Лекции Бободжанова (1153550), страница 8
Текст из файла (страница 8)
рис. 6.1). Пустьфункция f (x) непрерывна на отрезкеB[A, B] ⊃ [a, b] , а функция x = ϕ (t)bнепрерывно дифференцируема на отрезкеx = ϕ(t)[c, d] таком, что ϕ (c) = a, ϕ (d) =aAb, причем ϕ[c, d] ⊂ [A, B] . Тогда имеетtместо формула замены переменныхO cdв определенном инте- грале:Рис. 6.1Z bf (x) dx = [x = ϕ (t) , dx = ϕ0 (t) dt, ϕ (c) = a, ϕ (d) = b] =a=Zdf (ϕ (t)) ϕ0 (t) dt.cТеорема 6.4.
Пусть функции u = u (x) , v = v (x) непрерывнодифференцируемы на отрезке [a, b] . Тогда имеет место формула интегрированияпо частям в определенном интеграле:Z bZ bx=budv = uv|x=a −vdu.aa52Лекция 66.4. Интегрирование дробно-рациональных функцийДробно-рациональной функцией (или алгебраической дробью) называетсяфункция, представимая в виде отношения двух много- членов:R (x) =Pm (x) am xm + am−1 xm−1 + ...
+ a0≡.Qn (x)bnxn + bn−1xn−1 + ... + b0При этом дробь R (x) называется правильной, если степень mее многочлена-числителя Pm (x) меньше степени n её многочленазнаменателя Qn (x) ; в противном случае (т.е. в случае m ≥ n ) дробьR (x) называется неправильной. Любую неправильную дробь можнопредставить в виде суммы многочлена (целой части) и правильнойдроби. Для этого надо разделить числитель на знаменатель углом.Например,17 − 82x3 x4 − 5 x2 + 2 x − 8= 3x2 − 9x + 25 + 2.2x +3x−1x + 3x − 1Определение 6.1. Простейшими дробями типа I−IV называютсяследующие дроби:I.A;x−aII.IV.A(x − a); III.kMx + N2D=p−4q<0;x2 + px + qMx + N2D=p−4q<0,m(x2 + px + q)где A, M, N, a, p, q − действительные постоянные, k, m≥2 − натуральныечисла.Теорема 6.5.
Любую правильную дробь R (x) можно разложитьв сумму простейших дробей типа I−IV. Это разложение единственно(с точностью до порядка слагаемых).Алгоритм разложения на простейшие дробиПусть требуется разложить на простейшие дроби правильную(x)дробь R (x) = PQmn (x).Выполним следующие действия:6.4.
Интегрирование дробно-рациональных функций531) разложим знаменатель на множители:rrQn (x) = b0 (x − x1)k1 (x − x2)k2 x2 + p1 x + q1 1 x2 + p2x + q2 2 ;2) каждому “линейному” множителю (x − x0 )k поставим в соответствиесумму k простейших дробей типа I − II :Akk(x − x0 )+Ak−1(x − x0)k−1+ ... +A1,x − x0а каждому “квадратичному” множителю x2 + px + qв соответствие m дробей типа III − IV :mпоставимM1 x + N1Mm x + NmMm−1x + Nm−1+...++.mm−1(x2 + px + q)x2 + px + q(x2 + px + q)Сделав это для каждого множителя знаменателя Qn (x) , запишемтождествоhiAk1 −1Ak1Pm (x)A1Qn (x) ≡ (x−x1 )k1 + (x−x1 )k1 −1 + ... + x−x1 +hiÂk2 −1Âk2Â1+ (x−x )k2 + (x−x )k2 −1 + ...
+ x−x1 +11hi(6.3)Mr1 −1 x+Nr1 −1Mr1 x+Nr1M1 x+N1+ (x2 +p1x+q1 )r1 + (x2 +p x+q )r1 −1 + ... + x2 +p1 x+q1 +11hiM̂r2 −1 x+N̂r2 −1M̂r2 x+N̂r2M̂1 x+N̂1+ (x2 +p2x+q2 )r2 + (x2 +p x+q )r2 −1 + ... + x2 +p1 x+q1 .223) Умножив обе части этого тождества на знаменатель Qn (x) ,получим тождество двух многочленов.
Приравнивая в нем коэффициентыпри одинаковых степенях xs , получим линейную алгебраическую системууравнений относительно неопределенных коэффициентов Aj , Âj , Mj , M̂j , Nj , N̂j ,решая которую (например, методом Гаусса), найдем эти коэффициенты.(x)наПодставляя их в (6.3), получим разложение дроби R (x) = PQmn(x)простейшие дроби.3+3x2 +23x+9Например, разложим дробь R (x) = (x25x−2 x+1)(x2 +2x+5) на простейшие.Так как x2 − 2 x + 1 x2 + 2x + 5 = (x − 1)2 x2 + 2x + 5 , то R (x)представляется в видеAMx + NB5x3 + 3x2 + 23x + 9=+ 2, (6.4)2 +22(x − 2 x + 1) (x + 2x + 5) (x − 1)x − 1 x + 2x + 554Лекция 6где коэффициенты A, B, M, N пока не найдены.
Приводя правую частьк общему знаменателю, а затем отбрасывая в обеих частях одинаковыезнаменатели, получим тождество5x3 + 3x2 + 23x + 9 ≡ A x2 + 2x + 5 ++ B (x − 1) x2 + 2x + 5 + (Mx + N ) (x − 1)2 .(6.5)Можно было бы приравнять здесь коэффициенты при одинаковыхстепенях x (начиная с x3 ), а затем решить полученную систему уравненийотносительно A, B, M, N. Но мы поступим проще. Применим так называемыйметод частных значений.Так как (6.5) − тождество, то оно верно при любых значениях x.Удобно выбрать значение x = 1. При этом из (6.5) получаем равенство40 = 8A, откуда выводим, что A = 5.
Далее подставляем A = 5 в(6.4) и переносим все первые слагаемые влево; будем иметь5x3 − 2x2 + 13x − 16 ≡ B (x − 1) x2 + 2x + 5 + (Mx + N ) (x − 1)2 .Разделив обе части этого тождества на x − 1, получим5x2 + 3x + 16 = B x2 + 2x + 5 + (Mx + N ) (x − 1) .Полагая здесь снова x = 1, будем иметь 24 = 8B ⇔ B = 3, ипоследнее равенство перепишется в виде 2x2−3x+1 = (Mx + N ) (x − 1) ⇒2x − 1 = Mx + N.
Отсюда сразу же находим M = 2, N = −1.Следовательно, все коэффициенты разложения (6.4) найдены и мы3+3x2 +23x+9532x−1получаем ответ: (x25x−2 x+1)(x2 +2x+5) = (x−1)2 + x−1 + x2 +2x+5 .Из теоремы 6.5 вытекает, что интегрирование правильных алгебраическихдробей сводится к их разложению на простейшие дроби и последующемуинтегрированию последних. Займемся задачей интегрирования простейшихдробей.Дроби типа I − II интегрируются очевидным образом:−kR ARR d(x−a)R A−kA(x−a)dx=A(x−a)d(x−a)=dx=A=A·ln|x−a|+C;kx−ax−a−k+1(x−a)C.6.5.
Интегрирование тригонометрических выражений 55Дробь типа III интегрируется следующим образом:RM x+Ndxxh2 +px+q2=ipp2p22+ q − 4 ; x + 2 = t, dx = dt, q − 4 = a == x + px + q = x +RR M (t− p2 )+NR tdtMpdt=dt = M t2 +a2 + N − 2t2 +a2t2 +a2 =R d(t2 +a2) Mp 1tMM22++N−arctg=lnt+a= 22t2 +a2aa2x+ pMp 1Mp 1tM2+ N − 2 a arctg a + C = 2 ln x + px + q + N − 2 a arctg a 2 + C.p 22Дробь типа IV интегрируется сложнее.
Сначала производятся всеоперации, применяемые при интегрировании дроби типа III, а затемиспользуется рекуррентная формулаZZdtdt1t.+ (2m − 1)=2ma2 (t2 + a2 )m(t2 + a2 )m(t2 + a2 )m+1Например,ZZdtt+ (2 − 1)=t2 + a2(t2 + a2 )arctg att++ C.= 2 22a (t + a2 )2a3В заключение предлагаем вычислить самостоятельно интегралZZ 2 x2 + 2 x + 131−4 − 3x −2 − x+dxdx =+ 2x +1x−2(x − 2) · (x2 + 1)2(x2 + 1)212и получить ответ: 41 · −8x+6−4arctg(x)−lnx+1+ ln |x − 2| + C.2x +12dt1=2 · 1 · a2(t2 + a2 )256Лекция 66.5.
Интегрирование тригонометрических выраженийRИнтегралы типа I = R (sin x, cos x ) dx, где R (u, v) − дробнорациональная функция переменных u и v , сводятся к интегрированиюрациональной функции одной переменной t с помощью универсальнойподстановки t = tg 2t . Действительно, тогда2t1 − t22dtsin x =,cosx=,dx=,1 + t21 + t21 + t2RRR 2t 1−t2 2dtпоэтому I = R (sin x, cos x ) dx = R 1+t2 , 1+t2 1+t2 ≡ R1 (t) dt,где R1 (t) − дробно-рациональная функция одной переменной.
К последнемуинтегралу можно уже применить алгоритм разложения на простейшиедроби и свести вычисления к интегрированию простейших дробей типаI−IV. Однако не всегда удобно пользоваться универсальной подстановкой,так как она часто приводит к громоздким выкладкам.Иногда удобно пользоваться частными типами подстановок, которыемы приводим ниже (слева написано свойство подынтегральной функцииR , справа − соответствующая замена переменной).1.
R (−u, v) ≡ −R (u, v) ⇒ cos x = t .2. R (u, −v) ≡ −R (u, v) ⇒ sin x = t .3. R (−u, −v) ≡ R (u, v) ⇒ tg x = t .RR4. R sin2 x dx, R cos2 x dx ⇒ tg x = t(здесь часто бывает удобным воспользоваться формулами sin2 x =2x2x= 1−cos, cos2 x = 1+cos.)22И, наконец, интегралы типаZcos αx · cos βxdx, sin αx · cos βxdx,sin αx · sin βxdxпреобразуются в интегралы от синусов и косинусов с помощью формултригонометрии:cos αx · cos βx = 21 (cos(α − β)x + cos(α + β)x) ,sin αx · sin βx = 21 (cos(α − β)x − cos(α + β)x) ,sin αx · cos β = 21 (sin(α − β)x + sin(α + β)x) .6.5. Интегрирование тригонометрических выражений 57Приведём примеры.hiR sin2 xdx12t2dt21. sin2 x−cos2 x = tg x = t, cos x = 1+t2 , sin x = 1+t2 , dx = 1+t2 =t21R 1+tRR t22 · 1+t2111=dt = t4 −1 dt =− 4(t+1) + 2(t2 +1) + 4(t−1) dt =t21− 1+t21+t2= ln (tg x − 1) − 41 ln (tgx + 1) + 12 x + C.14C.RR12.
cos 3x·sin 5xdx = 12 (sin 2x + sin 8x) dx = − 41 cos 2x− 16cos 8x+RR 1+cos 2x 2R12dx=3. cos4 xdx =1+2cos2x+cos2xdx =24Rsin 2x1x= 4 + 4 + 4 cos2 2xdx =R1sin 4x + C == x4 + sin42x + 18 (1 + cos 4x) dx = x4 + sin42x + x8 + 323xsin 2xsin 4x= 8 + 4 + 32 + C.Для усвоения изложенного материала предлагаем вычислить интегралыи проверить истинность выписанных ниже равенств.R1. ln(4x2 + 1)dx = x ln(4x2 + 1) + arctg2x − 2x + C.2.3.4.5.6.7.8.9.R0−2 (x2− 4) cos 3xdx = 94 cos 6 −1−cos x(x−sin x)2 dxR1+4x2dx = ln 2 −π2.32Rx3 −3x2 −12(x−4)(x−3)(x−2) dxx3 +6x2 +13x+9(x+1)(x+2)3 dx= ln |x + 1| −Rx3 +5x2 +12x+4(x+2)2 (x2 +4) dx=RR π/2 cos x−sin x(1+sin x)20R arctg310.π/4Rπ0sin 6.1= − x−sinx + C.R 1/2 8x−arctg2x0227= x+2 ln |x − 4|+12 ln |x − 3|−8 ln |x − 2|+C.1x+2dx = 61 .dx(3tgx+5) sin 2x24 cos8 x2 dx ==+ C.+ 12 ln x2 + 4 + arctg x2 + C..110 (ln 3358 π.12(x+2)2− ln 14 + ln 8).58Лекция 6Для усвоения изложенной теории рекомендуем также выполнитьзадачи из типового расчета “Интегралы,” помещённого в конце пособия.Лекция 7.
Несобственные интегралы.Геометрические приложения интеграловRbРанее рассматривались интегралы a f (x) dx с конечными пределамиa, b и от ограниченных функций f (x) . Если хотя бы одно из этихусловий нарушается, то указанный интеграл будет несобственным.Такие интегралы часто встречаются в приложениях, поэтому перейдемк их изучению.7.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
