Лекции Бободжанова (1153550), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Эквивалентные бесконечно малыеДоказательство. Докажем, например, теорему о пределе произведения.Так как существуют пределы lim f (x) = P1 , lim g (x) = P2 , то поx→x0x→x0теореме 1.4 имеют место асимптотические разложения f (x) = P1 +o(1) (x → x0) , g (x) = P2 +o(1) (x → x0) . Умножая эти равенства другна друга, будем иметьf (x) · g (x) = P1 P2 + P1 · o(1) + P2 · o(1) + o(1) · o(1).Поскольку Pj = const = O(1) (x → x0) , то Pj · o(1) = o(1), j == 1, 2 (см. теорему 1.3).
Далее, поскольку o(1) · o(1) = o(1), o(1) ++ o(1) + o(1) = o(1), то функция f (x) · g (x) представляется в видеf (x) · g (x) = P1 P1 + o(1) (x → x0) . По теореме 1.4 отсюда следует, чтосуществует предел произведения f (x) · g (x) при x → x0 и он равенlim [f (x) · g (x)] = P1 · P2 = lim f (x) · lim g (x) .x→x0x→x0x→x0Теорема доказана.1.6.
Эквивалентные бесконечно малые. Таблицаэквивалентных бесконечно малыхВведем следующее понятие. Пусть x0 − конечная или бесконечнаяточка и пусть функции α (x) и β (x) определены в некоторой проколотойокрестности точки x0.Определение 1.5. Две бесконечно малые функции α (x) и β (x)(при x → x0 ) называются эквивалентными, если β (x) 6= 0 в некоторойпроколотой окрестности U̇x0 (δ) и еслиα (x)= 1.x→x0 β (x)limПри этом пишут: α (x) ∼ β (x) (x → x0) .Важность этого понятия становится ясной при формулировке следующегоутверждения, используемого при вычислении пределов.Теорема 1.6.
Если α (x) ∼ α1 (x) , β (x) ∼ β1 (x) (x → x0) и если(x)= P, то существует и предел lim α(x)существует предел lim αβ11(x)β(x)x→x0и он также равен числу P.x→x08Лекция 1α1 (x) α(x) β1 (x)Доказательство. Переходя в тождестве α(x)β(x) ≡ β1 (x) · α1 (x) · β(x) кпределу при x → x0 и учитывая, что α (x) ∼ α1 (x) , β (x) ∼ β1 (x) (x → x0) , получаемутверждение теоремы.Используя эту теорему, а также формулы:Таблица 1.1 эквивалентных бесконечно малыхЕсли u (x) → 0 при x → x0, то при x → x0 верны следующиесоотношения:1) sin u ∼ u,2) tgu ∼ u,3) arcsin u ∼ u,4) arctg u ∼ u,15) 1 − cos u ∼ u2 ,2u6) e − 1 ∼ u,7) au − 1 = u ln a, a > 0, a 6= 1,8) ln(1 + u) ∼ u,9) (1 + u)σ − 1 ∼ σ · u, σ = const.можно без особого труда вычислять пределы конкретных функций.− sin πu0πx==Пример 1.1.
P = lim sinx−10 = [x−1 = u, x = u+1] = limux→1[sin πu ∼ πu(u → 0)] =−πu= lim (−π) = −π.u→0u→0 u= limu→01.7. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечномалыми91.7. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечномалымиПусть функция f (x) определена в некоторой проколотой окрестностиU̇x0 (δ0) точки x = x0 .Определение 1.6. Функция f (x) называется бесконечно большойфункцией (ББФ) при x → x0, если для всякого R > 0 существуетчисло δ = δ(R) > 0 такое, что(∀x)(0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x)| > R).При этом пишут lim f (x) = ∞.x→x0Заметим, что ∞ − это не число, а символ, поэтому бесконечныйпредел − это всего лишь обозначение бесконечно большой функции.Тем не менее при вычислениях удобно относиться к бесконечному пределукак к обычному, хотя для бесконечных пределов и существуют своиправила действий, несколько отличные от правил действий над конечнымипределами (см.
ниже свойства 100 − 130 ).Если функция f (x) сохраняет знак в некоторой проколотой окрестноститочки x = x0 и является при этом бесконечно большой функцией, тоестественно писатьlim f (x) = +∞ ( lim f (x) = −∞)x→x0x→x0(в зависимости от знака функции f (x) в указанной окрестности).Более точно:def( lim f (x) = +∞) ⇔(∀R > 0∃δ = δ(R) > 0 :x→x0(∀x)(0 < |x − x0| < δ ⇒ f (x) > R)),def( lim f (x) = −∞) ⇔(∀R > 0∃δ = δ(R) > 0 :x→x0(∀x)(0 < |x − x0| < δ ⇒ f (x) < −R)).10Лекция 1В этих определениях и определении 5 фигурирует окрестностьU̇x0 (δ) = {x : 0 < |x − x0| < δ} ⊂ U̇x0 (δ0)конечной предельной точки x0(x0 6= ∞). Почти дословно определяютсябесконечно большие функции на бесконечности. В этом случае подточкой x = x0 следует понимать один из символов: ∞, −∞, +∞, апод окрестностью U̇x0 (δ) − окрестность соответствующей бесконечноудаленной точки x0.
Например,def( lim f (x) = −∞) ⇔(∀R > 0∃M = M(R) > 0 :x→+∞(∀x)(x > M ⇒ f (x) < −R)).Нетрудно доказать следующее утверждение.Теорема 1.7. Пусть функция α(x) не обращается в нуль в некоторойпроколотой окрестности U̇x0 (δ) точки x = x0 .
Тогда справедливовысказывание1(α(x) = o(1)(x → x0)) ⇔ f (x) =− ББФ (x → x0) .α (x)Иначе говоря, для того чтобы функция α(x) была бесконечно малойпри x → x0, необходимо и достаточно, чтобы обратная к ней повеличине функция f (x) = 1/α(x) была бесконечно большой при x →→ x0 .Используя эту теорему, можно доказать истинность следующихопераций над бесконечно большими функциями:100)( lim f (x) = ∞ ∧ lim g(x) = ∞) ⇒ lim [f (x) · g(x)] = ∞);x→x0x→x0x→x0110)( lim f (x) = +∞(−∞) ∧ lim g(x) = +∞(−∞) ⇒x→x0x→x0⇒ lim [f (x) + g(x)] = +∞(−∞);x→x0120)( lim f (x) = +∞(−∞) ∧ lim g(x) = −∞(+∞)) ⇒x→x0x→x01.7. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечномалыми11⇒ ( lim [f (x) − g(x)] = +∞(−∞));x→x00130)( lim f (x) = P6=6=∞∧ α(x) = o(1)(x → x0 ) ∧ α(x) 6= 0∀x ∈ U̇x0 (δ0)) ⇒x→x0f (x)⇒− ББФ (x → x0 ) .α(x)И, наконец, отметим ещё ряд свойств, связанных с пределамифункций.Теорема 1.8 (о пределе промежуточной функции).
Пусть в некоторойокрестности U̇x0 (δ) точки x = x0 выполняются неравенства ϕ (x) ≤f (x) ≤ ψ (x) и пусть, кроме того, крайние функции имеют пределыв точке x = x0 и эти пределы равны друг другу, т.е.lim ϕ (x) = lim ψ (x) = P.x→x0x→x0Тогда существует предел промежуточной функции и он равен P,т. е. lim f (x) = P.x→x0Теорема 1.9. Пусть в некоторой окрестности U̇x0 (δ) точкиx = x0 выполняются неравенства ϕ (x) ≤ f (x) и пусть существуютпределыlim ϕ (x) = P1 , lim f (x) = P2 .x→x0x→x0Тогда P1 ≤ P2 (докажите это утверждение самостоятельно).Теорема 1.10 (о знаке предела).
Если в некоторой проколотойокрестности U̇x0 (δ) функция f (x) неотрицательна (неположительна)и существует предел lim f (x) = P, то P ≥ 0 (соответственно P ≤x→x00 ).В тех случаях, когда при вычислении того или иного предела непосредственныйпереход к пределу при x → x0 приводит к одному из символов типа0 ∞∞ − ∞, 0 · ∞, , , 00, ∞0, 1∞,0 ∞возникает ситуация, в которой становятся неприменимы теоремы обарифметических действиях над пределами.
В таких случаях возникает12Лекция 1неопределенность при решении вопроса о существовании предела илиего величины. Эта неопределенность может быть снята после некоторыхтождественных преобразований. В этом случае говорят, что тождественныепреобразования приводят к раскрытию неопределенности. Пояснимсказанное примером.xПусть требуется вычислить предел P = lim x·sin. Если в указанном2x→0 tg xотношении мы сразу же перейдем к пределу, то получим неопределенностьтипа 0/0.
Что скрывается под этим символом, мы пока не знаем.Попробуем избавиться от неопределенности. Применим для этого таблицу1.1 эквивалентных бесконечно малых и теорему 1.5. Получим x · sin xx·x0P = lim== lim 1 = 1=limx→0 tg2 xx→0 x2 x→00Для усвоения изложенной теории рекомендуем выполнить задачииз типового расчета “Пределы,” помещённого в конце пособия.Лекция 2. Односторонние пределы функции вточке.
Непрерывность функции. Разрывныефункции и классификация точек разрыва.Производная функции, ее геометрический ифизический смысл. Производная сложнойфункции. Таблица производных2.1. Односторонние пределыДадим их кратко.Определение 2.0. Левый предел функции f (x) в точке x = x0(обозначение: lim f (x) ≡ f (x0 − 0)) :x→x0 −0deff (x0 − 0) =limx→x0 (x<x0 )f (x) = A⇔(∀ε > 0 ∃δ = δ (ε) > 0 : (∀x) (x0 − δ < x < x0 ⇒ |f (x) − P | < ε)) .Правый предел функции f (x) в точке x = x0 (обозначение:lim f (x) ≡ f (x0 + 0)) :x→x0 +0deff (x0 + 0) =limx→x0 (x>x0 )f (x) = A⇔(∀ε > 0 ∃δ = δ (ε) > 0 : (∀x) (x0 < x < x0 + δ ⇒ |f (x) − P | < ε)) .Очевидно следующее свойство:10) Для существования обычного предела lim f (x) = P необходимоx→x0и достаточно, чтобы существовали односторонние пределы f (x0 ± 0)и чтобы имело место равенствоf (x0 − 0) = f (x0 + 0) = P.14Лекция 22.2.
Непрерывность функции в точкеПусть функция f (x) определена в точке x = x0 и некоторой ееокрестности.Определение 2.1. Функция f (x) называется непрерывной в точкеx = x0, если lim f (x) = f (x0) , т.е. еслиx→x0∀ε > 0∃δ = δ (ε) > 0 : (∀x) (|x − x0| < δ ⇒ |f (x) − f (x0) | < ε) .Функция f (x) называется непрерывной слева (справа) в точкеx = x0, если f (x0 − 0) = f (x0) (соответственно f (x0 + 0) = f (x0) ).Функция f (x) называется непрерывной на множестве A если онанепрерывна в каждой точке x0 ∈ A этого множества.Очевидны следующие высказывания.20) f (x) непрерывна в точке x = x0 тогда и только тогда, когдаf (x) = f (x0) + o (1) (x → x0) . 130) Для того чтобы функция f (x) была непрерывна в точке x == x0, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна слева исправа в точке x = x0 .Нетрудно показать, что сумма, разность и произведение двух функций,непрерывных в точке x = x0 , также являются непрерывными вэтой точке функциями.
Частное f (x) /g (x) двух непрерывных вточке x = x0 функций непрерывно в этой точке, если g (x0 ) 6= 0.С непрерывными функциями связаны следующие два важных утверждения.Теорема 2.1. Пусть сложная функция f (ϕ (x)) определена внекоторой проколотой окрестности точки x = x0 и пусть выполненыусловия:а) существует lim ϕ (x) = u0,x→x0б) функция f (u) непрерывна в точке u = u0 .Тогда существует предел lim f (ϕ (x)) и имеет место равенствоx→x0lim f (ϕ (x)) = fx→x0lim ϕ (x) = f (u0) .x→x0Это равенство называется асимптотическим разложением непрерывной в точкеx = x0 функции.12.2. Непрерывность функции в точке15Теорема 2.2. Пусть сложная функция f (ϕ (x)) определена вточке x = x0 и некоторой ее окрестности и пусть выполнены условия:а) функция u = ϕ (x) непрерывна в точке x = x0 ,б) функция f (u) непрерывна в соответствующей точке u == u0 =ϕ (x0) .Тогда сложная функция F (x) = f (ϕ (x)) непрерывна в точкеx = x0 .Теорему 2.1 называют теоремой о переходе к пределу под знакомнепрерывной функции, а теорему 2.2 − теоремой о непрерывности сложнойфункции.Пример 1.1.
Найти предел lim cos (sin x/x) = P.x→0Решение. Так как существует lim (sin x/x) = 1, а функция cos ux→0непрерывна в точке u = 1, то по теореме 2.1 имеемlim cos (sin x/x) = cos lim sin x/x = cos 1 .x→0x→0Определение 2.3.Функции вида√c = const, n x, xα (α ∈ R) , ax , loga x (a > 0, a 6= 1) , sin x, cos x,arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgxназываются простейшими элементарными функциями. Всякая функция,полученная из простейших элементарных функций путем примененияк ним конечного числа операций сложения, вычитания, умножения,деления и взятия функций от функций (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
