В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 31
Текст из файла (страница 31)
6.5), заданную урав- нением ИССЛЕДОВАПИЕ ФОРМЫ ЭЛЛИПСА. 1ИПЕРВОЛЫ И ПАРАЕОЛЫ 151 Ь 21 Произведем теперь равномерное сжатие плоскости к оси Ох, т.е. такое преобразование, при котором точка с координатами (х, у) перейдет Ь в точку с координатами (У, у), причем х = х, а у = — у . Очевидно, при а этом преобразовании окружность (6.16) перейдет в кривую, определяе- х у мую уравнением —, Р— = 1, т.е. в эллипс. а Ь Рис бя Рис 55 2. Исследование формы гиперболы.
Обратимся к каноническому уравнению гиперболы (6.9) х у — — — =!. аз Ь2 1'. Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и иентр симметрии (центр гиперболь1). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, которые называются вершинами гиперболы. Эта ось называется действительной осью гиперболь1.
Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и поэтому называется мнимой осью гиперболы. Таким образом, мнимая ось гиперболы разделяет плоскость на правую и левую полуплоскости, в которых расположены симметричные относительно этой оси правая и левая ветви гиперболь1. Справедливость указанного свойства симметрии гиперболы вытекает из того, что в уравнении (6.9) величины х и у фигурируют в четных степенях. Следовательно, если координаты х н у точки М удовлетворяют уравнению (6.9) (т.е. точка М располагается на гиперболе), то этому уравнению удовлетворяют координаты ( — х, у) и (х, — у) симметричных ей точек относительно осей координат и координаты (-х, -у) точки, симметричной М относительно начала координат (рис. 6.6). Таким образом, если гипербола задана своим каноническим уравнением (6.9), то главными осями этой гиперболь1 являются оси координат, а центром гиперболы — начало координат.
)ш1 6 ЛИПИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 152 Убедимся теперь, что ось Ох является действипгельной осью гиперболы, точки А (-а, О) и В(а, О) — веризинами гиперболы и ось Оу является мнимой осью гиперболы. Для этого достаточно доказать, что У ось Ох пересекает гиперболу в точках А и В, а ось Оу не имеет обших 6 точек с гиперболой. Так как ордина- ты точек оси Ох равны нулю, то для (-х,у) , М(ху) выяснения величины абсцисс точек ! пересечения этой оси с гиперболой 1 нужно в уравнении (б.9) положить Р 1 у = О.
После этого мы получим уравне(-х,-у) (х -У) ние хз/аз = 1, из которого находятся абсциссы точек пересечения оси Ох с гиперболой. Полученное уравнение имеет решения х = — а и х = а. СледоРис. 6.6 вательно, ось Ох пересекает гипер- болу(т.е.является еедействительной осью) в точках А (-а, О) и В (а, О) (т.е. эти точки и есть вершины гиперболы). Поскольку абсциссы точек оси Оу равны нулю, то для ординат точек пересечения этой оси с гиперболой получаем из (6.9) уравнение -у,)Ь = 1, которое не имеет действительных решений.
Следователь- 2 З но, ось Оу является мнимой осью гиперболы. 3 а м е ч а н и е. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси. 2'. Рассмотрим область 6, которая получена объединением прямоугольника Р, координаты х и у точек которого удовлетворяют неравенствам ~ х ~ < а, ~ у ~ < Ь, и тех двух углов, образованных диагоналями этого прямоугольника, в которых располагается мнимая ось гиперболы (на рис. б.б эта область заштрихована). Убедимся, что в области 6 неп) точек гиперболы. Разобьем область 6 на две части 6, и 62 где 6, представляет собой полосу, абсциссы х точек которой удовлетворяют неравенству )х~ < а, а 62 — остальная часть области 6 ).
Очевидно, в полосе 6, нет точек гиперболы, так как абсциссы х точек, расположенных на гиперболе, удовлетворяют неравенству ~ х ~ > а '). Обратимся теперь к точкам области 6,. Заметим, что каждая точка 62 либо лежит на диагонали прямоугольника Р, либо за его диагональю з). Поскольку диагонали Р опре- ) Область Р! представляет собои, очевидно, полосу, заключенную мсжлу безгранично продолженных~и вертикальными сторонами прямоугольника Р. Область 02 состоит из четырех частей, каждая из которых располагается в одном из координатных углов т ) Из канонического уравнения гиперболы вытекает, что --- =1+ —, т.е, х )а 1.
е ь~ Последнее неравенство эквивалентно неравенству )к) > а ) Будеы говорить, что точка М плоскости лежит за диагональю прямоугольника Р, если перле| жикуляр, опуженныи из М па ось Ок, пересекает эту диагональ. 4 21 ИССЛБДОВАНИЕ ФОРМЫ ЭЛЛИПСА, |'ИПЕРБОЛЪ| И ПАРАБОЛЫ 153 'Х Ч гиперболы — — †' = 1, то в области 62 нет точек гиперболы. а2 ь2 3'. Установим важное свойство гиперболы, связанное с ее расположением относительно диагоналей прямоугольника Р, о котором говорилось выше.
В общих чертах это свойство заключается в том, что ветви гиперболы приближаются к диагоналям прямоугольника Р. В силу симметрии гиперболы это свойство достаточно выяснить для части гиперболы, расположенной в первой четверти. Координаты х и у точек гиперболы, расположенных в первой четверти, удовлетворяют условиям х > а, у > 0 2). Обращаясь к уравнению (6.9), мы видим, что при указанных условиях это уравнение эквивалентно соотношению х у =Ь ~ —,-1. (6.17) Иными словами, рассматриваемая часть гиперболы представляет собой график функции (6.! 7) '), Легко убедиться, что эта функция мо- жет быть представлена в следующей форме: Ь Ь у= — х— х + тГхз — аз (6.18) Обратимся теперь к диагонали прямоугольника Р, расположенной в первой четверти. Она определяется уравнением Ь у = — х.
а (6. 19) Сравним величины ординат у и у рассматриваемой диагонали и части гиперболы для одного и того же значения х, т.е. рассмотрим разность )' — у (рис. 6.7 а). Используя соотношения (6.18) и (6.19), получим Ь (6.20) — у— х ж чГх — а ') Абсциссы х точек 02 нс равны нулю ) В силу свойства й' гиперболы (6.9) абсциссы ее точек уловлетворяют условию )х ! > а Для точек первои четверти зто условие к2олсет быть записана в виде х > и. '|) По поводу понятия график функции сы вып 1, гл 1, Э 2, и 4 ь ь делаются уравнениями у = — х и у = — — х, то координаты х и у точек а а 62 в силу их расположения удовлетворяют неравенству Ь,га < ~ у ~ у' ) х ~ ). Из этого неравенства вытекает неравенство ) х ~ )2а < )у!)г Ь, из которого х у в свою очередь следуют неравенства — „— —, < О < 1, а так как для точек а Ь 1гл б 154 ЛИ1ШИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Из соотношения (6.20) следует, что при х — э 0 разность У вЂ” у стремится к нулю.
Абсолютная величина ) У вЂ” у( равна длине отрезка МАГ(рис. 6 7 а). Так как расстояние МР от точки М гиперболы до рассматриваемой диагонали не превышает длины отрезка МАГ, то при удалении точки М гипербольг в бесконечность (т.е. при х — + О) расстояние МР стремится к нулю. Следовательно, рассматриваемая часть ветви гиперболы приближается к соответствующей диагонали прямоугольника О. В силу симметрии аналогичным свойством обладают и другие части гиперболы, расположенные во второй, третьей и четвертой четвертях.
Рис. 6 7 Диагонали прямоугольника В обычно называются асимптотами гиперболы. Отметим, что асимптоты гиперболы определяются уравнениями Ь Ь у= — х и у= — — х. (6.21) а а 4'. Наряду с гиперболой (6.9) рассматривают так называемую сопряженную по отноидению к ней гиперболу. Сопряженная гипербола определяется каноническим уравнением (6.22) На рис.6.7 б изображены гипербола (6.9) и сопряженная ей гипербола (6,22). Очевидно, что сопряженная гипербола имеет те же асимптоты, что и данная.
Иными словами, асимптоты сопряженной гиперболы определяются уравнениями (6.21). Заметим, что гипербола (6.9) в свою очередь является сопряженной по отношению к гиперболе (6.22). ') Чтобы убедиться, что уравнение 16 22) определяет гиперболу, достаточно положить х = Р, у = х и уииожить обе части етого уравнении па — 1. ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА, ГИНЕРЬОЛЫ И ПАРАБОЛЫ у 3! 3. Исследование формы параболы. Обратимся к каноническому уравнению параболы (6.15): у = 2рх.
(6. 15) 1'. Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершинои параболы. Действительно, в уравнении (6.15) величина у фигурирует вчетной степени. Следовательно, если х , М(х, координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (6.15) (т.е. точка М располагается на параболе), то этому уравнению удовлетворяют координаты (х, — у) симметричной ей точки относительно оси Ох (рис. 6.8). Таким образом, если парабола задана своим каноническим уравнением (6.15), то осью этой параболь! является Р'т ось Ох. Очевидно, вершиной параболы является начало координат. 2'.
Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху. В самом деле, так как р > О, то уравнению (6.15) удовлетворяют координаты точек лишь с неотрицательными абсциссами. Такие точки располагаются в правой полуплоскости. 3'. Из рассуждений п. 3 ~ 1 этой главы вытекает, что директриса параболы, определяемой каноническим уравнением (6.15), имеет уравнение у) у = — р!!2 й 3. Директрисы эллипса, гиперболы и параболы Определение параболы, данное в п. 3 ~ 1 этой главы, базировалось на свойстве этой кривой, которое связано с ее фокусом и директрисой.
(6.23) 4'. Любые две параболы подобны друг другу. Пусть уа = 2рх и у = 2р*х — канонические уравнения этих парабол в декартовой системе Оху; у = йх — уравнение произвольной прямой, проходящей через О, а (х, у) и (х", у*) — координаты точек пересечения этой прямой с параболами. Используя канонические уравнения, получим х = 2р/йз, у = ч.2р/й, хл = 2р"'/й, у' =ч.2р'"г!й. Из последних формул вытекает, что — = р/р", — = р!!р*. Но эти равенства означают подобие рассматри- Х ваемых парабол относительно точки О. 5'. Отметим, что кривая у' = 2рх при р < О также является параболой, которая целиком располагается в левой полуплоскости плоскости Оху. Чтобы убедиться в этом, достаточно заменить х на -х и -р на р.
ЛИ1ШИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1гл б 156 Это свойство можно сформулировать также и следующим образом: парабола есть геометрическое место точек плоскости, для которых отношение расстояния до фокуса к рассптоянию до отвечающей этому фокусу директрисы есть величина постоянная, равная единице. Оказывается, отличный от окружности эллипс и гипербола обладают аналогичным свойством: для каждого фокуса ') эллипса или гиперболья можно указать такую прямую, называемую д ир е к т р ис о и, что отношение расстояния от точек этих кривых до фокуса к расстоянию до отвечающей этому фокусу директрисы есть величина постоянная. Данный параграф посвящен выяснению этого свойства эллипса и гиперболы.
1. Эксцентриситет эллипса и гиперболы. Обратимся к эллипсу (гиперболе). Пусть с — половина расстояния между фокусами эллипса )(гиперболы), а — большая полуось эллипса (действительная полуось гиперболы). Определение. 3 к сцен т р и си тетом эллипса (гипербольг) называется величина е, равная отношению с)а: е = с,Га. (6.24) 3 а м е ч а н и е 1. Учитывая связь величины с с длинами а и Ь большой и малой полуосей эллипса (с длинами действительной и мнимой полуосей гиперболы) (см. формулы (6 5) и (6.! О)), легко получить следующие выражения для эксцентриситета е: Г Ь для эллипса е = ~1- —,, а (6.25) Г ь' для гиперболы е = ~1е —, а (6.25') ) Напомним, что отличный от окружности эллипс и гипсроола имеют по два фокуса аэ ) Голи эллипс представляет собои окружность, то с = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
