Лекции Бободжанова (1153550), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Объём тела W приближенноPPn−1Vi = n−1равен сумме объёмов тел Wi, т.е. V ' i=0i=0 S (x̄i ) ∆xi . Эторавенство будет тем точнее, чем мельче разбиение (∆) , и при λ → 0оно становится точным, т.е.V = limλ→0n−1XS (x̄i) ∆xi =ZbS (x) ∆x.ai=0Теорема доказана.Замечание 7.3. Если тело W получено вращением криволинейнойтрапецииD = {0 ≤ y ≤ f (x) , a ≤ x ≤ b}вокруг оси Ox , то объём этого тела вычисляется по формулеZ bV =πf 2 (x) dx.aДействительно, в этом случае поперечное сечение является кругомрадиуса R = f (x) , поэтому S (x) = π·f 2 (x) .
Аналогично вычисляетсяобъём тела, полученного вращением вокруг оси Oy криволинейнойRdтрапеции D = {0 ≤ x ≤ g (y) , c ≤ y ≤ d} : V = π c g 2 (y) dy (конечно,в выписанных формулах для V предполагается, что функции f (x)и g (y) непрерывны на соответствующих отрезках).Рекомендуем выполнить задачи на приложения определённого интегралав типовом расчете “Интегралы,” помещённом в конце пособия.68Типовой расчетТиповой расчёт “Пределы”Задача 1. Найти пределы lim an последовательностей {an } , заданныхn→∞своими общими членами, выписанными ниже.1.1.44(2−n) −(1−n)3−n3 −(n+2)1.2.(4−n)4 −(3−n)4.32(2−n) −n31.3.(2−2n) −(1−2n)3−8n3 −(2+2n)1.4.1.5.1.8..41.9.4.(4−2n)4 −(3−2n)4.3(2−2n) −9n332(n+2) −(n+2)3n3 −(n+2)3.1.11.1.12.1.13.21.6.n −n.(−2+n)3 −n31.7.(2+3n) −(2+3n)327n3 −(2+3n)31.10.1.14.3.1.15.32(3n−1) −(3n−1)23.(3n−3) −(3n−1)(3+2n)3 −(3+2n)223.(2n+1) −2(3+2n)32(1+5n) −(1+5n)23.(5n−1) −3(1+5n)2(3n+1)3 −(3n−2)3.9n2 +6n−3332(2+5n) −(5n−1).3(1+5n) −1+10n54n3 −(3n−3)3.2(3n−1) +6n3 −532n3 −(−3+n).(−1+n)2 −5+2n3316n3 −(2n−3).2(2n−1) +4n3 −5Задача 2.
Найти пределы lim an последовательностей {an } , заданныхn→∞своими общими членами,выписанныминиже.q√2.1. (2n + 1)(2n + 1)2 + 1 − 2 n2 + n .pp(n + 5) (4 + n) − (n + 2) (6 + n).2.2.√√2.3. (−3 + n) n2 − 6n + 10 − n2 − 6n + 8 . √ p√3 n (3n − 2) − 9n2 − 6n + 2 .2.4. (−3n + 1)p√ p2.5. √5 (1 + 5n) n − (5n − 2) (2 + 5n).√3(n+2) − (1+n)n(−2+n)√.2.6.1+n√√2 n3 − (−1+n)(−2+n)(−4+n)√.2.7.−1+np√ p3 (3n + 1) n − (3n − 2) (2 + 3n).2.8.
√√3 √4(4+2n) − 2 (3+2n)(2+2n)n√2.9..3+2n√√3(2n+6) − (2n+5)(4+2n)(2+2n)6√.2.10.2n+5√√38(8+2n) − (2n+7)(2n+6)(4+2n)√2.11..2n+7pp2.12. 8 (2n + 9) (8 + 2n) − 8 (2n + 6) (2n + 10)69Пределы2.13.7√3√(2n+7)(2n+6)(4+2n)√. 2n+7(8+2n) −√2.14. 7 (2n + 7)(2n + 7) + 1 − 2 n2 + 7n + 12 .q√22.15. 5 (2n − 3)(2n − 3) + 1 − 2 n2 − 3n + 2 .q2Задача 3. Вычислить пределы функций.3.1.3.2.√x2 −2−x.x→−1 √ 1+xlim(2+x)2 −4−xlim.x+3x→−3√(−3+x)2 +1−x.3.3. limx→2 √ x−2(−3+x)2 −5+x3.4. lim.−2x+8x→43.5.3.6.1/33.10. lim1x→ 23.11. lim3x→ 21/3−(27−8x)lim (27+8x).1/324(x ) +23/5 x1/5x→01/3−(27−4x)1/3.lim (27+4x)1/3x→0 161/3 (x2 ) +41/5 x1/51/31/33((1+x) −(1−x) )3.7. lim1/39(x2 ) +33/5 x1/52(x1/3 −1)lim −√2x+2+2√x .x→1x→03.8.3.9.√3( 3 12x−2)√ √ .lim √x→ 23 3x+2− 6 x.3.12.
lim3x→ 43.13. limx→13.14. lim1x→ 33.15. limx→1Задача 4. Вычислить пределы функций.4.1. limx→04.2. limx→04.3. limx→04.4. limx→04.5. limx→04.6. limx→04.7.x(6x−5)sin(6x) .x(9x−5).sin(9x)3x2 −11x+8sin(3x−3) .4(1−cos(3x)).cos(21x)−cos(9x)5(1−cos(2x))cos(14x)−cos(6x) .8(1−cos(5x))cos(35x)−cos(15x) .8(22x −1)lim ln(1+4x) .x→0 13 2 2 x −14.8. limx→0 ln(1+x).4.9. lim3(42/3 x1/3 −2)√ √ .√4x+2−2 2 x√√2x+13−2 2x+1.4x2 −9√√32( 4x+13−2 1+4x).16x2 −9√√8( 3x+13−2 1+3x).9x2 −9√28(−1+3x) −1−3x.x √1515 + 12 2 3 x −1√√2x+13−2 2x+1.4x2 −9.2x→0 ln(1+ 3 x)2 ln(1− 37 x)4.10.
lim sin π 1 x+7 .( ( 3 ))x→05 ln(1− 47 x)4.11. lim sin π 1 x+7.( ( 4 ))x→0ln(1−21x)4.12. lim sin(π(3x+7)).x→0ln(1−6x).4.13. lim 9arctg(9x)x→04(e12x −1)4.14. lim sin π 3 x+1 .( ( 2 ))x→04x2.4.15. lim sin πe 1 x−1( ( 2 2 +1))x→070Типовой расчетЗадача 5. Вычислить пределы функций.174x −56x.x→0 2 4x−arctg(6x)5.1. lim5.2. lim 15x→037x −5 2 xx−arctg 23 x( )2x2.25.3. lim 137 −53x2x2 −arctg(3x2 ) .5.4. lim 31310x −22x.2x−sin(18x)x→0x→015x( )912 x−sin 2 x√25.13..5.14.x−9−xlim 12 sin 14x2 −tg.( 2 ) ( 18 x3 )x→0√21 45x −9−2x6) .5 sin(x2 )−tg(x√√x−e−2 xlim 51 e√x+sin(x).x→01e 2 x −e−xlim.1x→0 x+2 sin( 4 x2 )55.7.−2x1/3410 x −9−4 x√.sin(2 x)−tg(8x3/2 )x→0x→0x→05x1/34−95.9.
lim sin.(x1/3 )−tg(x)x→045 ln(x+1) −9−2 ln(x+1)5.10. lim 31 sin(ln(x+1))−tg.(ln(x+1)3 )x→0410x −9−4x5.11. lim 61 sin(2x)−tg(8x3) .5.12. lim 213 −2.5.5. lim 3x−sin(27x)5.6. lim5.8.x→03x 514 3 2 x −2 2 x√√2(410 x −9−4 x )lim sin(2√x)−tg 8x3/2 .()x→05.15.Задача 6. Вычислить пределы функций.6.1.6.2.6.3.6.4.6.5.6.6.6.7.6.8.12+ 21 x 2 x.3− 21 x√ √ x√xlim 2+.3−xx→02+3x 3x1.· 3−3xlim x+3x→0lim 1x→0 2√ 1 e15x −1 cos2 ( 14 π+5x)lim 3 5 x.x→0√ 3√x cos2 ( 14 π+ x)lim e √x−1.x→0cos2 ( 14 π+ln(x+1))3(x+1) −1.lim ln(x+1)x→09x+39x+4√.lim 2+3xx→0 1 6 41 x6 +34 x +4lim 2+.1 3xx→01 444 x +34 x +41 22 x +21 2/3x +31 2/3+4 44x1 1/3+22x6.9.lim 1x→0 46.10.121.2!1/32 )1/3 +52x(arcsin (x )6.11.
lim1/3(x2 )x→06.12.6.13.6.14.6.15. limx→0x3/5 +4x3/5 +91x1/5 +2Задача 7. Вычислить пределы функций.7.1. limx→2cos(2x)cos(2)1 2x−2..2arcsin(ln(x+1)) ln(x+1)+5ln(x+1)tg2 (3x)51.lim 6 − cos(3x)x→0 4tg2 (3x1/3 )5lim 3 6 − cos 3x.1/3()x→0lim 21x→02.7.2. lim2x→ 3cos(3x)cos(2)1 3x−2..71Пределы7.3. limx→37.4. limx→47.5.7.6.7.7.7.8.cos(x−1)cos(2)cos(x−2)cos(2)lim cosx→4 π1 x−31 x−41x2 1 √ √x√3x 3−3x 3−17.9.
lim−1.√ 3 2e 3x→ 3x 5 5x−2x−1−17.10. lim2 2 2e 2... sinctg(x)3x(2 )x→ 5 1x+2 1x−2x−2−1 3 .7.11. lim 3 2e 3x→6 15x+27.12. lim2 e−2 2e5x−2 − 1 5x−2 ..ctg(6x)3 cos (3x) sin(9x) .lim2πx→x→ 53lim1 2e3x−1 − 1x→ 33x 3x−17.13..x 1 x−2x−1.lim 2e 2−1x→27.14.7.15.limx→1√2 2e2x−2 − 1 3x+1x−1lim1 e−8 2e4x−2 − 1x→ 2limx→36−xx ln 2−1 1 x(3).6x+1 2x−1..Задача 8. Различные задачи.8.1. Доказать по определению непрерывность функции f (x) в точкеx = x0 .1) f (x) = x2 − 1, x0 = 1.2) f (x) = x2 − 2x, x0 = 0.3) f (x) = 3x2 + 5, x0 = 2.4) f (x) = x2 + 2x, x0 = 1.5) f (x) = x3 − 1, x0 = 1.8.2.
Вычислить пределы функций.p1) lim 5 cos 3x + x2 arctg (1/x).x→0q7x2) lim5 sin 2x + (2x − π) sin 2x−π.x → π/23)√3 tg3x+(4x−π) cos 5x4x−πlim.ln(2+tgx)x → π/44) limx → −25) limx→0qq1+cos πx3x .4+(2x+4) sin x+255 cos 2x + sin 3x· ln (1 + 7x).8.3. Доказать принадлежность функции f (x) к классу O (1) (x → 2) .2;1) f (x) = 2x − 1; 2)f (x) = 3x + 1; 3) f (x) = (x − 2) sin x−2534) f (x) = (x − 2) cos x−2; 5) f (x) = cos x−2.8.4. Доказать принадлежность функции f (x) к классу o (x) (x → 0) .72Типовой расчет1) f (x) = x3 − 2x2; 2)f (x) = (x + 1) sin x2 ;3) f (x) = (2x + 1) sin x2 (x + 3) ;4) f (x) = x · arcsin 4x; 5) f (x) = x · arctg x2 − 2x .Рекомендуем проверить свои знания, отвечая на теоретические вопросы итеоретические упражнения, приводимые ниже6 .Теоретические вопросы1. Понятие числовой последовательности и ее предела.
Теорема об ограниченностисходящейся последовательности. оо2. Понятие предела функции в точке. Понятие функции, ограниченной в окрестноститочки. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.3. Теорема о переходе к пределу в неравенствах.4. Теорема о пределе промежуточной функции.5. Понятие непрерывности функции. Доказать непрерывность функции cos x .6. Первый замечательный предел limx→0sin xx= 1.7.
Понятие бесконечно малой функции. Теорема о связи между функцией, еепределом и бесконечно малой.8. Теорема о сумме бесконечно малых функций.9. Теорема о произведении бесконечно малой функции на ограниченную функцию.10. Теорема об отношении бесконечно малой функции к функции, имеющейпредел, отличный от нуля.11. Теорема о пределе суммы.12. Теорема о пределе произведения.13. Теорема о пределе частного.14. Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции.15. Непрерывность суммы, произведения и частного.16. Непрерывность сложной функции.См. Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике. Типовые расчёты.Изд-во «Лань», 2005.-240 с.673Пределы17.
Понятие бесконечно большой функции. Теоремы о связи бесконечно большихфункций с бесконечно малыми.18. Сравнение бесконечно малых функций.19. Эквивалентные бесконечно малые функции. Теорема о замене бесконечномалых функций эквивалентными.20. Условие эквивалентности бесконечно малых функций.Теоретические упражнения1.Доказать, что еслиlim an = a , тоn→∞lim |an | = |a| . Вытекает ли изn→∞существования lim |an | существование lim an ?n→∞n→∞У к а з а н и е.
Доказать и использовать неравенство||b| − |a|| ≤ |b − a| .1. Доказать, что последовательность {n2 } расходиться.2. Сформулировать на языке « ε − δ » утверждение: «Число A не являетсяпределом в точке x0 функции f (x) , определенной в окрестности точкиx0 ».3. Доказать, что если f (x) непрерывная функция, F (x) = |f (x)| есть такженепрерывная функция. Верно ли обратное утверждение?4. Сформулировать на языке « ε−δ » утверждение: «Функция f (x) , определеннаяв окрестности точки x0 , не является непрерывной в этой точке».5.
Пусть lim f (x) 6= 0 , а lim ϕ (x) не существует. Доказать, что lim f (x) ϕ (x)x → x0x → x0x → x0не существует.У к а з а н и е. Допустить противное и использовать теорему о пределечастного.1. Пусть функция f (x) имеет предел в точке x0 , а функция ϕ (x) не имеетпредела. Будут ли существовать пределы:1) lim [f (x) + ϕ (x)] ; 2) lim f (x) ϕ (x) ?x → x0x → x0Рассмотреть пример: lim x sin x1 .x→01.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
