.0.3)в котором a, b, c – вещественные постоянные, положительные постоянные τ, h являются отклонениями аргумента (опережением и запаздыванием соответственно), а f – заданная на полуоси R+ = (0, +∞)непрерывная числовая функция. Требуется определить неизвестнуючисловую функцию u : (−h, +∞) → R, удовлетворяющую уравнению(0.0.3) и удовлетворяющих начальному условиюu(t) = φ(t),t ∈ (−h, 0)с заданной начальной функцией φ.– 13 –(0.0.4)Для каждого числа γ ≥ 0 через L2,γ (R+ ) обозначим пространствоклассов эквивалентности измеримых отображений u : R+ → C, длякоторых выполняется условие e−γt u ∈ L2 (R+ ), наделенное нормойkukL2,γ (R+ ) = ke−γt ukL2 (R) .lЧерез W2,γ(a, b) при каждом l ∈ N обозначим пространство чис-ловых функций на интервале (a, b) со значениями в комплекснойплоскости C таких, чтоujl (t) ∈ L2,γ (a, b), j = 0, 1, l = 1, 2, ...;с нормой(l) 2l (a,b) = (k uk u kW2,γkL2,γ (a,b) + k u k2L2,γ (a,b) )1/2 ,γ ≥ 0.Определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
