Лекции Бободжанова (1153550), страница 12
Текст из файла (страница 12)
y = esin(2x)−cos(2x) .15.11. y = sin 1 x −cos.5.3. y = sin1/3 (2x) .( 2 ) ( 12 x)5.4. y = −arctg (cos (2x)) .5.12. y = sin1/3 12 x .√5.5. y = ln 2 sin (2x) .sin( 21 x)−cos( 12 x).5.13.y=e15.6. y = sin(x+1)−cos(x+1) .5.14. y = − arctg cos 21 x .√5.7. y = − arctg (cos (x + 1)) .15.15.y=lnx.2sin25.8. y = sin1/3 (x + 1) .4.10.4.11.4.12.4.13.84Типовой расчетРекомендуем проверить свои знания, отвечая на теоретические вопросы итеоретические упражнения, приводимые ниже8 .Теоретические вопросы1. Условия возрастания функции на отрезке.2.
Условия убывания функции на отрезке.3. Точки экстремума. Необходимое условие экстремума.4. Достаточные признаки максимума и минимума функции (изменение знакапервой производной).5. Наибольшее и наименьшее значения, функции, непрерывной на отрезке.6.
Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточные условия выпуклостии вогнутости.7. Точки перегиба графика функции. Необходимое условие перегиба. Достаточныеусловия перегиба.8. Исследование функций на экстремум с помощью высших производных.9. Асимптоты графика функции.Теоретические упражненияf (x) = x−sin x монотонно возрастает на отрезке: а)h 1. Доказать,ih что функцияi0, 2π ; б) 0, 4π Следует ли из монотонности дифференцируемой функциимонотонность ее производной?теорему: если функцииh 2. Доказатьi ϕ (x) и ψ (x) дифференцируемы на отрезке00и ϕ (x) > ψ (x) ∀x ∈a, ba, b , а ϕ (a) = ψ (a) , то ϕ (x) > ψ (x)i∀x ∈ a, b .Дать геометрическую интерпретацию теоремы.У к а з а н и е.
При доказательстве теоремы установить и использоватьмонотонность функции f (x) = ϕ (x) − ψ (x) .3. Доказатьi 2x/π < sin x для трех случаев: неравенство2а) ∀x ∈ 0, arccos π ;hб) ∀x ∈ arccos π2 , π2 ;πв) ∀x ∈ 0, 2 .См. Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике.
Типовые расчёты.Изд-во «Лань», 2005.-240 с.885ИнтегрированиеДать геометрическую интерпретацию неравенства.4. Исходяминимума и максимума, доказать, что функция( из определений−1/x2, x 6= 0,ef (x) =0,x=0имеет в (точке x = 0 минимум, а функция2xe−1/x , x 6= 0,f (x) =0,x=0не имеет в точке x = 0 экстремума.5. Исследовать на экстремум в точке x0 функцию f (x) = (x − x0 )n ϕ (x) ,считая, что производная ϕ0 (x) не существует, но функция ϕ (x) непрерывна вточке x0 и ϕ (x0 ) 6= 0 , n .— натуральное число.6. Исследовать знаки максимума и минимума функции x3 − 3x + q и выяснитьусловия, при которых уравнение x3 −3x+q = 0 имеет а) три различных действительныхкорня; б) один действительный корень.7.
Определить«отклонениеот нуля» многочлена p (x) = 6x3 − 27x2 + 36x − 14hiна отрезке 0, 3 , т. е. найти на этом отрезке наибольшее значение функции|p (x)| .8. Установить условия существования асимптот у графика рациональной функции.Типовой расчет «Интегрирование»Задача 1. Вычислить интегралы.1.1. ∫ (15x − 2) e9x dx.1.2. ∫ ln 9x2 + 4 dx.1.3.
∫ (2 − 12x) sin (6x) dx.1.4. ∫ ln 36x2 + 1 dx.1.5. ∫3x2 dx.cos(3x)1.6. ∫ arctg√12x − 1 dx.1.7. ∫ (9x − 2) cos (15x) dx.Задача 2. Вычислить интегралы.2.1. ∫x√1dx.9x2 +11.8. ∫ 3x sin2 (3x) dx.1.9. ∫ (5x + 3) e3x+3 dx.1.10. ∫ ln x2 + 2x + 5 dx1.11. ∫ (3x + 1) cos (5x + 5) dx.1.12. ∫ cosx+12 (x+1) dx.√4x + 3 dx.1.13. ∫ arctg1.14. ∫ ln 4x2 + 8x + 5 dx.1.15. ∫ (x + 1) cos2 (x + 1) − 1 dx.2.2. ∫9x2 +ln(9x2 )dx.x86Типовой расчетsin(3x)−cos(3x)2.3.
∫ (cos(3x)+sin(3x))5 dx.2.4. ∫ tg (3x) ln (cos (3x)) dx.tg(3x+1)2.5. ∫ cos2 (3x+1) dx.2.10. ∫2.11. ∫x32 dx.2(9x +1)2( 41 x2 +ln( 14 x2 ))dxxx32 dx.(25x2 +1)2(arccos3 ( 21 x)−1)√dx.−x2 +42.6. ∫2.7. ∫2.8. ∫2.9. ∫x− 4√ x dx.x2 +4x32 dx.( 14 x2 +1)2.12. ∫sin( 21 x)−cos( 12 x)5(cos( 21 x)+sin( 12 x))2.13. ∫ x√x42 +4 dx.Rdx2.14. √x2 −2x+2(x−1).R√dx.2.15. (x−1)x(x−2)x2 −2x+2dx.Задача 3. Вычислить определённые интегралы.13.1.
∫0√23.2. √∫32√323.3. ∫0− 323.4. ∫−1− 233.5. ∫−1−13.6. ∫−e1x16x4 +11−2x− 2x√4x2 +13.8. ∫043.9. ∫dxarctg(2x)+2 x4x2 +1dx.xdx.14256 x +1∫3.10. √dx.3.11.3.12.√√ 1− −2x dx.−2x(−2x+1)1+ln(−2x)x8 x3 +2 x16x4 +10 √8 2√√ 1− −2x dx.−2x(−2x+1)tg(2x−1)2cos(2x−1)03.7. ∫12dx.x+ 16√ xx2 +16dx.4 34 2(1− 1 √x)∫ √x 12x+1 dx.(4 )01 arctg( 1 x)+ 1 x44∫dx.1 2x+1160e1 4(1+ln( 1 x))3.13. ∫11dx.3.14.
∫dx.3.15.4dx.xtg( 41 x+1)2dx.1−1 cos( 4 x+1)4 1 x3 + 1 x4dx.∫ 641 x4 +12560Задача 4. Вычислить определённые интегралы.3x3 +9x2 +9x+1x(x2 +3x+2) dx.543−6x2 −21x−16∫ 3x +15x +18xx2 +4x+35+4x4 −14x2 −4x+13∫ x (x+1)(x−2)(x+3)dx.3−3x2 +4x+2∫ x(x+3)(x−1)3 dx.3+3x2 +4x+4∫ x(x+3)(x+1)3 dx.4.2.4.3.4.4.4.5.2x3 +6x2 +7x+4dx.(x+2)(x+1)3x3 +7x2 +14x+104.7. ∫ (x+2)dx.2 2(x +2x+2)3+15x2 +26x+13dx.4.8. ∫ 3x2(x+2) (x2 +2x+3)3−9x2 +9x−5dx.4.9. ∫ 3xx(x2 −3x+2)54+8x3 +2x2 +4x−34.10.
∫ x −6x(x−4)(x2 −1)4.6. ∫4.1. ∫dx.dx.87Интегрированиеx3 −9x2 +28x−26(x+1)(x−3)34.11. ∫x(x2 −3x+4)4.12. ∫(x+1)(x−1)3dx.2x3 −6x2 +7x−2dx.x(x−1)332x +x −2x+2x2 (x2 −2x+2) dx.3x3 −3x2 +2x−3x2 (x2 −2x+3) dx.4.13. ∫4.14. ∫dx.4.15. ∫Задача 5. Вычислить определённые интегралы.πarctg(3)5.1.1sin(2x)2 (1−cos(2x))∫π/4π4cos(2x)3(1−cos(2x))∫5.2.arctg(2)arctg(2)5.3.∫arctg ( 12 )π45.4. ∫005.5.∫dx.−arctg(4π3π3)dx.dx.3 tan(2x) −50−2 tan(2x)+7dx.5.6.−π/8π(1−cos( 21 x))π24π5.11. ∫ sin21x25.12.
∫ cos818x0√arctg( 3)∫5.13.156.2. ∫356.3. ∫343qq6.4. ∫ x0236.5. ∫1206π3x45.15. ∫ cos80dx.6.6.2− xx−6dx.6.7. ∫1x22− xx−6dx.−3 q6.8. ∫−5+ 16 dx.−96.9. ∫−150dx.dx.dx.dx.x21−9x2√2 √1+31/3 x1/3 3dx.∫x3/211/4 1/33 1+271/4(x3 )dx.√9x2 −4x4cos6dx.5.14. ∫ sin2 (3x) cos6 (3x) dx.2−3x3x−6√cos(3x)5+4 cos(3x)Задача 6.
Вычислить интегралы.6.1. ∫dx.6π1(6+tg(2x)) sin(4x) dx.0q3116−tgx(( 2 )) sin(x)05.7. ∫ sin2 (2x) cos6 (2x) dx.53dx.cos( 21 x)5.10. ∫1R − arccos2 √261x204π2√1302π5.9. ∫1sin(2x)·(1+sin(2x))cos(2x)5+4 cos(2x)dx.5.8. ∫ cos86.10. ∫−2x+2−x−6qdx.x+6−x−18dx.√−x2 + 4 dx.dx.88Типовой расчет√6.11. ∫ x −x2 + 16 dx.0−406.12. ∫6.13.22√ x−x2 +25−54 √ 2∫ xx4−4306.15. ∫− 25−16.14. ∫−2√1/31+(−x)√x −xdx.dx.dx.2√ x−4x2 +25dx.Задача 7.
Вычислить площади фигур, ограниченных графикамифункций.7.1. y = −9x2 + 4, y = 9x2 − 6 x.√7.2. y = 9x −x2 + 1, y = 0, 0 ≤ x ≤ 1.7.3. y = cos2 (sin (3x)) , y = 0, 0 ≤ x ≤ 16 π., y = 0, x = 13 , x = 3e .7.4. y = √ 1x1+ln(3x)27.5. y = −9x + 6x + 3, y = 9x2 − 12x + 3.17.6. y = ex3x2 , y = 0, 3x = 2, 3x = 1.7.7. y = (3x − 2)3 , y = 12x − 8.7.8. y = −25x2 + 4, y = 25x2 − 10x.√7.9. y = x −25x2 + 9, y = 0, 0 ≤ x ≤ 53 ., y = 0, x = 51 , x = 5e .7.10.
y = √ 1x1+ln(5x)27.11. y = −25x + 10x + 3, y = 25x2 − 20x + 3.x7.12. y = 1+√, y = 0, 5x = 1.5x17.13. y = ex5x2 , y = 0, 5x = 2, 5x = 1.7.14. y = (5x − 2)3 , y = 20x − 8.7.15. y = −x2 + 4, y = x2 − 2x.Задача 8. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениямив прямоугольной системе координат.8.1. y = 43 x2 − 16 ln (3x) , 13 ≤ x ≤ 23 .√√ 18.2. y = 13−9x2 + 3x − arccos 3x + 5, 27≤ x ≤ 31 .8.3.
y = 13 ln 9x2 − 1 , 23 ≤ x ≤ 1.8.4. y = 13 ch (3x) + 3, 0 ≤ x ≤ 13 .√ln(2 6)ln(15)1 3x8.5. y = 3 e + 13, 6 ≤ x ≤ 3 .8.6. y = 18 x2 − ln 12 x , 2 ≤ x ≤ 4.Интегрирование89√√ 8.7. y = 21−4 x2 + 2x − arccos 2x+ 7, 0 ≤ x ≤ 12 .8.8. y = 2 ln 41 x2 − 1 , 4 ≤ x ≤ 6.8.9. y = 2 ch 12 x + 9, 0 ≤ x ≤ 2.18.10. y = 2e 2 x + 17, 0 ≤ x ≤ ln 2.√√ 8.11. y = 5 + 12 arcsin 12 2x + 21 −x2 + 2x , 0 ≤ x ≤ 1532 .28.12. y = 41 (x + 1) − 21 ln (x + 1) , 0 ≤ x ≤ 1.8.13.
y = ln x2 + 2x , 1 ≤ x ≤ 2.8.14. y = ch (x + 1) + 3, −1 ≤ x q≤ 0.√8.15. y = 2 + arcsin x + 1 + x + 1 − (x + 1)2, − 43 ≤ x ≤ 0.Задача 9. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.9.1. z = x2 + 36y 2, z = 2.9.2. 91 x2 + 94 y 2 − z 2 = 1, z = 0, z = 3.9.3. z = x2 + 81y 2, z = 3.9 21 29.4. 91 x2 + 16y − 64z = −1, z = 16.1 29 29.5. 9 x + 4 y − z 2 = 1, z = 0, z = 3 .9.6. z = 4x2 + 36y 2, z = 2 .9.7. z = 9x2 + 4y 2 , z = 2.9.8. x2 + 41 y 2 − z 2 = 1, z = 0, z = 3.9.9.
z = 9x2 + 9y 2 , z = 3.1 21 29.10. x2 + 16y − 64z = −1, z = 16.9.11. x2 + 41 y 2 − z 2 = 1, z = 0, z = 3.9.12. z = 36x2 + 4y 2 , z = 2.9.13. z = 9x2 + 16y 2, z = 2.9.14. x2 + y 2 − z 2 = 1, z = 0, z = 3.1 2z = −1, z = 16.9.15. x2 + 41 y 2 − 64Рекомендуем проверить свои знания, отвечая на теоретические вопросы итеоретические упражнения, приводимые ниже9 .Теоретические вопросы1.
Понятие первообразной функции. Теоремы о первообразных.2. Неопределенный интеграл, его свойства.3. Таблица неопределенных интегралов.9См. Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике. Типовые расчёты.- Изд-во «Лань»,2005.-240 с.90Типовой расчет4. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.5. Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.6. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных функций.7 Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.8. Интегрирование иррациональных выражений.9. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.10. Основные свойства определенного интеграла.11.
Теорема о среднем.12. Производная определенного интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона– Лейбница.13. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.14. Интегрирование биномиальных дифференциалов.15. Вычисление площадей плоских фигур.16. Определение и вычисление длины кривой, дифференциал длины дуги кривой.Теоретические упражнения1. Считая,h что функцияisin xxравна 1 при x = 0 , доказать, что она интегрируемана отрезке 0, 1 .2. Какой из. интегралов больше:R 1 sin x 2R 1 sin xdx ?dxилиxx003.
Пусть f (t) – непрерывная функция, а функции ϕ (x) и ψ (x) дифференцируемые.Доказать, чтоR ψ(x)df (t) dt = f [ψ (x)] ψ 0 (x) − f [ϕ (x)] ϕ0 (x) .dx ϕ(x)R x2 t2d √e dt.4. Найти dxx5. Найти точки экстремума функцииRx2f (x) = 0 (t − 1) (t − 2) e−t dt.6. Пусть f (x) – непрерывная периодическая функция с периодом T . Доказать,чтоR a+TRTf(x)dx=f (x) dx ∀a.a07.
Доказать, что если f (x) – четная функция, тоR0R +aR1 +af(x)dx=f(x)dx=f (x) dx.−a02 −a8. Доказать, что для нечетной функции f (x) справедливы равенстваR0R +aRaf(x)dx=−f(x)dxиf (x) dx = 0.−a0R +1 2 −a2+xЧему равен интеграл −1 sin x ln 2−x dx?R 2 +bx+cdx9. При каком условии, связывающем коэффициенты a , b , c интеграл axx3 (x−1)2является рациональной функцией?R√10. При каких целых значениях n интеграл1 + x4 dx выражается элементарнымифункциями..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
