Лекции Бободжанова (1153550), страница 3
Текст из файла (страница 3)
образования сложныхфункций) называется элементарной функцией (общего вида).Имеет место следующая замечательная теорема.Теорема 2.3. Всякая элементарная функция f (x) непрерывна влюбой внутренней точке своей области определения D = D (f ) .Напомним, что точка x = x0 называется внутренней точкой множестваD, если она входит в D вместе с некоторойсвоей окрестностью Ux0 (δ) .√ln ( x+1)непрерывна на множествеНапример, функция f (x) =x−1D = (x > −1, x 6= 1) , так как это множество является областью определенияфункции f (x) и все точки этого множества − внутренние.16Лекция 2Если хотя бы одно из условий определения 2.1 не выполнено, тофункция f (x) называется разрывной в точке x = x0 .
Различают дватипа разрывов:Точка x = x0 − точка разрыва I рода, если:а) существуют f (x0 ) и конечные односторонние пределы f (x0 ± 0) ,но либо они не совпадают, либо хотя бы один из них не равен значениюf (x0) ;б) существуют конечные односторонние пределы f (x0 ± 0) , но f (x)не определена в точке x = x0.Точка x = x0 − точка разрыва II рода: если либо не существуетхотя бы один из односторонних пределов f (x0 ± 0) , либо хотя бы одиниз них равен бесконечности.Например, точка x = 0 − точка разрыва I рода для функций(sin x1, x > 0,f (x) =, g (x) = sign x =x−1, x < 0,а для функции f (x) = sin 1/x она является точкой разрыва II рода.Если lim f (x) = ±∞, то прямая x = x0 − вертикальная асимптотаx→x0 ±0для функции y=f (x) .
Прямая y = kx + b называется наклонной(горизонтальной при k = 0 ) асимптотой функции y = f (x) , еслиlim |f (x) − (kx + b) | = 0. Нетрудно показать, что если существуютx→±∞конечные пределыf (x), b = lim (f (x) − kx) ,x→±∞ xx→±∞k = limто прямая y = kx+b − асимптота кривой y = f (x) . Таким образом,асимптоты функции y = f (x) могут возникнуть при подходе x кточкам разрыва x = x0 второго рода этой функции либо на бесконечности.Рекомендуем ответить на теоретические вопросы и теоретическиеупражнения, касающиеся изложенной выше темы, в типовом расчёте“Пределы.”2.3.
Производная функции в точке, ее геометрический имеханический смысл2.3. Производная функции в точке, ее геометрический имеханический смысл17На рисунке 2.1 изображены график функции y = f (x) , точкиM0 (x0 , f (x0)) , M (x0 + ∆x, f(x0 + ∆x)), M0 M − секущая,0 N − касательная−−M−→ ∧ −→−−−→ ∧ −→к кривой y = f (x) , углы α = M0 N , Ox , β = β (∆x) = M0 M , Ox .Пусть функция y = f (x) определена в точке x = x0 и некоторой ееокрестности Ux0 .Сместимся из точки x0 вyточку x. Величина ∆x = x −x0 называется приращением аргументаMBв точке x = x0, а величина∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0) ≡∆f (x0)∆f (x0) называется приращениемNфункции y = f (x) в точке x =M0αAx0 (соответствующим приращениюK∆x аргумента).xOxx0Определение 2.4.
Если существует(конечный) пределРис. 2.1∆f (x0)f (x0 + ∆x) − f (x0)lim≡ lim= P,∆x→0∆x→0∆x∆xто его называют производной функции f (x) в точке x = x0 и обозначаютdy|x=x0 . При этом функцию f (x) называют дифференцируемойf 0 (x0) ≡ dxв точке x = x0, а величину dy ≡ df (x0 ) = f 0 (x0 ) · ∆x ≡ f 0 (x0) · dxназывают дифференциалом функции f (x) в точке x = x0.Выясним, в чем состоит геометрический смысл производной и∆f (x0 )MKдифференциала. Так как tg β (∆x) = M=и так как β (∆x) →K∆x0bb∆f (x0 )∆x→0 ∆xα, то lim= tg α, т.е. f 0 (x0) = tg α, значит,производная функции f (x) в точке x = x0 является угловымкоэффициентом касательной к кривой y = f (x) с точкой касанияM0 (x0 , f (x0)) .С другой стороны, из рисунка видно,что N K = M0 K ·tg α = ∆x ×× f 0 (x0 ) = df (x0) , поэтомудифференциал df (x0 ) равен приращению касательной M0 N к графикуфункции y = f (x) при переходе аргумента из точки x0 в точкуx0 + ∆x.18Лекция 2Используя геометрический смысл производной легко получить уравнениякасательной и нормали к кривой y = f (x) в точке M0 (x0, f (x0)) :y = f (x0) + f 0 (x0) (x − x0) (касательная),1y = f (x0) − f 0 (x(x − x0 ) (здесь f 0 (x0) 6= 0) , x = x0 (f 0 (x0) = 0)0)(нормаль).Выясним теперь механический смысл производной.
Если S = S (t) −путь пройденный материальной точкой за время от момента t0 до0)момента t0 + ∆t, то ∆S(t∆t − средняя скорость материальной точки, авеличина0)v(t0) = lim ∆S(t= S 0 (t0 ) − мгновенная скорость материальной∆t∆x→0точки в момент t = t0 .Нетрудно показать, что40) любая дифференцируемая в точке x = x0 функция f (x) непрерывнав точке x = x0 (обратное, вообще говоря, неверно; пример: f (x) =|x| − непрерывна в точке x = 0, но f 0 (0) не существует).2.4.
Арифметические действия над производнымиТеорема 2.4. Если функции u = u (x) , v = v (x) дифференцируемыв точке x, то в этой точке дифференцируемы и функции u (x) ±v (x) , u (x) · v (x) , причем00(u ± v) = u0 ± v 0 , (u · v) = u0 · v + u · v 0в рассматриваемой точке x .Если, кроме того, v (x) 6= 0, то в точке x дифференцируемо ичастное, причемu0 · v − u · v 0=.vv2Доказательство проведем для производной суммы.
Имеем u 0∆ (u (x) + v (x)) ≡ (u (x + ∆x) + v (x + ∆x)) − (u (x) + v (x)) == (u (x + ∆x) − u (x)) + (v (x + ∆x) − v (x)) == ∆u (x) + ∆v (x) ,2.5. Производная сложной и обратной функций и функции,заданной параметрически19поэтому∆ (u (x) + v (x)) ∆u (x) ∆v (x)=+⇒∆x∆x∆x∆u (x)∆v (x)∆ (u (x) + v (x))= lim+ lim= u0 (x) + v 0 (x) .lim∆x→0∆x→0∆x→0∆x∆x∆xТеорема доказана.2.5. Производная сложной и обратной функций и функции,заданной параметрическиПриведем без доказательства некоторые утверждения, связанныес производными.Теорема 2.5.
Пусть сложная функция y = f (g (x)) определенав точке x и некоторой ее окрестности и пусть выполнены условия:1. функция u = g (x) дифференцируема в точке x,2. функция y = f (u) дифференцируема в соответствующейточке u = g (x) .Тогда сложная функция y = f (g (x)) дифференцируема в точкеx и имеет место равенство0(f (g (x))) = f 0 (u) |u=g(x) · g 0 (x) .Напомним некоторые понятия.а) Функция y = f (x) : A → f (A) называется обратимой намножестве A, если(∀x1 , x2 ∈ A) (x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x1)) .При этом функция x = g (y) : f (A) → A, сопоставляющая каждомуy ∈ f (A) элемент x ∈ A такой, что f (x) = y, называется функцией,обратной к f (x) .Очевидно, имеют место тождества:f (g (y)) ≡ y (∀y ∈ f (A)) ; g (f (x)) ≡ x (∀x ∈ A) .Заметим, что все строго монотонные на множестве A функцииобратимы на A.20Лекция 2б) Говорят, что функция y = f (x) задана параметрически уравнениямиx = x (t) , y = y (t) (a ≤ x ≤ b) , если функция x = x (t) обратима наотрезке [a, b] .
В этом случае f (x) ≡ y (g (x)) , где t = g (x) − функция,обратная к функции x = x (t) .Теорема 2.6. Пусть функция y = f (x) в некоторой окрестноститочки x = x0 имеет обратную функцию x = g (y) . Пусть, крометого, функция f (x) дифференцируема в точке x = x0 и f 0 (x0) 6= 0.Тогда обратная функция x = g (y) дифференцируема в соответствующей1точке y = y0 = f (x0) и имеет место равенство g 0 (y0 ) = f 0(x.0)Теорема 2.7. Пусть функция y = f (x) задана параметрическиуравнениями x = x (t) , y = y (t) (a ≤ x ≤ b) и пусть выполненыусловия:1) функции x = x (t) , y = y (t) дифференцируемы в фиксированнойточке t ∈ [a, b] ;2) x0 (t) 6= 0 в рассматриваемой точке t.Тогда функция y = f (x) дифференцируема в точке t и имеетместо равенство0f (x) |x=x(t)y 0 (t)yt00= 0⇔ yx = 0 .x (t)xt2.6.
Производные простейших элементарных функцийИспользуя определение 2.4 производной, а также теоремы 2.6 и 2.7,можно доказать следующее утверждение.Теорема 2.8. В области определения соответствующих функций2.6. Производные простейших элементарных функций 21имеют место формулы:Таблица 2.1 производных01) (C) = 0 (C = const.) ;02) (ax ) = ax · ln a0x 0xa>06=1 = const. , (e ) = e ;3) (xα ) = αxα−1 (α = const.) ;014) (ln |x|) =(x 6= 0) ;x0005) (sin x) = cos x, (cos x) = −sin x, (tg x) =0(ctg x) = −1;sin2 x1,cos2 x011, (arccos x) = − √,1 − x21 − x20011,(arcctgx)=−;(arctg x) =1 + x21 + x2 x x0000e − e−xe + e−x7) (sh x) ≡= ch x, (ch x) ≡= sh x,2200sh x1= 2 .(th x) ≡ch xch x06) (arcsin x) = √И, наконец, рассмотрим пример вычисления производной сложнойфункции, состоящей из многих звеньев:0arctg2 (ln (sin (3x + 2))) = 2arctg (ln (sin (3x + 2))) ·1× sin(3x+2)·cos (3x + 2) · 3.12×1+(ln (sin(3x+2)))Лекция 3.
Логарифмическая производная.Производные и дифференциалы высших порядков.Формула Тейлора с остаточными членами в формеЛагранжа и Пеано. Формулы Маклорена − Тейлорадля простейших элементарных функций. ПравилоЛопиталя. Применение формулы Тейлора3.1. Логарифмическая производнаяПри дифференцировании показательно-степенной функции y =0[u (x)]v(x) обычно используют логарифмическую производную (ln f (x)) =f 0 (x)f (x) . Делается это так:0= ev(x)ln[u(x)] ⇔ y0 = ev(x)ln[u(x)] =0· (v (x) ln [u (x)]) = [u (x)]v(x) · v 0 (x) ln [u (x)] + v (x) ·y = [u (x)]v(x) ≡ eln[u(x)]v(x)ln[u(x)]=ev(x)x3 0u0 (x)u(x). 3 20032x ln(x +1)= e= ex ln(x +1) × x3ln x2 + 1 =Например, x + 1x3x2 + 1 · 3x2ln x2 + 1 + x3 · x22x+1 .23.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
