Лекции Бободжанова (1153550), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Выделение полного квадратаПри интегрировании алгебраических дробей будет использоватьсяоперация выделения полного квадрата. Продемонстрируем ее на примереинтегралаRRdxdx=−23−2x−x−3+2x+x2 =hiR22= x + 2x − 3 = (x + 1) − 4, x + 1 = t, dx = dt = − t2dt−4 =11x+1−21x−1= − 2·2ln| t−2t+2 | + C = − 4 ln| x+1+2 | + C = − 4 ln| x+3 | + C.5.5. Определенный интеграл, его свойства игеометрический смыслПусть функция y = f (x) определена на отрезке [a, b] . Произведемразбиение (см. рис. 5.1 )a = x1 < x2 < ...
< xn−1 < xn = b(∆)5.5. Определённый интеграл и его свойства45отрезка [a, b] на частичные отрезки [xi, xi+1] и выберем произвольноточки x∗i ∈ [xi, xi+1] i = 0, n − 1 . Вычислим значения f (x∗i ) и составимтак называемую интегральную суммуPn−1∗∗∗∗i=0 f (xi ) ∆xi ≡ f (x0 ) ∆x0 + f (x1 ) ∆x1 + ...
+ f (xn−1 ) ∆xn−1(∆xi = xi+1 − xi) .yОпределение 5.3. Если существуетконечный предел интегральных сумм:limf (x∗i )λ=max ∆xi →0bn−1Xf (x∗i ) ∆xi = I,i=0и если этот предел не зависит от вида∗разбиения (∆) и выбора точек x∗i ∈a = x0 O x1x2 xi xi xi+1[xi, xi+1] , то его называют определенныминтегралом от функции y = f (x)Рис. 5.1на отрезке [a, b] . Обозначение: I =Rb= a f (x) dx. При этом саму функцию y = f (x) называют интегрируемойна отрезке [a, b] (заметим, что число λ = max ∆xi ≡ max (xi+1 − x1)xxn = bi=0,n−1i=0,n−1называется диаметром разбиения (∆) ).Пусть теперь функция f (x) ≥0 (∀x ∈ [a, b]) .
По разбиению (∆)строится ступенчатая фигура (см. рис. 5.2), состоящая из прямоугольниковMP F N высоты f (x∗i ) и длиной основания, равной ∆xi. Площадьэтой ступенчатой фигуры (достройте ее самостоятельно) равна интегральнойP∗сумме n−1i=0 f (xi ) ∆xi и эта площадь будет приближенно равна площадикриволинейной трапеции4 π = {(x, y) : y = f (x) , a ≤ x ≤ b} , т.е. Sπ ≈Pn−1∗i=0 f (xi ) ∆xi , причем это равенство будет тем точнее, чем меньшедиаметр разбиения λ = max ∆xi, и оно становится точным приi=0,n−1λ→0:Sπ =limλ=max ∆xi →0n−1Xi=0f(x∗i ) ∆xi=Zbf (x) dx.aНа рис. 5.2 : π − это трапеция ACDB, ограниченная сверху кривой y = f (x) ,снизу − осью Ox , с боков − прямыми x = a и x = b.446Лекция 5Мы пришли к следующему геометрическому смыслу определенногоRbинтеграла: интеграл a f (x) dx численно равен площади Sπ криволинейнойтрапеции π = {(x, y) : y = f (x) , a ≤ x ≤ b} с верхней границей, описываемойуравнением y = f (x) , x ∈ [a, b] .yЗамечание 5.3.
В определении 5.3Rbинтегралаa f (x) dx предполагается, чтоCf (x∗i )отрезок интегрирования ориентирован отPFa до b (т.е. a < b ). В случае противоположнойориентации отрезка [a, b] (т.е. при b < a )RbDполагаем по определению a f (x) dx =Rax∗−f (x) dx. Также полагаем по определению,b RРис.5.2A M xi N Baчто a f (x) dx = 0.Перейдем к формулировке свойств определенногоинтеграла.Ограниченность подынтегральной функции. Если функцияf (x) интегрируема на отрезке [a, b] , то она ограничена на этом отрезке(т.е. ∃M = const : |f (x) | ≤ M ∀x ∈ [a, b] ).Линейность интеграла. Если функции f (x) и g (x) интегрируемына отрезке [a, b] , то на этом отрезке интегрируема и любая их линейнаякомбинация αf (x) + βg (x) и имеет место равенствоbZb(αf (x) + βg (x)) dx = αaZbf (x) dx+βaZbg (x) dx (α, β = const) .aАддитивность интеграла.
Если функция f (x) интегрируема намаксимальном из отрезков [a, b] , [a, c] , [c, b] , то она интегрируемаи на двух других отрезках, причем имеет место равенствоZabf (x) dx =Zacf (x) dx +Zbf (x) dx.cДалее везде предполагаем, что a < b.Монотонность интеграла. Если функции f (x) , g (x) и p (x)интегрируемы на отрезке [a, b] и p (x) ≤ f (x) ≤ g (x) (∀x ∈ [a, b]) ,RbRbRbто a p (x) dx ≤ a f (x) dx ≤ a g (x) dx.5.5.
Определённый интеграл и его свойства47Интегрируемость модуля. Если функции f (x) интегрируемана отрезке [a, b] , то на этом отрезке интегрируема и функция |f (x) |,причем имеет место неравенство Z bZ b f (x) dx ≤|f (x) |dx.aaТеорема о среднем для интеграла. Пусть функция f (x) непрерывнана отрезке [a, b] . Тогда существует точка c ∈ [a, b] такая, чтоRba f (x) dx = f (c) (b − a) (геометрический смысл этой теоремы состоитв том, что существует прямоугольник с основанием [a, b] и высотыf (c) , равновеликий криволинейной трапеции π ).Доказательство. Пусть m = min f (x) , M = max f (x) (поx∈[a,b]x∈[a,b]теореме Вейерштрасса значения m и M функцией f (x) достигаются).Имеем m ≤ f (x) ≤ M (∀x ∈ [a, b]) , поэтому из свойства монотонностиинтеграла отсюда получаемZbam dx ≤Zbaf (x) dx ≤ZbaM dx ⇔ m (b − a)1≤ M (b − a) ⇔ m ≤b−aZZabf (x) dx ≤baf (x) dx ≤ M.Rb1Последние неравенства показывают, что значение K = b−aa f (x) dxявляется промежуточным для функции f (x) на отрезке [a, b] , а,значит, по теореме Больцано–Коши существует c ∈ [a, b] такое, что1f (c) = K ⇔ f (c) =b−aZbaf (x) dx ⇔Zabf (x) dx = f (c) (b − a) .Теорема доказана.Рассмотрим ещё несколько примеров, которые демонстрируют простейшиеприемы интегрирования.1.Zctg xdx =Zcos xdx =sin xZd (sin x)= [sin x = t] =sin xZdt= ln|t|+C.t482.Лекция 5Zdx=xln xd (ln x)= [ln x = t] =ln xZZdt= ln|t| + C = ln |ln x|+C.tdx(x2 +1)2 RRdtdt== x = tg t, dx = cosdt2 t ==212·cos2 t2t41+tgtcos()cos tRR= cos2 tdt = 21 (1 + cos 2t) dt = 2t + sin42t + C = [t = arctg x] =x= arctg+ 12 · sin(arctg x) · cos(arctg x) + C =2x)xx1x·√+ C = arctg+ 12 · √ tg (arctg+ 21 · 1+x= arctg2 + C.22223.R1+tg (arctg x)RRudv = uv − vdu = (arctg x)x − x ·R d(1+x2)12+ C.=x·arctgx−ln1+x= x · arctg x − 1221+x24.Rarctg xdx =R1+tg (arctg x)11+x2 dx=RRRR5.
I = eax cos bxdx = a1 cos bx d (eax ) =udv = uv − vdu =R= a1 eax cos bx + b eax sin bxdx =RR axaxbxeax cos bxbbaxax= e cossinbxde=esinbx−becosbxdx,++aa2aa2b axb2b2eax cos bxeax cos bx+esinbx−I⇔1++ ab2 eax sin bx,I=⇔I =222aaaaaI=b sin bx+a cos bxa2 +b2· eax .Лекция 6. Интеграл с переменным верхнимпределом. Формула Ньютона − Лейбница. Заменапеременных и интегрирование по частям вопределенном интеграле. Интегрированиедробно-рациональных функций итригонометрических выраженийВычисление определенного интеграла можно свести к вычислениюнеопределенного.
Соответствующая формула носит название формулыНьютона—Лейбница. Для ее вывода необходимо изучить сначала свойстваинтеграла с переменным верхним пределом, к описанию которого мыпереходим.6.1. Интеграл с переменным верхним пределомЗаметим, что в качестве переменной интегрирования можно выбратьлюбую букву:Zabf (x) dx =Zabf (t) dt =Zbf (ξ) dξ =aZbf (A) dA.aПусть функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b] . Тогда дляRxлюбого x ∈ [a, b] можно вычислить число F (x) = a f (t) dt. Значит,Rxдля каждого x ∈ [a, b] определена функция F (x) = a f (t) dt. Этуфункцию называют интегралом с переменным верхним пределом.Теорема 6.1. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b] ,Rxто интеграл F (x) = a f (t) dt непрерывен на этом отрезке.
Если f (x)непрерывна на отрезке [a, b] , то F (x) дифференцируема на указанномотрезке, причемZ xd0F (x) = f (x) ⇔f (t) dt = f (t) |t=x (∀x ∈ [a, b]) .(6.1)dx aДоказательство первой части этого утверждения опускаем. Перейдемк обоснованию второй части. Пусть x − произвольная точка интервала(a, b) . ВычислимR x+∆xRxf(t)dt−∆F (x)F (x + ∆x) − F (x)a f (t) dt≡= a=∆x∆x∆x50Лекция 6R x+∆xRaR x+∆xf(t)dt+f(t)dtf (t) dtx= a= x.∆x∆xТак как f (t) непрерывна на отрезке [a, b] , то применима теоремао среднем: существует точка c ∈ [x, x + ∆x] , ∆x > 0 (c ∈ [x + ∆x, x] , ∆x < 0)такая, чтоZ x+∆xf (t) dt = f (c) (x + ∆x − x) = ∆F (x) .xТогда ∆F∆x(x) = f (c) . Устремляя здесь ∆x → 0 и учитывая, что приэтом c → x, f (c) → f (x) , будем иметь lim ∆F∆x(x) = f (x) , т.е.∆x→00F (x) = f (x) .
Равенство (6.1) показано в любой внутренней точкеотрезка [a, b] . Можно показать, что оно верно и на концах этого отрезка.Теорема доказана.Следствие 6.1. Любая непрерывная на отрезке [a, b] функцияf (x) имеет первообразную.Действительно, в качестве одной из первообразных можно указатьRxинтеграл F (x) = a f (t) dt с переменным верхним пределом (приэтом F 0 (x) = f (x) (∀x ∈ [a, b]) , т.е. F (x) − первообразная для f (x)).6.2. Формула Ньютона—ЛейбницаДокажем теперь одну из основных формул интегрального исчисления.Теорема 6.2. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b]и Φ (x) − её первообразная на отрезке [a, b] . ТогдаZabf (x) dx = Φ (x) |x=bx=a = Φ (b) − Φ (a) .(6.2)RxДоказательство.
Так как F (x) = a f (t) dt − первообразнаяфункции f (x) на отрезке [a, b] , то существует постоянная C такая,Rxчто a f (t) dt = Φ (x) + C. Положим в этом равенстве x = a; будемиметь 0 = Φ (a) + C ⇔ C = −Φ (a) . ПоэтомуZ xf (t) dt = Φ (x) − Φ (a) .a6.3. Замена переменных и интегрирование по частям вопределенном интеграле51Полагая здесь x = b, получаем формулу (6.2). Теоремадоказана.R3 3R 3 x=3 x4Например, 2 x + 2x dx =x + 2x dx |x=2 = 4 + x2 + C |32 = 4 42853224 +3 +C −4 +2 +C = 4.6.3. Замена переменных и интегрирование по частям вопределенном интегралеС помощью формулы Ньютона − Лейбница нетрудно доказать следующиеутверждения.xТеорема 6.3 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
