В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Согласно замечанию 2 предыдущего пункта этого не может быть Таким образом, указанное выше своиство эллипса деиствительно справедлива Совершенно аналогично устанавливаются следующие оптические свойства гиперболы и параболы 1' Лучи света, исходящие ° з одного фокуса Е, гиперболы, после верка ~ьного отражения от гиперболы каэсутггя исходящими из другого гг фокуса Еэ (рнс. 6.17). 2 Лучи саста, исходящие из фокуса парабольк после зеркального отражения от ларабо гы образуют пучок, параллельный оси параболы (рис 6 18) 3 а м е ч а н и е 1. Оптические свойства элаипса, гиперболы и параболы широко испозшзуются в инженерном деле В частности, оптическое своиство параболы используется при конструировании прожекторов, антенн и телескопов 3 а м е ч а н и е 2. Назовем фронтом волны тече шаго исто шика света Е линию, лля всех точек О которои путь, проделаннын световым лучом, пришедшим нз источника )66 кривы» второ)о порядкл й 5! Р в точку О.
одинаков Если волна, вышедшая из точечного источника Р, не претерпевает отражений, то фронт ее. очевидно, будет представлять собои окружность Если же указанная волна отражается от некоторои кривои!., то форма ее фронта меняется в зависимости от вида кривои О Парабола обладает следующим замечательным свойством фронт Ф отроженной от параболы волны при ус ювии роспояоження источника свето в фокусе Р пораболы представляет собой прямую, ппраллшшную директрисе О этой перебоям !рис 6 !8) В самом деле. рассмотрим прял|ую Ф, параллельови очи ную директрисе О. Пусть Π— произвольная точка этой прямой.
Из оптического своиства параболы выч екает, что если РМ вЂ” падающии луч, приходящии после отражения в точку Д, то отраженный луч МО о о и Рис 6.)8 Рис 6 )7 перпендикулярен директрисе О. Обозначилч через Р точку пересечения луча МЦ с директрисой О Очсвидно сумма !йМ1 е )МР! равна !ОМ! е )МР! )Так как ! ЯМ! -» ~!МР~ = и, где и — не зависящее от точки О расстояние межлу прямымн Ф и О, то для любон точки Ц линии Ф сумма ! ЦМ ! е )МР ! одна и та же !равна и), т е Ф вЂ” фронт отраженнои волны 9 5.
Кривые второго порядка Обращаясь к каноническим уравнениям эллипса, гиперболы и параболы (см. уравнения (6.4), 16.9) и (6.15) этой главы), мы видим, что перечисленные кривые представляют собой алгебраические линии второго порядка 1см. гл. 4, э 1, п.
5). Естественно поставить вопрос о том, какие еи4е линии являются алгебраическими линиями второго порядка. Этот вопрос и рассматривается в настоян)ем параграфе. Рассмотрим обпгее алгебраическое уравнение второго порядка а Пх -» 2а,уху е а22у + 2а ых -» 2айау + аэа — - О. 2 2 Линия Л, определяемая этим уравнением (т,е, алгебраическая линия второго порядка), рассматриваемая как геометрический объект 2), не ') Согласно определению параболы )см. и. 3 4 ! этой главы). ) Меже» оказаться. что уравнение (6.60) не определяет линии этому уравнению могут удовлетворять координаты лишь одной точки или не наидется ни однои точки, координаты которой удовлетворягот (6.60).
Однако и в этом слу ~ае мы будем говорить о геометрических обьектах, определяемых уравнением !6 60), называя эти объекты вырожденными или мннмыжн. Подробнее об этих вопросах см в гл 4 ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 170 ~ГЛ 6 меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат.
Отметим, что исходное уравнение (6 60) и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны (см. и. 5 ~ 1 гл. 4). Можно ожидать, что при специальном выборе декартовой системы координат уравнение (6.60) примет настолько простой вид, что геометрическая характеристика линии й не будет представлять затруднений.
Этим методом мы воспользуемся для выяснения всех типов линий второго порядка. В процессе рассуждений мы укажем правила, с помощью которых выбирается система координат, в которой уравнение линии Е выглядит наиболее просто.Мы сформулируем также признаки, позволяющие узнать тип линии второго порядка по ее исходному уравнению. 1. Преобразование коэффициентов уравнения линии второго порядка при переходе к новой декартовой системе координат. Так как переход от одной декартовой прямоугольной системы координат на плоскости к другой декартовой прямоугольной системе координат может быть осуществлен путем некоторого параллельного переноса системы координат и последующего поворота (включая в поворот и зеркальное отражение (см.
3 1 гл. 3)), мы рассмотрим отдельно вопрос о преобразовании коэффициентов уравнения (6.60) при параллельном переносе и при повороте. При этом, конечно, будем считать, что е уравнении (6.60) по крайней мере адин из коэффициентов ап, а„или а;, отл и чен от нуля. Условимся о следующей терминологии: группу слагаемых апх + + 2а,,ху+ аззу левой части (6.60) будем называть группои старших членов этого уравнения, а группу слагаемых 2аых+ 2ащу+ азз будем называть линейной частью уравнения (6.60).
При этом коэффициенты ап, аы, азз бУдем называть коэффиЦиентами гРУппГЯ стауших членов, а коэффициенты аги азз и аю — коэффициентами линейной части (6.60). Коэффициент а„обычно называется свободным членом уравнения (6.60). 1'. Преобразоеиние коэффициентов при параллельном переносе. Пусть декартова прямоугольная система координат О'х'у' получена параллельным переносом системы Оху вдоль вектора ОО'. Как известно, старые и новые координаты точки связаны соотношениями (6.61) х=х'ч-хо, У=у +уо где хь, уо — координаты начала О' в системе Оху (см.
гл. 3, 3 1, формулы (3.12)). Подставляя выражения (6.61) для х и у в левую часть (6.60), мы получим уравнение ь в системе О'х'у . Очевидно, это уравнение имеет вид а,,х' ч-2аиах У'+ азаУ'~ ~-2а1зх'+ 2а,'зУ' еаза — — О, (662) кривык второго порядка а 3| где а,'!= а„хоч-а,зуоч-а,з, азз = а12хо ч. аззуо ч. азз азз=с'1!хо +2ащхоуо+!'2 Уо ч 2а1зхоч 21' зуоесзз. (6.63) Обращаясь к уравнению (6.62), мы можем сделать следующий важный вывод: при параллельном переносе системы координат коэффи)(иентьт группы старших членов не изменяются, а коэффициенты группы линейных членов преобразуются по формулам (6.63).
3 а м е ч а н и е 1. Используя первую и вторую из формул (6.63), можно, очевидно, выражению для аз, придать следующий вид: азз (а!3 1 а13) хо 1 (а23 1 а23) Уо+ аЗЗ (6.64) 2'. Преобразование коэффит(иентов при повороте. Пусть декартова прямоугольная система координат Ох'у' получена поворотом системы Оху на угол ср(при этом не исключается поворот на угол ср, равный нулю). Как известно, старые и новые координаты точки связаны соотно- шениями х = х' соз ср — у' з|п ср, у = х ' ып ср + у ' соз ср (6 65) а|',х "2 + 2а,'вх'у'+ аззу'2 + 2а,'зх'+ 2аззу'+ азз — — О, (6.66) где ) 1 1 а,', = агз з|п 2ср + — (а„— а22) сов 2ср + — (а,1+ а22), 2 2 1 а,'2 = — — (ан — а22)з|п21р+ агз соз21р, 2 ! 1 а22 — — — а|2 з|п 2ср — — (а), — а22) сов 2ср + — (а,|+ а22), (6.67) а,'3 — — ам соз тр ч- арл з|п ср, аз! —— аз! соз ср — а)3 31п ср, азз = азз.
) При выводе этих 1 — соз зч а|п ср= —, соз ср о форыул использовались равенства 2 з1п ср соь ср= э!п 2Е, 1 э Гоз зэз 2 (см. гл. 3, э 1, формулы (3.13)). Подставляя выражения (6.65) для х и у в левую часть (6.60) и группируя коэффициенты при различных степенях х' и у', мы получим уравнение Л в системе Ох'у'. Очевидно, это урав- нение имеет вид ли)ии ВТОРОГО ИОРядкА ~гл б Мы можем сделать следующий важный вывод: ПРи повоРоте системы кооРдинат коэффиЦиенты а,'и а,'т, а,,'2 группы старших членов уравнения (6.66) взыражаются лишь через угол ер поворота и через коэффициентся ап, аы, ааг групп!я старших членов уравнения (6.60); коэффициенты а,', и а,;з уравнения (6.60) выражаются лишь через угол ер и коэффициенты а,з и азз уравнения (6.60); свободныи член не изменяется (т.е.
аз, — — ап). 3 а м е ч а н и е 2. Обозначим через А, В и С соответственно вели- чины ! 2 2 2 (а!!+а22) .а!з еаза. 1 Введем, далее, угол и, считая сова = — "-, з(пи = при А в 0 а„в (а! ! — а22) А А и О=О при А =О, пугал р, считая соз () = азат'С, з(п ))= ад/Сири СлО и (з=О при С=О'). Тогда, очевидно, выражения (6.67) для коэффициентов а„' можно переписать в следующем виде: а,', =А з(п (2орч-и) еВ, а;2 = А сов (2ер + а), а 22 = — А ьцп (2цз + со) + В, а,'т = С з(п (тр е ))), а,'з — — С соз (ор+ )3), азз = азз. (6.68) )'(а~! ам " азз) =)'(а!), а!2, азз). Докажем следующую теорему.
') Известно, что, каковы бы ни были величины Р и Ц. удовлетворяющие условию Р О Р + О ко, можно нанти такои утол у, что соку = — и юо у =— ,/Р та /Р. Оз Отметим, что величины А, В и С и углы а и !з не зависят от гр. 2. Инварианты уравнения линии второго порядка. Понятие типа линии второго порядка. Назовем инвариантом уравнения (6.60) линии второго порядка относительно преобразований декартовой системы координат такую функцию ~(ап, а,ю, аз,) от коэффициентов ан этого уравнения, значения которой не меняются при переходе к навои декартовой прямоугольной системе координат. Таким образом, если )'(ап, аы,, аз,) — инвариант и а,', — коэффициенты уравнения линии второго порядка в новой системе декартовых координат, то кривыь второ)о порядка 173 'Теорема б.д.
Величины ап а,г и,з аы агг агз и!з агз азз ап ам 1, = аг! -~ азп 1, =, 1з = а!2 агг 16.69) а!! а!2 а!3 ам агг агз а!3 а22 азз Вычитая из последней строки этого определителя первую строку, умноженную на хо, и вторую, умноженную на уо (хо и уо — координаты нового начала О'), и используя при этом выражения для а;, и а;, формул (6.63) и выражение (6.64) для а;з, найдем, что этот определитель равен ') азз ан аы пм аг. агз а,з пл аззхо + пгзуо и- пзз Если теперь вычесть из последнего столбца полученного определителя первый столбец, умноженный на хо, и второй, умноженный на уо, и использовать пРи этом выРажениЯ длЯ а;з и агз из фоРмУл (6.63), то в Результате получится определитель, стоящий в правой части выражения для 12 в формулах (6.69).
Итак, инвариантность 12 при параллельном переносе системы координат доказана. Рассмотрим теперь поворот декартовой системы координат. В 2' предыдущего пункта мы нашли, что при этом преобразовании коэффициенты а,', уравнения линии 1. в новой системе связаны с коэффициентами ао уравнения этой линии в старой системе с помощью формул (6.68) ) Напои!пни, что при указанных преобразованиях значение определителя не меняется !ск! Дополнение к тл 1) являются инвариантами уравнения 16.60) линии второго порядка относительно преобразований декартовой системы координат. Д о к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
