Лекции Бободжанова (1153550), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Несобственные интегралыСначала рассмотрим интегралы с бесконечными пределами.Определение 7.1. Пусть функция f (x) интегрируема на любомотрезке [a, N ] ⊂ [a, +∞) . Тогда если существует конечный пределRNR +∞lim a f (x) dx = I, то говорят, что интеграл a f (x) dx сходится.N →+∞R +∞При этом пишут a f (x) dx = I. Если же указанный предел не существуетR +∞или равен бесконечности, то говорят, что интеграл a f (x) dx расходится(см. рис. 7.1).yАналогично определяются интегралыZbf (x) dx = limSOx = limaРис. 7.1N →+∞−∞N →+∞ZZbf (x) dx,−Ncf (x) dx + lim−NM →+∞Z+∞f (x) dx =−∞ZMf (x) dxc(здесь c − произвольная конечная точка).Эти интегралы называют несобственнымиинтегралами первого рода.
Их геометрический смысл ясен из рис.R +∞7.1, где площадь S = a f (x) dx. Теперь рассмотрим интегралыот неограниченных функций.Определение 7.2. Если функция f (x) не ограничена в окрестноститочки x = b (ее называют особой точкой) и является интегрируемойна любом отрезке [a, b − ε] ⊂ [a, b) , то по определению полагаютRbR b−εf(x)dx=limf (x) dx. Если этот предел существует и конечен,aaε→+060Лекция 7Rbто говорят, что интеграл a f (x) dx второго рода сходится. В противномслучае он называется расходящимся.
Аналогичный смысл имеют интегралы(второго рода)Zbf (x) dx = limε→+0aZbf (x) dx,a+εZabf (x) dx =Zcf (x) dx+aZbf (x) dx,cгде в первом случае точка x = a является особой, а во втором случаеточка c ∈ (a, b) является особой. Поскольку заменой переменной t =Rb1= b−xинтеграл второго рода a f (x) dx ( x = b − особая точка)сводится к интегралу первого рода, то будем изучать только интегралыс бесконечным верхним пределом.
Сначала покажем, что эталонныйинтеграл( a > 0 )"Z +∞dxсходится, если α > 1,=αxрасходится, если α ≤ 1.aДействительно, имеемZaNdx=xα"ln x|x=Nx=a = ln N − ln a, α = 1,N −α+1a−α+1xx=N|=−, α 6= 1.−α+1 x=a−α+1−α+1−α+1Переходя здесь к пределу при N → +∞, получаем наше утверждение.С помощью эталонного интеграла можно исследовать сходимость другихнесобственных интегралов.Теорема сравнения 1. Пусть функции f (x) и g (x) интегрируемына произвольном отрезке [a, N ] ⊂ [a, +∞) и имеют место неравенстваR +∞0 ≤ f (x) ≤ g (x) (∀x ∈ [a, +∞)) .
Тогда если сходится интеграл a g (x) dx,R +∞R +∞то и сходится интеграл a f (x) dx. Если же интеграл a f (x) dxR +∞расходится, то и расходится интеграл a g (x) dx.Теорема сравнения 2. Пусть функции f (x) и g (x) положительныи интегрируемы на произвольном отрезке [a, N ] ⊂ [a, +∞) . Пусть,(x)кроме того, существует предел lim fg(x)= K6=6=0∞. Тогда интегралыx→+∞R +∞R +∞f (x) dx и a g (x) dx сходятся или расходятся одновременно.aЗамечание 7.1. При применении этих теорем часто используется7.1. Несобственные интегралы61эквивалентность бесконечно малых функций.Таблица 1.1 эквивалентных бесконечно малыхЕсли u (x) → 0 при x → x0, то при x → x0 верны следующиесоотношения:1) sin u ∼ u,2) tgu ∼ u,3) arcsin u ∼ u,4) arctg u ∼ u,15) 1 − cos u ∼ u2 ,2u6) e − 1 ∼ u,7) au − 1 = u ln a, a > 0, a 6= 1,8) ln(1 + u) ∼ u,9) (1 + u)σ − 1 ∼ σ · u, σ = const.1R +∞ sin 1sin 1Например, интеграл 1 3+x√x x dx сходится, так как 3+x√x x ∼ x√x x =R +∞ dx1иинтегралсходится ( α = 5/2 > 1 ; см.
эталонный1x5/2x5/2интеграл и теорему сравнения 2).Отметим, что теоремы сравнения верны лишь для неотрицательныхподынтегральных функций. Если эти функции не являются знакопостоянными,R +∞то вводят понятие абсолютной сходимости: говорят, что интеграл a f (x) dxR +∞сходится абсолютно, если сходится интеграл a |f (x) |dx. Если последнийR +∞интеграл расходится, а сам интеграл a f (x) dx сходится, то егоназывают условно сходящимся интегралом.R +∞Нетрудно показать, что из сходимости интеграла a |f (x) |dxR +∞вытекает обычная сходимость интеграла a f (x) dx.Обратное, вообще говоря, неверно. Можно показать, например, чтоR +∞ sin xR +∞ sin x dx расходится.интеграл 1x dx сходится, а интеграл 1xТем не менее, при исследовании сходимости интегралов от знакопеременныхфункций изучают сначала их абсолютную сходимость (здесь можноприменить теоремы сравнения), а затем − условную сходимость.62Лекция 7R +∞ sin xНапример, рассмотрим интеграл 2 xlndx .
Здесь подынтегральная2xфункция изменяет знак на полуинтервале [2, +∞) , поэтому применитьк нему теоремысравнения нельзя. Рассмотрим “модульный” интегралR +∞ sin x I = 2 xln2 x dx. Здесь подынтегральная функция неотрицательна,и поэтому к этому интегралу можно применить теорему сравнения 1: sin x ≤ 1 (∀x ∈ [2, +∞)) . xln2 x xln2 xR +∞R +∞x)Так как интеграл 2 xlndx2 x = 2 d(ln= ln12 <= − ln1x |x=+∞x=2ln2 x< ∞ сходится, то и интеграл I также сходится, а, значит, исходныйR +∞ sin xинтеграл 2 xlndx сходится абсолютно.2x7.2. Вычисление площадей плоских фигурИз геометрического смысла определенного интеграла вытекает следующееутверждение.Теорема 7.1. Если фигура D задана неравенствами a ≤ x ≤≤ b, f1 (x) ≤ y ≤ f2 (x) , где функции f1 (x) , f2 (x) непрерывны наотрезке [a, b] , то площадь этой фигуры вычисляется по формулеRbSD = a [f2 (x) − f1 (x)] dx. Если фигураy y = f2(x)ограничена линиями y = f (x) , y = 0 (a ≤ x ≤ b) , причемфункция f (x) знакопеременна и непрерывнана отрезке [a, b] , то её площадь равнаRba |f (x) |dx.bxOaДействительно, фигуру D можно перенестипараллельно оси Oy вверх и тогда онаy = f1(x)будет сверху и снизу ограничена линиямиРис.
7.2y = f2 (x) + C, y = f1 (x) + C C ≥ min f1 (x) .x∈[a,b]RbRbRbПоэтому SD = a (f2 (x) + C) dx− a (f1 (x) + C) dx = a [f2 (x) − f1 (x)] dx.Переходя к вычислению площади в полярных координатах, напомним,что любая точка M (x, y) на плоскостивполне однозначно определяется−−→ −→−−→своим полярным радиусом OM = ρ и полярным углом θ = OM ,∧ Ox , 0 ≤7.3. Вычисление длины дуги63θ < 2π (считаем, что началу координат O соответствует радиус ρ = 0и любой фиксированный полярный угол θ ∈ [0, 2π) ).
Поэтому любуюкривую на плоскости можно задать уравнением ρ = ρ (θ) , α ≤ θ ≤ β.Переход от декартовых координат точки M (x, y) к полярным осуществляетсяформуламиx = ρ cos θ, y = ρ sin θ.yyТеорема 7.2. Пусть фигураD задана в полярных координатахβρ = ρ(θ) неравенствами 0 ≤ ρ ≤ ρ (θ) , α ≤θ ≤M(x,y)yαρ≤ β (рис. 7.3), причем фун- кцияρ = ρ (θ) непрерывна на отрезкеθxx O[α, β] . Тогда площадь этой фигурыOxвычисляется по формуле SD =Рис. 7.3R1 β 2ρ (θ) dθ. Если фигура описывается неравенствами2 αbρ1 (θ) ≤ ρ ≤ ρ2 (θ) , α ≤ θ ≤ β,причем функции ρ1 (θ) , ρ2 (θ) непрерывны на отрезке [α, β] , то её площадьRβвычисляется по формуле SD = 12 α ρ21 (θ) − ρ22 (θ) dθ.Площади фигур с замкнутой границей удобно вычислять, еслиграница задана в параметрической форме.Теорема 7.3.
Пусть фигура D имеет границу Γ, заданную параметрическиуравнениямиx = x (t) , y = y (t) , α ≤ t ≤ β,причем при возрастании параметра t от α к β обход границы Γсовершается так, что сама область D остается слева от наблюдателя.Если при этом функции x0 (t) , y (t) непрерывны на отрезке, то площадьRβRβэтой фигуры вычисляется по формуле SD = − α y (t) x0 (t) dt ≡ − α ydx|x=x(t),y=y(t)(здесь t = α − начало обхода, t = β − конец обхода границы Γ ).7.3. Вычисление длины дуги64Лекция 7Пусть на плоскости Oxy задана некоторая незамкнутая кривая Γ(см. рис.7.4).
Произведем разбиение_M0 Mn=n−1[_Mi Mi+1(∆)i=1_Mi Mi+1,этой дуги на частичные дугив каждую из которых впишемхорду Mi Mi+1 . Тогда получим ломанную M0M1 ...Mn , вписанную вдугу Γ . Пусть ∆si = |Mi Mi+1|− длина хорды Mi Mi+1 .yyОпределение 7.3. ЗаMi+1 длину дуги l кривой Γ принимаютM1 M2 f (xi+1)предел, к которому стремитсяпериметр ломанной, вписаннойMn f (xi)M0Miв эту дугу, при стремленииxx длины максимального звенаOO xi xi+1этой ломанной к нулю, т.Pn−1Рис. 7.45е.
l = limi=0 ∆si .bbbbbbbmax ∆si →0Если кривая Γ замкнутая,то разбивают ее двумя несовпадающими точками на две незамкнутыеSкривые Γ1 и Γ2 (Γ = Γ1 Γ2 ) и тогда дл. Γ = дл. Γ1+ дл. Γ2.Теорема 7.4. Если дуга Γ задана уравнением y = f (x) , a ≤≤ x ≤ b, где функция f (x) непрерывно дифференцируема на отрезке[a, b] , то ее длина вычисляется по формулеZ bql=1 + (f 0 (x))2 dx.(7.1)aДоказательство. Произведем разбиение a = x0 < x1< · · · << xn = b отрезка [a, b] на частичные отрезки [xi, xi+1] .
Это разбиение_порождает разбиение (∆) дуги Γ на частичные дуги Mi Mi+1. ПоPn−1определению 7.3 имеем l = limi=0 ∆si . Длина хорды Mi Mi+1max ∆si →0равна (см. рис.7.4) величинеqp22∆si = ∆xi + ∆yi = ∆x2i + (f (xi+1) − f (xi))2 =rr=51+f (xi+1 )−f (xi )∆xi2∆xi =1+f (xi+1 )−f (xi )xi+1 −xi2∆xi.Если этот предел существует и конечен, то дуга l называется спрямляемой.7.3. Вычисление длины дуги65По теореме Лагранжа существует точка ci ∈ (xi, xi+1) такая, чтоf (xi+1) − f (xi ) = f 0 (ci ) (xi+1 − xi)qпоэтому ∆si = 1 + (f 0 (ci ))2 ∆xi. Учитывая это, получаем, чтоl=limmax ∆si →0n−1X∆si =i=0limmax ∆xi →0n−1 qX1 + (f 0 (ci ))2 ∆xi =i=0Z bq=1 + (f 0 (x))2dx.aТеорема доказана.qЗамечание 7.2.
Величина dl = 1 + (f 0 (x))2 dx называется дифференциаломдуги y = f (x) , a ≤ x p≤ b. Учитывая, что f 0 (x) dx = dy, её можнозаписать в виде dl = dx2 + dy 2 . Мы получили теорему Пифагорадля криволинейного треугольника с катетами dx, dy и “гипотенузой”dl. Теперь формулу (7.1) для вычисления длины дуги можно записатьRbкратко так: l = a dl. Эта форма записи длины дуги особенно удобна,если дуга Γ задана параметрически или в полярной форме. Из нееможно получить следующие утверждения.Теорема 7.5.
Если дуга Γ задана параметрически уравнениямиx = x (t) , y = y (t) , t ∈ [α, β] , где функции x (t) , y (t) непрерывнодифференцируемы на отрезке [α, β] , то ее длина вычисляется поформулеZ βpl=ẋ2 (t) + ẏ 2 (t) dt.αЕсли дуга Γ задана в полярных координатах уравнением ρ = ρ (θ) , ϕ1 ≤θ ≤ ϕ2, где функция ρ (θ) непрерывно дифференцируема на отрезке[ϕ1, ϕ2] , то её длина вычисляется по формулеZ ϕ2 pl=ρ2 (θ) + ρ02 (θ) dθ.ϕ1Действительно, если Γ задана в параметрической форме, тоpppdl = dx2 + dy 2 = ẋ2 (t) dt2 + ẏ 2 (t) dt2 = ẋ2 (t) + ẏ 2 (t) dt ⇒66Лекция 7⇒l=Zβαpẋ2 (t) + ẏ 2 (t) dt.Рекомендуем получить формулу длины дуги в полярных координатахсамостоятельно.Например, если дуга Γ задана уравнением ρ = 2 cos θ, 0 ≤ θ ≤≤ π/6, то её длина равнаl=Z0π/6 p4 cos2 θ + 4 sin2 θdθ = 2 ·ππ= .637.4.
Вычисление объёмов телС помощью определенного интеграла можно вычислять объемытел. Дадим соответствующие формулы.zТеорема 7.6. Пусть тело Wзаключено между плоскостями x =a и x = b, а S = S (x) − площадьS(x)его поперечного сечения плоскостьюx = const. Если функция S (x) непрерывнаx на отрезке [a, b] , то объём тела W вычисляетсяO a xbпо формулеyZ bРис. 7.5V =S (x) dx.aДоказательство. Произведем разбиение отрезка [a, b] :a = x0 < x1 < ... < xn = b(∆)на частичные отрезки [xi, xi+1] и обозначим λ = max ∆xi = max (xi+1 − xi ) − диамi=0,n−1i=0,n−1разбиения (∆) .
Плоскости x = xi разобьют тело W на тела Wi,которые можно приближенно считать прямыми круговыми цилиндрамивысотой h = ∆xi и основаниями − кругами площади S = S (x̄i) , где7.4. Вычисление объёмов тел67x̄i − произвольная фиксированная точка отрезка [xi, xi+1] , S (x̄i) − площадьпоперечного сечения плоскостью x = x̄i .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
