Лекции Бободжанова (1153550)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

11 семестрМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗЛекция 1. Предел функции в точке и при x → ±∞.Односторонние пределы. Действия над пределами.Бесконечно малые функции, таблицаэквивалентных бесконечно малых и ее применениепри вычислении пределов функций1.1. ОбозначенияМножества (любой природы) обозначаются большими латинскимибуквами (A, B, ...) , а их элементы − малыми латинскими буквами(a, b, x, y, ...) . Большими латинскими буквами обозначаются также высказывания(например, A ≡ {число m · (m + 1) · (m + 2) делится на 3}). Вездениже вводятся следующие обозначения:∀ − “всякий”, “каждый”, “ для всякого”,“для каждого”,∃ − “существует”, “найдется хотя бы один”,∈ − “принадлежит”, ∈/ − “не принадлежит”,⇒ − “следует из”, “вытекает из”,⇔ − “эквивалентно”, “необходимо и достаточно”, “тогда и толькотогда”,⊂ − “входит в”, “содержится в”def≡ или ⇔ − “по определению” (в тексте слово “если”)∧ − логическое “И”, ∨ − логическое “ИЛИ”,A ∪ B − объединение множеств A и B, A ∩ B − пересечениемножеств A и B,A\B − разность множеств A и B, Ā − дополнение A (если A − высказывание,то Ā − отрицание высказывания A ).Через N, Z, Q, R обозначаются множества натуральных, целых, рациональныхи действительных чисел соответственно (N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R) .21.2.

Модуль (абсолютная величина) действительного числаМодуль числа a определяется следующим образом:(+a, a ≥ 0,|a| =−a, a < 0.Свойства модуля:1. (|x| ≥ +x) ∧ (|x| ≥ −x) ; 2. |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a; 3. |x| ≥ a ⇔⇔ (x ≥ +a) ∨ (x ≤ −a) ; 4. |x + y| ≤ |x| + |y|; 5. |x · y| = |x| · |y|; 6. xy = |x||y| (y 6= 0) ;7. |xα | = |x|α ;8. |x − y| ≥ ||x| − |y|| .1.3. Понятие функцииПусть даны два множества A и B.Определение 1.1. Говорят, что на множестве A задана функцияy = f (x) , отображающая множество A в множество B (пишут y = f (x) : A → Bесли каждому элементу x ∈ A поставлен в соответствие единственныйэлемент y ∈ B по закону y = f (x) . При этом x называетсяаргументом функции y = f (x) , а y − значением этой функции(при указанном значении аргумента x ).

Множество A называетсяобластью определения функции f (x) (обозначение: A = D (f ) ), амножество E (f ) = {y ∈ B/∃x ∈ A : y = f (x)} называется множествомзначений этой функции.Чаще всего функцию задают двумя способами: а) табличный способ(здесь для каждого аргумента x указывается соответствующий y ) иpб) аналитический способ (формулой; например y =sin (log2 x) ).При аналитическом задании функции y = f (x) в качестве областиопределения обычно берут естественную область определения, т.е.множествоD (f ) = { x : выражение f (x) имеет смысл}.

Например,plog2x = {x : x ≥ 1} . Будет также использоваться обозначениеDf (G) для множества всех значений f (x), когда x пробегает подмножествоG ⊂ D (f ) .1.4. Предел функции31.4. Предел функцииСначала дадим понятие предела функции в конечной точке x == x0 6= ∞. Различают проколотую δ -окрестность U̇x0 (δ) точкиx = x0, которая определяется как симметричный интервал (x0 −δ, x0 ++ δ) с выброшенной точкой x0 :U̇x0 (δ) ≡ {x : 0 < |x − x0| < δ},и просто δ -окрестность Ux0 (δ) точки x = x0, совпадающую с указанныминтервалом:Ux0 (δ) ≡ {x : |x − x0| < δ} ≡ (x0 − δ, x0 − δ).Пусть функция f (x) определена в некоторой проколотой окрестностиU̇x0 точки x0 (в самой точке x0 функция может быть определена илинет; её значение в точке x0 не существенно).Определение 1.2. Говорят, что число P является пределомфункции f (x) в точке x = x0 ( или при x → x0 ), если для произвольногочисла ε > 0 найдется число δ > 0 (зависящее, вообще говоря, отε) такое, что для всех значений x , удовлетворяющих неравенству0 < |x − x0| < 0, будет иметь место неравенство |f (x) − P | < ε.При этом пишут lim f (x) = P и читают: “ предел функции f (x)x→x0при x → x0 равен P ”.Это определение записывают кратко так:def( lim f (x) = P ) ⇔(∀ε > 0∃δ = δ(ε) > 0 :x→x0(1.1)(∀x)(0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − P | < ε).Отметим, что в этом определении не фигурирует значение функцииf (x) в точке x = x0 ( x стремится к x0, но x 6= x0, так как 0 << |x−x0 |).

Это означает, что предел lim f (x) = P не зависит от того,x→x0каким является значение функции f (x), в точке x = x0. Например,функции((2x2, x 6= 0,x,x=60,2f3 (x) =f1(x) = x , f2 (x) =не определена, если x = 0100, x = 0,4Лекция 1имеют один и тот же предел P = 0 в точке x = 0.Геометрически высказывание (1.1) означает, что для любого ε > 0существует число δ > 0 такое, что кривая y = f (x) при всех x ∈∈ U̇x0 (δ) лежит внутри полосы (P − ε < y < P + ε).

Если этаситуация будет иметь место для произвольного интервала (P −ε, P +ε)(или, что то же самое, для произвольного ε > 0), то число P будетпределом функции f (x) при x → x0 . Если же существует интервал(P −ε, P +ε) такой, что в любой проколотой окрестности U̇x0 (δ) точкиx = x0 найдется абсцисса x, для которой f (x) ∈/ (P − ε, P + ε), тоlim f (x) 6= P. Геометрические соображения часто используют приx→x0доказательстве существования пределов для конкретных функций.Теорема 1.1. Если существует (конечный) предел lim f (x) =x→x0= P, то он единственен, а сама функция f(x) является ограниченнойпри x → x0 , т.е.существуют постоянные M > 0, δ > 0 такие, что длявсех x из проколотой окрестности U̇x0 (δ) ≡ {x : 0 < |x −− x0| < δ} точки x0 имеет место неравенство |f (x)|≤M.Замечание 1.1.

Если функция f (x) удовлетворяет условию,выделенному жирным шрифтом, то ее называют функцией классаO(1) (x → x0) и пишут f (x) = O(1) (x → x0) . Функции классаO(1) (x → x0) обладают следующими очевидными свойствами.Теорема 1.2. Если f (x) = O(1)(x → x0) и g(x) = O(1)(x → x0),то f (x) ± g(x) = O(1)(x → x0 ), f (x) · g(x) = O(1)(x → x0).1.5. Бесконечно малые функции и их свойстваОпределение 1.3. Функция α (x) называется бесконечно малойфункцией в точке x = x0 или функцией класса o(1) (x → x0) , если lim α (x) =x→x00. При этом пишут α (x) = o(1) (x → x0) .defТаким образом, α (x) = o(1) (x → x0) ⇔ ∀ε > 0∃δ = δ (ε) > 0 :(∀x) (0 < |x − x0| < δ ⇒ |α (x) | < ε) .Например, функция α (x) = (1 − x)2 = o(1) (x → 1) , а функцииcos (1/x) , x+1, ln (x + 2) не являются функциями класса o(1) (x → 0) .1.5.

Бесконечно малые функции и их свойства5Теорема 1.3. Имеют место следующие свойства класса o(1) (x → 0) :10) Если α (x) = o(1) (x → x0) , то α (x) = O(1) (x → x0) , т.е.o(1) ⊂ O(1) (x → x0 ) ;20) o(1) ± o(1) = o(1) (x → x0) ;30) o(1) · o(1) = o (1) (x → x0) ;40) o(1) · O(1) = o(1) (x → x0 ) .Доказательство. Свойство 10) очевидно. Докажем свойство 20) (другиесвойства доказываются аналогично).

Пусть α (x) = o(1) и β (x) == o(1) (x → x0) . Тогда для произвольного ε > 0 существуют числаδj = δj (ε) > 0 (j = 1, 2) такие, что(∀x) 0 < |x − x0| < δ1 ⇒ |α (x) | < 2ε ,(1.2)(1.3)(∀x) 0 < |x − x0| < δ2 ⇒ |β (x) | < 2ε .Выберем δ = min {δ1 , δ2} > 0. Тогда ∀x ∈ U̇x0 (δ) будут иметьместо одновременно неравенства (1.2) и (1.3). Складывая их, получим,чтоε ε(∀x) 0 < |x − x0| < δ ⇒ |α (x) + β (x) | ≤ |α (x) | + |β (x) | < + = ε .2 2Это и означает, что α (x)+β (x) = o(1) (x → x0) , т.е. верно свойство20) . Теорема доказана.Следующая теорема устанавливает связь между бесконечно малымифункциями и функциями, имеющими предел при x → x0.Теорема 1.4.

Если существует (конечный) предел lim f (x) =x→x0= P, то f (x) = P + o (1) (x → x0) . Обратно: если функция f (x)представляется в виде f (x) = P + o(1) (x → x0) , то f (x) имеетпредел в точке x = x0 и lim f (x) = P.x→x0Доказательство. Существование предела lim f (x) = P эквивалентноx→x0высказыванию∀ε > 0∃δ > 0 : (∀x) (0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − P | < ε) .(1.4)Высказывание (1.4), в свою очередь, эквивалентно тому, что функцияα (x) = f (x) − P = o(1) (x → x0) , т.

е. что f (x) =P + o(1) (x → x0) .Теорема доказана.6Лекция 1Замечание 1.2. Равенство f (x) = P + o(1) (x → x0) называютасимптотическим разложением функции f (x) , имеющей предел вточке x = x0.И, наконец, дадим определение предела функции в бесконечности.Сделаем это кратко.Определение 1.4. МножестваU∞ (R) = {x : |x| > R} , U−∞ (R) = {x : x < −R} ,U+∞ (R) = {x : x > R}называются R -окрестностями точек x0 = ∞, x0 = −∞, x0 = +∞соответственно. Следующие высказывания являются определениямипредела функции f (x) в бесконечности:def1) ( lim f (x) = P ) ⇔(∀ε > 0∃R = R (ε) > 0 :x→∞(∀x) (x ∈ U∞ (R) ⇒ |f (x) − P | < ε));def2) ( lim f (x) = P ) ⇔ ∀ε > 0∃R = R (ε) > 0 :x→−∞(∀x) (x ∈ U−∞ (R) ⇒ |f (x) − P | < ε));def3) ( lim f (x) = P ) ⇔(∀ε > 0∃R = R (ε) > 0 :x→+∞(∀x) (x ∈ U+∞ (R) ⇒ |f (x) − P | < ε) .Перейдем теперь к обоснованию арифметических действий над пределами.Теорема 1.5. Если существуют (конечные) пределы lim f (x) =x→x0P1 , lim g (x) = P2 , то и существуют пределы lim [f (x) ± g (x)] , lim [f (x) · g (x)] ;x→x0x→x0x→x0при этомlim [f (x) ± g (x)] = lim f (x) ± lim g (x) ,x→x0x→x0x→x0lim [f (x) · g (x)] = lim f (x) · lim g (x) .x→x0x→x0x→x0Если (кроме существования пределов P1 и P2 ) выполняется ещёусловие P2 6= 0, то существует предел частного lim [f (x) /g (x)] ,x→x0причемlim f (x)f (x) x→x0lim.=x→x0 g (x)lim g (x)x→x071.6.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций