Лекции Бободжанова (1153550), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Пустьlim f (x) 6= 0 , а функция ϕ (x) бесконечно большая при x →x → x0x0 . Доказать, что произведение f (x) ϕ (x) является бесконечно большойфункцией при x → x0 .74Типовой расчет2. Является ли бесконечно большой при x → 0 функция1xcos x1 ?3. Пусть α0 (x) ∼ α (x) и β 0 (x) ∼ β (x) при x → x0 . Доказать, что если0 (x)не существует, то lim α(x)тоже не существует.lim αβ 0 (x)β(x)x → x0x → x0Типовой расчёт «Производная»Задача 1. Исходяпроизводной, найти f 0 (0) .( из определения 1+ 2x, x 6= 0,arcsin 9x2 cos 27x1.1.
f (x) =0, x = 0.(2arcsin 49 x2 cos 27x+ x, x 6= 0,1.2. f (x) =0, x = 0.( 101+ 3 x,arcsin 25x2 cos 45x1.3. f (x) =0, x = 0.( 141arcsin 49x2 cos 63x+ 3 x,1.4. f (x) =0, x = 0.( 8 21arcsin 16x4 cos 36x+ 3x ,21.5. f (x) =0, x = 0.(ln 1 − sin 64x6 sin 4x1 2,1.6. f (x) =0, x = 0.(1ln 1 − sin 125x3 sin 5x,1.7. f (x) =0, x = 0.(1ln 1 − sin 8x3 sin 2x,1.8.
f (x) =0, x = 0.(1,ln 1 − sin 343x3 sin 7x1.9. f (x) =0, x = 0.(ln 1 − sin 8x6 sin 2x1 2,1.10. f (x) =0, x = 0.(1−42x + 7x sin 7x,1.11. f (x) =0, x = 0.75Производная1.12. f (x) =(2x2 + 31 x2 sin0, x = 0.(3 4x23x2,+ 41 x4 sin x44 ,1.13. f (x) =0, x = 0.( 1 843 4 x sin( x4 ) − 1 + x4,1.14. f (x) =0, x = 0.(2639x sin( 3x3 ) − 1 + 6x3,1.15. f (x) =0, x = 0.Задача 2. Найти производную функции.2.1.2.2.4−72x2y = 81x18x2 −8 .1 4x −2x2y = 161 x2 −8 .22.3.
y =2.4. y =2.5. y =2.6. y =2.7. y =81 4216 x −18x9 22 x −8.√221 (50x −1) 25x +1.375x3√221 (18x −1) 9x +1.81x3√441 (8x −1) 4x +1.24x6√661 (2x −1) x +1.3x9√221 (2x +8x+7) x +4x+52.8. y = 3.3(x+2)√(2x2 −4x+1) x2 −2x+2.2.9. y = 313√ (x−1)5x−1(15x+2)12.10. y = 100.x2√1 −3x−1(−9x+2).2.11. y = 36√x2x(3x+5)2.12. y = 41 (x+1)2 .√1 2x−2(6x−1)2.13. y = 4 (2x−1)2 .421 3x6 +4x√ −x −2 .2.14. y = 15x2 +141 192x6 +64x−4x2 −2√.2.15. y = 1524x +1Задача 3. Найти дифференциал dy . √√3.1.
y = 2x ln 2x + 4x2 + 3 − 4x2 + 3. √√3.2. y = x2 ln x2 + x4 + 3 − x4 + 3. √√3.3. y = x3 ln x3 + x6 + 3 − x6 + 3. √√√√3.4. y = x ln x + x + 3 − x + 3.√√3.5. y = x1/3 ln x1/3 + x2/3 + 3 − x2/3 + 3. 2 √ 229x−1()13.9. y = tg 9x3x−1 .3.6. y = arccos 18.2x 2 √63.10. y = tg x 2x−4 .1 (x −1) 23.7. y = arccos 2 x6.√2 −1.3.11. y = arctg 1+4x2x4x−1()2.3.8. y = arccos 21 x43.12. y = arccos √x −9 .x4 +8176Типовой расчет3.13. y =q33.15. y = arctg (sh 3x) +3x+23x−2 .3.14. y = arctg tg 3x2 +1 .+ (sh 3x) ln (ch 3x) .Задача 4.
Найти√производную функции.3(1+x2 )4.1. y = ln (x) + 3x3 .63√ −128 .4.2. y = sin 3 x2 + 1 + x +8x8−x3√4.3. y = cos x3 + 2x + 2x+3(x−2).x2√221 (18x +3) 9x −3.4.4. y = 243x3√√2227x+3x√4.10.y=.1 (2 ln(x) +3) ln(x) −3.4.5. 981x2 +23ln(x) √4x4.11. y = 6√4x2x+72e+3) e4x −3(2 +4x+7 .14.6. y = 9.√3(e2x )2x+1.4.12. y = 4xx 2 +4x+11/323(9x +3x+1)24.7.
y =.+24.13. y = 2√9x1−81x4. 3x+11/3√x.4.8. y = 3 (x−2)210x−14.14. y = (5x+3).10x+71/3√2x+12x√.4.9. 3 (2x−1).4.15. y = 6x+24x2 +2Задача 5. Найти производную функции.sh(x+1)555.8. y = (sin (x + 1)) 2 x+ 2 .5.1. y = x2 + 2x.cos(x+1)5.9. y = x2 + 2x + 2.5.2. y = x4 + 4x3 + 6x2 +ctg(x+1)ecos(x+1)+ (4x + 6).5.10. y = (x + 1).3x+32x+1 x+15.3. y = (sin (x + 1)).5.11. y = (x + 1)5 .cos(x+1)esin(3x)25.4.
y = x + 2x + 2..5.12. y = (3x)11919(x+1)5.5. y = 19(x + 1) .5.13. y = (tg (3x)) 4 ln(tg(3x)) .th(3x)x+15.6. y = (x + 1)3 2x+1.5.14. y = 6561x8 + 1.x+13x33e5.7. y = x2 + 1· 2x +1.5.15. y = 19683 (3x) x9.Задача 6. Найти производную функции.p√√6.1. y = 4 + 2x · (1 + 2x) + 3 ln 4 + 2x + 1 + 2x .√√ √1(8x + 3) 17 .6.2. y = −8x2 − 6x + 1 + 43 2 arcsin 17p√√6.3. y = 4 + 6x (1 + 6x) + 3 ln 4 + 6x + 1 + 6x .11−2x√6.4. y = arcsin(2x).+ln21+2x−4x2 +1Производная6.5. y =14√4x2 +2x212√12√√2+ 4x2 +2.x√34x2 arctg√2 ln−√6.6.
y = (2 + 12x) 4x − 1 −−1 .√1 + 4x+ ln 1 +4x + 1 .6.7. y = 43 x − 32√√2 +1−4x126.8. y = 16x + 1 − 2 ln √16x.16x2 +1+1√√1 + 4x +ln 1 + 4x +16.9. y = 34 x − 32 .√√2 +1−12x6.10. y = 144x2 + 1 − 12 ln √144x.144x2 +1+14x−16.11. y = 13 ln 1+4x− 14 + 2(16x12−1) arctg (4x) .√√6.12. y = 4 ln 1 − 4x + 1 + 4x + 21 arcsin (4x) − 2x.√6.13. y = arctg 16x2 − 1 − √ln(4x).16x2 −1 √p6.14. y = 3 − 4x (2 + 4x) + 5 arcsin 15 10 + 20x .√6.15. y = 16 x (arcsin (4x))2 + 2 −16x2 + 1 arcsin (4x) − 8x.Задача 7. Найти производную n -го порядка.7.1. y = sin (10x) + cos (1 + 5x) .√7.8.
y = 5 x.7.2. y = 5xe15x.1/510x+5.7.3. y = e35x−17.9. y = 13+195x.20x+77.4. y = 10x+3.7.10. y = (x + 1) e3x+3.1/55x.7.5. y = 4+30x.7.11. y = e7x+67.6. y = a15x .7.12. y = 4x+112x+5 .√ln(4+5x)7.7. y = ln(10) .7.13. y = x + 1.7.14. y = sin (2x + 2) + cos (2 + x) .2x+7.7.15. y = 52+39xЗадачаyx0 .( 8. Найти производную2x = 1 + cos2 3t ,8.1.cos 3ty = sin.23t(2,x = ln 1−t1+t√8.2.y = 1 − t4 .(1x = arccos t+1,√8.3.1.y = t2 + 2t + arcsin t+1(x = ln15t , √8.4.2y = ln 1+ 1−25t.5t7778Типовой расчет√x=parcsin t − 1,√8.5.y = 1 + t − 1.(2x = arcsin t3 ,5.6.t3.y = √1−t6(√2 + 1,x = 2t 4t√8.7.2y = ln 1+ 2t1+4t .(x = arctg5t,√8.8.2y = ln 1+25t.5t+1(x = ln −t2 − 2t ,√8.9.y = arcsin −t2 − 2t.(2t+1,x = arctg 2t−1√8.10.y = arcsin 1 − 4t2 .q(2tx = ln 1−sin,1+sin2t8.11.y = 21 tg2 2t + ln cos 2t.q(√2x = 2t − 4t − arctg 1−2t2t ,8.12.√√√y = 2t − 1 − 2t arcsin 2t.(x = ln (tg 3t) ,8.13.y = sin12 3t .(√2ln 3t1 − 9t2 ,+lnx = 9t1−9t2√8.14.3ty = √1−9tarcsin3t+ln1 − 9t2.2(2x = esec 2t ,8.15.y = tg 2t · ln cos 2t + tg 2t − 2t.(Производная79Задача 9.
Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.cos 2 x9.1. lim cos 7tgx+.210 xx→πcos 3xx − π/6 − 1) .(3x→π/6(1 − cos 3x)−19.3. lim 1 − 2 sin2 xx→0x(cos(4x)−1)9.4. lim e cos(6x)−1x→π29.5. lim eπsin(xπx−1).3−1x→1 √3x−19.6. lim ln(2cos2 x) .−cosx→021− 1)x .9.7. lim (2 cos2 2xx→∞21 + 2 x − 2.9.8. lim (ln(1+ 3 x))x→0√√38x8 +1− 3 8x8 +3x+19.9. lim.cos2 (1/x)x→+∞2 πx1−2 sin9.10. lim 1−√x 4 .x→13− π 3 )5 x9.11.
lim e(x1 − cos 2 x − 1 .x→π2(3x/4).9.12. lim ex1−−π2−sinsin(17π/2)x→π.9.13. lim ln(cos(1/x))2x→∞ 2√1/x − 1√4 4x + 2 x+ 1 − 3 x3 + 3 x9.14. lim.e1/x − 1x→+∞1x− ln(x)9.15. lim x−1x→19.2. lim.Рекомендуем проверить свои знания, отвечая на теоретические вопросы итеоретические упражнения, приводимые ниже7 .Теоретические вопросы1. Понятие производной. Производная функции xn .2. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали кграфику функции.3. Понятие дифференцируемости функции и дифференциала. Условие дифференцируемости.Связь дифференциала с производной.4. Геометрический смысл дифференциала.5. Непрерывность дифференцируемой функции.7См. Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике.
Типовые расчёты.- Изд-во «Лань»,2005.-240 с.80Типовой расчет6. Дифференцирование постоянной и суммы, произведения и частного.7. Производная сложной функции.8. Инвариантность формы дифференциала.9. Производная обратной функции.10. Производные обратных тригонометрических функций.11. Гиперболические функции, их производные.12. Производные высших порядков, формула Лейбница.13. Правило Лопиталя.14.
Дифференцирование функций, заданных параметрически.Теоретические упражнения1. Исходя из определения производной, доказать, что(a) а) производная периодической дифференцируемой функции есть функцияпериодическая;(b) б) производная четной дифференцируемой функции есть функциянечетная;(c) в) производная нечетной дифференцируемой функции есть функциячетная.2. Доказать, что если функция f (x) дифференцируема в точке x = 0 иf (0) = 0 , то f 0 (0) = lim f (x).xx→03. Доказать, что производная f 0 (0) не существует, если(x sin (1/x) , x 6= 0,4. f (x) =0,x = 0.5. Доказать, что производная от функции(x2 sin (1/x) , x 6= 0,6.
f (x) =0,x = 0.7. разрывна в точке x = 0 .8. Доказать приближенную формулу(a)√a2 + z ≈ a + z/ (2a), a > 0, |z| a.81Графики9. Что можно сказать о дифференцируемости суммы f (x) + g (x) в точкеx = x0 если, в этой точке:10. а) функция f (x) дифференцируема, а функция g (x) не дифференцируема;11. б) обе функции f (x) и g (x) не дифференцируемы.12. Пусть функция f (x) дифференцируема в точке x0 и f (x0 ) 6= 0 , а функцияg (x) не дифференцируема в этой точке. Доказать, что произведение f (x) g (x)является недифференцируемым в точке x0 .13. Что можно сказать о дифференцируемости произведения f (x) g (x) в предположенияхзадачи?(a) Рассмотреть примеры:(b) а) f (x) = x, g (x) = |x| , x0 = 0;(sin (1/x) , x 6= 0,(c) f (x) = x, g (x) =0,x = 0,x0 = 0;(d) б) f (x) = |x| , g (x) = |x| , x0 = 0;(e) f (x) = |x| , g (x) = |x| + 1, x0 = 0.14.
Найти f 0 (0) , если f (x) = x (x + 1) ... (x + 1234567) .15. Выразить дифференциал d3 y от сложной функции y [u (x)] через производныеот функции y (u) и дифференциалы от функции u (x) .16. Пусть y (x) и x (y) дважды дифференцируемые взаимно обратные функции.Выразить x00 через y 0 и y 00 .Типовой расчёт «Графики»Задача 1. Построить графики функций с помощью производнойпервого порядка.1.1. y = 8x3 − 6 x.1.2. y = 16x (−x − 1)4 .1.3.
y = 8x3 + 12x2 − 2.1.4. y = −2x3 + 9x2 − 12 x.1.5. y = (2x + 1)2 (2x + 3)2 .82Типовой расчет1.6. y = 1 − x2 − 2x1/3.1/321.7. y = −4x + 8 − 6 (−x + 2).1.8. y = (x (x + 2))1/3 .2 1/3361/3 ((−x−1) )1.9. y = 2x2 −4 x+18 .1/321.10. y = 3 (−x + 4)+ 2x − 8.= −216x3 + 18x.= 54x3 + 81x2 + 36x.1/3= 1 − 9x2 + 6x.= −216x3 + 108x2 − 2.1/321.15. y = 12x + 8 − 6 (3x + 2).Задача 2. Исследовать поведение функций в окрестностях заданныхточек с помощью производных высших порядков.2.1. y = 6 e2x − 8x3 − 12x2 − 12x − 5, x0 = 0.2.2.
y = 4 x2 − 4x − 2e2x−2, x0 = 1.2.3. y = cos (2x − 1)2 + 4x2 − 4x, x0 = 12 .2.4. y = 6 e2x+1 − 8x3 − 24x2 − 30x − 16, x0 = − 21 .2.5. y = 4 x2 − 2e2x−1, x0 = 12 .2.6. y = sin (2x) + sh (2x) − 4x, x0 = 0.2.7. y = 4 x2 − 4x − 2e2x−2, x0 = 1.2.8. y = 4 x2 − 8x + cos (2x − 2)2 , x0 = 1.2.9. y = 6e−x + x3 − 3x2 + 6x − 5, x0 = 0.2.10.
y = x2 + 2x − 2e−x−2, x0 = −2.2.11. y = cos (x + 1)2 + x2 + 2x, x0 = −1.2.12. y = x2 − 2e−x−1, x0 = −1.2.13. y = x2 + 2x − 2e−x−2, x0 = −2.2.14. y = x2 + 4x + cos (x + 2)2 , x0 = −2.2.15. y = − sin (x) − sh (x) + 2x, x0 = 0.Задача 3. Найти асимптоты и построить графики функций.1.11.1.12.1.13.1.14.yyyy3.1. y =3.2. y =3.3.
y =−3x2 +77x+3 .54x3 −27x2 −6x+1.−27x2 +127x3 +9x2 −9x−1.18x2 −227x2 −76x+1 .2−1.y = √18x9x2 −22+18x+9.y = 9x 3x+43.4. y =3.5.3.6.83Графики−9x2 −8√.9x2 −423.8. y = √9x81x+162 −8 .2+213.9. y = −4x−14 x+9 .2−73.10. y = 12x−4x+1 .23.11. y = √8x4x2−1.−23.7. y =3.12. y =3.13. y =3.14. y =3.15. y =4x2 −12x+9−2 x+4 .2−2x√ −4 .2x −12√2x +8 .9x2 −2−8x3 +4x2 +6x−1.8x2 −2Задача 4. Провести полное исследование функции и построить еёграфик.5x−34.1. y = e5x−3 ..4.2. y = ln 5x+65x5x−14.3. y = 2 ln 5x + 1.4.4. y = (10x + 5) e−10x−4.1/34.5.
y = (2 − 5x) 25x2 − 20x + 1.1/34.6. y = (5x + 1) 25x2 + 10x − 2.1/34.7. y = (5x − 3) 25x2 − 30x + 6.1/3.4.8. y = 251/3 (3 + 5x) x21/3 1/3224.9. y = (5x − 2)− (5x − 3).−x−3ey = −x−3.y = ln − −x+6− 1.xy = (−2x + 5) e2x−4.1/3y = (x + 2) x2 + 4x + 1.1/3.4.14. y = (3 − x) x2+ 1.4.15. y = 2 ln − −x−1xЗадача 5. Провести полное исследование функций и построить ихграфики.√15.1. y = sin(2x)−cos(2x)5.9. y = ln 2 sin (x + 1) ..5.10. y = esin(x+1)−cos(x+1) .5.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
