Лекции Бободжанова (1153550), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Пусть функция y = f (x) дважды дифференцируемана интервале (a, b) . Тогда справедливы высказывания:1. если f 00 (x) < 0 (∀x ∈ (a, b)) , то кривая y = f (x) выпуклавверх на (a, b) ;2. если f 00 (x) > 0 (∀x ∈ (a, b)) , то кривая y = f (x) выпукла внизна (a, b) .yДоказательство. Пусть x == x0 − произвольная точка интервала(a, b) . Окружим её отрезком [x0 − δ, x0 + δ] ⊂⊂ (a, b) .Так как функция y = f (x) удовлетворяетM0на этом отрезке всем условиям теоремыxТейлора с остаточным членом в формеO x − δ x0 x + δЛагранжа, то для всех x ∈ U̇x0 (δ)Рис. 4.4имеет место представлениеbf 0 (x0)f 00 (c)y = f (x) = f (x0) +(x − x0) +(x − x0)2 .1!2!(4.4)С другой стороны, в точке M0 (x0, f (x0)) функция y = f (x) имееткасательную с уравнениемy∗ = f (x0) + f 0 (x0) (x − x0) .Значит, y −00− y ∗ = f 2!(c) (x − x0)2 x ∈ U̇x0 (δ) .

Отсюда видно, что если f 00 (x) <00∗< 0 (∀x ∈ (a, b)) (тогда и f (c) < 0 ), то y − y < 0 ∀x ∈ U̇x0 (δ) ,00значит, кривая y = f (x) выпукла вверх в точке x =x0. Если же f (x) >> 0 (∀x ∈ (a, b)) , то то y − y ∗ < 0 ∀x ∈ U̇x0 (δ) , значит, криваяy = f (x) выпукла вниз в точке x = x0 . Теорема доказана.Определение 4.4. Точка x = x0 называется точкой перегиба кривойy = f (x) , если:а) f (x) дифференцируема в точке x = x0 ;б) кривая y = f (x) при переходе x через точку x = x0 изменяетнаправление выпуклости (это равносильно тому, что разность y − y ∗изменяет знак при переходе x через точку x = x0 ).Необходимое условие точки перегиба. Если x = x0 - точкаперегиба и если существует f 00 (x0) , то f 00 (x0) = 0.4.5.

Исследование функций с помощью высших производных37Доказательство вытекает из локальной формулы Тейлора и изравенстваf 00 (x0)22y−y =(x − x0 ) + o (x − x0) (x → x0) .2!∗Замечание 4.4. К точкам, подозрительным на “перегиб”, следуетотнести, прежде всего, точки x = x0 , для которых f 00 (x0 ) = 0. Однако“перегиб” может иметь место и в точках, в которых вторая производнаяf 00 (x) не существует или равна ∞. Например, в точке x = 0 функция√f (x) = 3 x имеет производную y 00 = − 9x25/3 |x=0 = ∞. И в этой точкеэта функция имеет “перегиб”. Очевиден следующий результат.Теорема 4.4 (достаточное условие точки перегиба). Пустьфункция y = f (x) дифференцируема в точке x = x0 и некоторой еёокрестности и дважды дифференцируема в некоторой проколотойокрестности этой точки.

Тогда если при переходе x через точкуx = x0 вторая производная f 00(x) изменяет знак, то точка x == x0 − точка перегиба кривой y = f (x) .4.5. Исследование функций с помощью высших производныхИспользуя локальную формулу Тейлора, можно доказать следующиеутверждения.4. Пусть функция y = f (x) дифференцируема n раз в критическойточке x = x0 и пусть при этомf 0 (x0) = f 00 (x0) = ...

= f (n−1) (x0) = 0, f (n) (x0) 6= 0.Тогда если n = 2k, то при f (n) (x0) > 0 в точке x = x0 функцияy = f (x) достигает минимума; при f (n) (x0) < 0 функция y = f (x)достигает максимума в точке x = x0 .Если же n = 2k + 1, то в точке x = x0 функция y = f (x) неимеет локального экстремума.5. Пусть функция y = f (x) трижды дифференцируема в точкеx = x0 и выполнены условия: а) f 00 (x0) = 0, б) f 000 (x0) 6= 0.

Тогдаx = x0 − точка перегиба кривой y = f (x) .38Лекция 4Например, при изучении функции y = ch x+cos x на экстремумв точке x = 0 исследовать знак производной y 0 = f 0 (x) = sh x −− sin x довольно сложно. Для решения этой задачи воспользуйтесьтеоремой 4.4, вычислите f 00(0) и найдите, что в точке x = 0 функциядостигает минимума.Для усвоения изложенной теории рекомендуем выполнить задачииз типового расчета “Графики,” помещённого в конце пособия.Лекция 5.

Первообразная и неопределенныйинтеграл. Свойства неопределенного интеграла.Таблица первообразных. Простейшие приемыинтегрирования: подведение функции под знакдифференциала, выделение полного квадрата,замена переменных и интегрирование по частям внеопределенном интеграле. Определенныйинтеграл, его свойства и геометрический смыслОперация, обратная дифференцированию, называется интегрированием.

Перейдем к ее изложению.5.1. Первообразная и неопределенный интегралНиже в качестве A берется любой из промежутков: [a, b] , (a, b) , [a, b) , (a, b](концы a и b могут быть бесконечными).Определение 5.1. Говорят, что функция F (x) является первообразнойдля функции f (x) на множестве A, если F 0 (x) ≡ f (x) (∀x ∈ A) .Разыскание всех первообразных функции f (x) называется интегрированиемf (x) .Например, функция F (x) = x3 является первообразной для f (x) =03x2 на всей оси R, так как x3 = 3x2 (∀x ∈ R) .Теорема 5.1(об общем виде всех первообразных данной функции).Пусть F (x) − фиксированная первообразная функции f (x) (на множествеA ).

Тогда множество всех первообразных функции f (x) (на множествеA ) описывается формулойΦ (x) = F (x) + C,где C − произвольная постоянная.Доказательство вытекает из того, что если F (x) и Φ (x) − две0первообразные функции f (x) , то (Φ (x) − F (x)) = f (x) − f (x) ≡≡ 0 (∀x ∈ A) , а, значит, разность Φ (x) − F (x) является постояннойвеличиной на множестве A , т.е.

Φ (x) − F (x) = C (∀x ∈ A) .40Лекция 5Определение 5.2. Совокупность всех первообразных функцииf (x) (на множестве A ) называется неопределенным интеграломRна A этой функции. Обозначение: f (x) dx. При этом сама функцияf (x) называется подынтегральной функцией и если интеграл от неесуществует, то говорят, что f (x) интегрируема на A.RИз теоремы 5.1 вытекает, что f (x) dx = F (x)+C, где F (x) − фиксированнаяпервообразная функции f (x) (на множестве A ), а C − произвольнаяRпостоянная. Отметим, что равенство f (x) dx = F (x)+C равносильноравенству F 0 (x) ≡ f (x) (∀x ∈ A) .

Таким образом, для доказательстватого, что некоторая функция ϕ (x) + C является неопределенныминтегралом от функции f (x) , надо продифференцировать ее по x ;Rесли при этом будет получена подынтегральная функция f (x) , то равенство f (x) dx =ϕ (x) + C будет истинным. Используя этот факт, легко докажемследующие формулы.Таблица 5.1.

Неопределенные интегралы основных функцийВезде ниже С− произвольная постоянная.Z1.0dx = C = const.;Z2.dx = x + C;Zxα+1α3.x dx =+ C (α 6= −1 − постоянная) ;α+1Zdx4.= ln |x| + C;xZ5.sin xdx = − cos x + C;Z6.cos xdx = sin x + C;Zdx= tg x + C;7.2xcosZdx8.= −ctg x + C;sin2 x5.1. Первообразная и неопределенный интегралZax>0a dx =+ C a6=1 − постоянная ,ex dx = ex + C;ln aZdx1x=arctg+C (a > 0 − постоянная) ;2 + x2aaaZxdx√= arcsin + C (a > 0 − постоянная) ;aa2 − x2Zsh xdx = ch x + C;Zch xdx = ch x + C;Zdx2 = th x + C;chxZpdx√= ln |x + x2 ± a2 | + C;2 ± a2xZdx1 x − a = ln + C.x2 − a22a x + a Z9.10.11.12.13.14.15.16.41xДокажем, например, формулу 10, табл.

5.1. Дифференцируем правуючасть равенства 10 по x :1xarctg +Caa0=1111··=.a 1 + x 2 a a2 + x2aПолучена подынтегральная функция левой части 10. Значит, равенство10 верно. Точно так же доказываются остальные формулы этой таблицы.Свойства неопределенного интеграла (везде ниже предполагается,что интегралы от соответствующих функций существуют):10 )03)ZZ020 )Z(C1 f (x) + C2g (x)) dx = C1Zf (x) dx= f (x) ,g 0 (x) dx = g (x) + C;f (x) dx + C2Zg (x) dx42Лекция 5C1 , C2 = const, C12 + C22 6= 0 .Свойство 30 называют свойством линейности интеграла. Первыедва свойства показывают, что операции дифференцирования и интегрированиявзаимно обратны.Немного позже будет установлено, что всякая непрерывная на отрезкеA = [a, b] функция f (x) интегрируема на этом отрезке.5.2. Замена переменной в неопределенном интегралеПерейдем к формулировке теоремы о замене переменной в неопределенноминтеграле, которая часто используется при вычислении интегралов.Здесь имеются в виду два утверждения3:RRRI.

g (ϕ (x)) ϕ0 (x) dx ≡ g (ϕ (x)) dϕ (x) = [ϕ (x) = t] = g (t) dt|t=ϕ(x) .RRII. f (x) dx = [x = ψ (t) , dx = ψ 0 (t) dt] = f (ψ (t)) ψ 0 (t) dt|t=g(x) ,где t = g (x) − функция, обратная к функции x = ψ (t) .Теорема 5.2. а) Пусть выполнены условия: 1) функция g (x)непрерывна в своей области определения D; б) функция t = ϕ (x)непрерывно дифференцируема на множестве A таком, что ϕ (A) ⊆⊆ D. Тогда для всех x ∈ A имеет место равенство I.б) Пусть выполнены условия: 1) функция f (x) непрерывна всвоей области определения D;2) функции x = ψ (t) и ψ 0 (t) непрерывны на множестве B таком,что ψ (B) ⊂ D;3) ψ 0 (t) 6= 0 (∀t ∈ B) ; 4) функция x = ψ (t) имеет на множествеB обратную функцию t = g (x) . Тогда для всех x ∈ ψ (B) имеетместо равенство II.Замечание 5.1.

Преобразования в I часто называют процедуройвведения множителя под знак дифференциала. Формулу II удобноприменять в тех случаях, когда функция f (ψ (t)) ψ 0 (t) dt легче интегрируется,чем исходная функция f (x) . Её применяют, например, при вычисленииЗдесь и всюду далее с тем, чтобы не прерывать выкладки, в квадратныхскобках будем указывать соответствующие замены переменных или формулы,необходимые для преобразований исходных выражений.35.3. Интегрирования по частям в неопределенноминтеграле43√Rинтегралов от иррациональностей вида R x,dx, R x, ax2 + bx + c dx(здесь Rq(u, v) − рациональная функция). В первом случае делаетсяRqnax+bcx+eзамена n ax+bcx+e = t, во втором случае подбирают такую замену x =ψ (t) , чтобы исчезла иррациональность.

Например,Z pZ p1 − x2dx = [x = cos t, dx = − sin tdt] =1 − cos2 t (− sin tdt) = −−Z1sin tdt = −22Z(1 − cos 2t) dt == − 2t + sin42t +C. Далее надо вернуться к старой переменной с помощью√обратной функции t = arccos x и получить ответ: 21 x 1 − x2− 21 arccos x+C.5.3. Интегрирования по частям в неопределенноминтегралеПри вычислении интегралов часто используется операция интегрированияпо частям, смысл которой раскрывается в следующем утверждении.Теорема 5.3. Пусть функции u = u (x) , v = v (x) непрерывнодифференцируемы на множестве A. Тогда на этом множестве справедливоравенствоZZudv = u · v −vdu.Доказательство вытекает из цепочки тождеств0(u · v) ≡ u0 v + u · v 0 ⇔0⇔ u · v 0 ≡ (u · v) − u0v ⇔ZZZZZ000⇔ u · v dx ≡ (u · v) dx − u vdx ⇔ udv ≡ u · v − vdu.Замечание 5.2. Операция интегрирования по частям применяетсяк интегралам вида44Лекция 5arcsin xdx,R arccos xdx,2.Pm (x) ×  arctg xdx,ln xdx( Pm (x) − многочлен степени m ).sin αx dx,R1.

Pm (x) ×  cos αx dx,eαx dx.При этом в интегралах типа 1 для получения дифференциала dv надоввести под знак дифференциала трансцендентную функцию (sin αx, cos αx, eαx ) ,а в интегралах типа 2 под знак дифференциала надо ввести многочленPm (x) . Например,Z(2x + 1) cos xdx =ZZ(2x + 1) d (sin x) = (2x + 1) sin x + 2 cos x + C;Z 2x2x2xxln xdx = ln x dd (ln x) == ln x −222Zx21x2ln x x22 1= ln x −−+ C.x · =22x24Z5.4.

Характеристики

Список файлов лекций