Лекции Бободжанова (1153550), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Производные и дифференциалы высших порядковПроизводная f 0 (x) сама является функцией от x, поэтому можновзять от нее производную. Полученная таким образом функция (еслиона существует) называется второй производной от функции y = f (x)000и обозначается f 00 (x) ≡ (f 0 (x)) = yxx(x) . И вообще:если известна производная (n − 1) -го порядка f (n−1) (x) , то производная0n -го порядка определяется так: f (n) (x) ≡ f (n−1) (x) . При этомфункция y = f (x) называется n раз дифференцируемой в точке x.Аналогично определяются дифференциалы высшего порядка. Именно:если известен дифференциал dn−1f (x) (n − 1) -го порядка то дифференциалn -го порядка определяется так: dn f (x) = d dn−1f (x) ; при этомдифференциал dx = ∆x независимой переменной и все его степени(dx)k ≡ dxk считаются постоянными дифференцирования.3.2.
Производные и дифференциалы высших порядков 230Имеем d2y = d (dy) = d (f 0 (x) dx) = (f 0 (x)) ·dx·dx = f 00 (x) dx2. Ивообще, справедливо утверждение: если функция y = f (x) дифференцируемаn раз в точке x, тоdn y = f (n) (x) dxn.Нетрудно доказать следующее утверждение.Теорема 3.1. В области определения выписанных ниже функцийсправедливы равенства:10) (xα )(n) = α (α − 1) ...(α − n + 1) xα−n (α = const.) ,20) (ax )(n) = (lnn a) · ax30) (sin x)(n)x (n)a>0= ex ,6=1 = const. , (e )= sin x + n · π2 , (cos x)(n) = cos x + n · π2 .Производные n -го порядка являются линейными операциями,т.е.(C1u (x) + C2 v (x))(n) = C1u(n) (x) + C2 v (n) (x) (C1, C2 = const.) .Производная n -го порядка для произведения uv вычисляется довольносложно.Формула Лейбница.
Если функции u = u (x) , v = v (x) дифференцируемы n раз в точке x, то имеет место равенство(n)(uv)== u(n) vnXCnk u(n−k) v (k) =k=0+ Cn1u(n−1) v 0(3.1)+ Cn2u(n−2)v 00 + ... + Cnn−1u0 v (n−1) + uv (n) .Здесь: Cnk = n(n−1)...(n−k+1)− число сочетаний2 из n элементов поk(k−1)...3·2·1k, нулевая производная функции g (x) совпадает с ней самой: g (0) ≡≡ g (x) .Легко видеть, что формула (3.1) напоминает формулу бинома Ньютона;только в ней вместо произведения степеней um v n стоит произведениепроизводных u(m) v (n) . Учитывая это, легко записать, например, третьюпроизводную от произведения:000(uv) = [(u+v)3 = u3 v 0+3u2v 1 +3u1v 2 +u0v 3 ] = u000v+3u00v 0 +3u0v 00 +uv 000.2Полезно знать, что Cnk = Cnn−k .24Лекция 33.3. Формула Тейлора с остаточными членами в формеПеано и ЛагранжаПри вычислении пределов функций мы использовали таблицу эквивалентныхбесконечно малых.
Например, при вычислении предела lim (sin x/tg x)x→0мы использовали формулы sin x ∼ x, tg x ∼ x. Однако этих формулне достаточно для вычисления пределаx − sin x.x→0x3lim(3.2)Нужны более точные формулы или так называемые асимптотическиеразложения высших порядков. Переходя к описанию таких разложений,введем следующее понятие.Определение 3.1.
Пусть функция f (x) определена в некоторойпроколотой окрестности точки x = x0. Говорят, что функция f (x)имеет в точке x = x0 асимптотическое разложение n -го порядка,если существуют числа Aj j = 0, n такие, что f (x) в некоторойпроколотой окрестности U̇x0 (δ) представляется в видеf (x) = A0 + A1 (x − x0) + ...
+ An (x − x0)n + o ((x − x0 )n ) .(3.3)Здесь o ((x − x0)n ) = (x − x0)n · o (1) (x → x0) .Равенство (3.3) означает, что функция f (x) аппроксимируется внекоторой малой окрестности точки x = x0 многочленом (с точностьюдо o ((x − x0)n ) ). В каком случае функция f (x) имеет асимптотическоеразложение n -го порядка? Ответ на этот вопрос содержится в следующемутверждении.Теорема 3.2. Пусть функция f (x) имеет в точке x = x0 производные f (0) (x0) ≡f (x0) , f 0 (x0) , ..., f (n) (x0 ) до n -го порядка включительно.
Тогда f (x)имеет в точке x = x0 асимптотическое разложение n -го порядкавидаP(k)f (x) = nk=0 f k!(x0 ) (x − x0)k + o ((x − x0)n ) ≡0f 00 (x0 )20)(3.4)≡ f (x0) + f (x(x−x)+01!2! (x − x0 ) ++... +f (n) (x0 )n!(x − x0)n + o ((x − x0)n ) (x → x0)Формула Тейлора остаточными членами в форме Пеано иЛагранжа25(формулу (3.4) называют формулой Тейлора с остаточным членомo ((x − x0)n ) в форме Пеано или локальной формулой Тейлора).P(k)Если в (3.4) положить x0 = 0, то получим формулу f (x) = nk=0 f k!(0) xk + o (xn) (xназываемую формулой Маклорена-Тейлора. Приведем формулы МаклоренаТейлора для основных элементарных функций.Теорема 3.3.
Имеют место следующие разложения:xkx2xnn+o(x)≡1+x++...+k=0 k!2!n! +Pn (−1)k x2k+1sin x = k=0 (2k+1)! + o x2n+1 ≡3x2n+1x − x3! + ... + (−1)n (2n+1)!+ o x2n+1 (x → 0) ,k 2kPx2ncos x = nk=0 (−1)≡+ox(2k)!2n2nx+ o x2n (x → 0) ,1 − x2! + ... + (−1) (2n)!Pkln (1 + x) = nk=1 (−1)k−1 xk + o (xn) ≡2nx − x2 + ...
+ (−1)n−1 xn + o (xn) (x → 0) ,2(α−n+1)xn+...++(1 + x)α = 1 + αx + α(α−1)x2!n!n1. ex =2.≡3.≡Pno (xn) (x → 0) ,4.≡5.+o (x ) (x → 0, α = const) .Доказательство этих формул базируется на подсчёте производнойn -го порядка соответствующей функции. Докажем, например, формулу2.Итак, пусть f (x) = sin x. По теореме 3.1 имеемf (n) (x) = sin x + n · π2 ⇒ f (0) = 0, f 0 (0) = sin π2 = 1,f 00 (0) = sin 2 · π2 = 0,f 000 (0) = sin 3 · π2 = −1,( ...,0, n = 2k,f (n) (0) = sin n · π2 =cos πk = (−1)k , n = 2k + 1.Значит, в формулеf (x) =nXf (r) (0)r=0r!rnx + o (x ) =n (2k)Xf(0)k=0f (2k+1) (0) 2k+1x +x+(2k)!(2k + 1)!+o x2n+12k26Лекция 3будут отсутствовать все четные степени x, а слагаемые с нечетнымиk 2k+1(2k+1)(0) 2k+1xстепенями f(2k+1)!xимеют вид (−1).
Следовательно имеет(2k+1)!место формула 2.Замечание 3.1. В формуле 2 остаточный член можно записать ввиде o x2n+2 , а в формуле 3 − в виде o x2n+1 (почему?).Теорема 3.2 аппроксимирует функцию f (x) лишь в достаточномалой окрестности точки x = x0. Условия представления функцииf (x) на некотором отрезке [x0 − h, x0 + h] (где h > 0 может бытьдостаточно большим) по формуле Тейлора описаны в следующем утверждении.Теорема 3.4. Пусть функция f (x) удовлетворяет следующимусловиям:1) f (x) , f 0 (x) , ..., f (n) (x) существуют и непрерывны на отрезке[x0 − h, x0 + h] ;2) производная f (n+1) (x) существует и конечна по-крайней мерена интервале (x0 − h, x0 + h) .Тогда для всех x ∈ [x0 − h, x0 + h] функция f (x) представляетсяв видеP(k)(n+1)f (x) = nk=0 f k!(x0 ) (x − x0)k + f(n+1)!(c) (x − x0)n+1 ≡0f 00 (x0 )20)(3.5)≡ f (x0 ) + f (x(x−x)+01!2! (x − x0 ) ++...
+f (n) (x0 )n!(x − x0)n +f (n+1) (c)(n+1)!(x − x0)n+1 ,где точка x = c находится между точками x0 и x (c = x0 + θ · (x − x0) , 0 < θ < 1)Формулу (3.5) называют (глобальной) формулой Тейлора с остаточным(n+1)членом f(n+1)!(c) (x − x0 )n+1 в форме Лагранжа.Если в формуле (3.5) положить n = 1, то получим равенство f (x)−− f (x0 ) = f 0 (c) (x − x0) , или, обозначая x = b, x0 = a, будем иметьf (b) − f (a) = f 0 (c) (b − a) , c ∈ (a, b).(3.6)Эту формулу называют формулой Лагранжа.
Она верна в случае,когда функция f (x) непрерывна отрезке [a, b] , а f 0 (x) существуети конечна по-крайней мере на интервале (a, b) . Если, кроме того,выполняется условие f (a) = f (b) , то существует точка c ∈ (a, b)такая, что f 0 (c) = 0 (теорема Ролля).3.4.
Применения формулы Тейлора273.4. Применения формулы Тейлораа) Приближенное вычисление значений функции. Если в формуле(3.4) (или (3.5)) отбросить остаточный член, то получим приближенноезначение функцииf (x) ≈nXf (k) (x0)k=0k!(x − x0)kс точностью до модуля остаточного члена. Если величина |x−x0| 1,то и погрешность этого приближенного равенства будет очень малой.35 13. При этомНапример, sin 21 ≈ 12 − 21 + 21 = 32 3 5 ! 1 6(6)θ·2 1111111 sin+≤ 6 =−.sin −≤ 222226!2 6! 46080б) Вычисление пределов. Ранее мы отметили, что при вычисленииxпредела lim x−sinне достаточно формулы эквивалентности sin θ ∼x3x→0∼ θ (θ → 0) , так как при использовании этой формулы не исчезаетнеопределенность.
В таких случаях пользуются локальной формулойТейлора (3.4), записывая в ней столько слагаемых, чтобы стало возможнымликвидировать неопределенность. В нашем примере поступаем так:x33x33x − x − 3! + o x+oxx − sin xlim= lim= lim 3!=33x→0x→0x→0xxx3111+ o (1) = = .= limx→0 3!3! 628Лекция 33.5. Правило Лопиталя∞Другой способ раскрытия неопределенностей типа 00 или ∞доставляеттак называемое правило Лопиталя, к изложению которого мы переходим.Теорема Лопиталя 00 . Пусть функции f (x) и g (x) в некоторойпроколотой окрестности U̇a = {0 < |x − a| < δ} удовлетворяют требованиям:1) f (x) и g (x) непрерывны и дифференцируемы в U̇a ;2) g 0 (x) 6= 0 ∀x ∈ U̇a;3) lim f (x) = lim g (x) = 0.x→ax→aЕсли при этом существует (конечный или бесконечный) предел отношения0(x)производных: lim fg0(x)= P, то и существует равный ему пределx→a(x)отношения самих функций: lim fg(x)= P.x→a.
Пусть функции f (x) и g (x) в некоторойТеорема Лопиталя ∞∞проколотой окрестности U̇a = {0 < |x − a| < δ} удовлетворяют требованиям:1) f (x) и g (x) непрерывны и дифференцируемы в U̇a;2) g 0 (x) 6= 0 ∀x ∈ U̇a ;3) lim f (x) = lim g (x) = ∞.x→ax→aЕсли при этом существует (конечный или бесконечный) предел отношения0(x)= P, то и существует равный ему пределпроизводных: lim fg0(x)x→a(x)отношения самих функций: lim fg(x)= P.x→aНапример, для рассмотренного выше предела имеемx − sin x=limx→0x3 1 − cos xx2/2 10(x − sin x)0= lim= lim= .= limx→0x→0 3x2x→00(x3)03x26Для усвоения изложенной теории рекомендуем выполнить задачииз типового расчета “Производные,” помещённого в конце пособия.Лекция 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
