В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 30
Текст из файла (страница 30)
3 а м е ч а н и е. Если полуоси эллипса а и Ь равны, то эллипс представляет собой окружность, радиус которой равен )т = а = Ь, а центр совпадает с началом координат. ) !1апомним, что о > с, и поэтому а — с > О. 2 2 ) Поскольку ~ х ~ < а и суп < 1 Заметим, что неравенство ~ х ~ < и непосредственно вытекает иа уравнения (6.4), иа которого ясно, что х~)от < !. Так как уравнение (6.4) представляет собой алгебраическое следствие уравнения эллипса (6.3), то координаты х и у любой точки М эллипса будут удовлетворять и уравнению (6.4). Поскольку при алгебраических преобразованиях, связанных с избавлением от радикалов, могли появиться «лишние корниьч мы должны убедиться в том, что любая точка М, координаты которой удовлетворяют уравнению (6.4), располагается на данном эллипсе. Для этого, очевидно, достаточно доказать, что величины г, и гт для каждой точки удовлетворяют соотношению (6.1).
Итак, пусть координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (6.4). Подставляя значение у из (6.4) в правую часть выражения (6.2) для ги после несложных с с 2 преобразований найдем, что г, = а + -х! . Так как а + — х > О ), то а а с с г, = а+ — х . Совершенно аналогично найдем, что сз — — а — — х. Таким а а образом, для рассматриваемой точки М КАН011ИЧВСКИВ УРАВНЕНИЯ 147 2. Гипербола. Определение.
Ги пер бал ой назьсвается геометрическое место точек плоскости, для которой абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированньгх точек Р, и гв этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная ). Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем начало координат в середине отрезка Р,РФ а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 6.2.
Пусть длина отрезка Р,г, равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки г", и га соответственно имеют координаты 1 — с, О) и 1с, О). Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении гиперболы. Очевидно, 2а < 2с, т.е. а < с 2). Пусть М вЂ” точка плоскости с координатами (х, у) 1рис. 6.2). Обозначим через г, и га расстояния МР, и Мг"з Согласно определению гиперболы равенство ~г, — гз( =2а 16.7) является необходимым и достаточным условием расположения точки М на данной гиперболе.
Используя выражения (6.2) для г~ и гз и соотношение (6.?), получим следующее необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данной гиперболе: т1» )'+г'-4*- )'+г' =з' 16.8) Используя стандартный прием еуничтожения радикаловь, приведем уравнение 16.8) к виду х у — — =1, 16.9) а Ь где Аз=с' — а' (6.10) )т)ы должны убедиться в том, что уравнение (6.9), полученное путем алгебраических преобразований уравнения (6.8), не приобрело новых корней.
Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты ) Фокусы Р, и Пз гиперболы естественно считать различными, ибо если указанная в определении гиперболы постоянная не равна нулю, то иет ни однои точки плоскости при совпадении Е, и Ез, которая бы удовлетворяла требованиям определения гиперболы. Если же зта постоянная равна нулю и Г, совпадает с си то любая точка плоскости удовлетворяет требованияы определения гиперболы. в) Если М вЂ” точка гиперболы, то ( МР, ! — )Мрз ! = 2о, а так как разность двух сторон МГ, и Мдз треугольника Мгг~дз меньше третьеи стороны Р, Рз = 2с, то 2о > 2с.
Случай 2о = зс естественно исключить, так как тогда точка М располагается на прямои Р<рз вне отрезка Е~ Ез и гипербола вырождается в два луча липни ВТОРОГО ИОРядкА 1гл б 14 И х и у которой удовлетворяют уравнению (6.9), величины г, и ге удовле- творяют соотношению 16.7). Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе формул (6.6), найдем для интересую- ших нас величин г~ и гз следующие выражения ): с а+ — х при х>0, а с — а+ — х при х>0, а 16.
11) с -а — — х при х<0, а с а--х при х < О. а Таким образом, для рассматриваемой точки М имеем ~ г, — га~ = 2а, и поэтому она располагается на гиперболе. Уравнение 16.9) называется каноническим уравнением гиперболои Величины а и Ь называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. 3. Парабола. Определение. Па р а бал о й называется геометрическоеместо точек плоскости, для которгях расстояние до некоторой фиксированной точки с этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рассматриваемой плоскости. Указанная в определении точка Е называется фокусом параболы, а фиксированная прямая — директрисой д) параболы.
Для вывода канонического уравнения параболы выберем начало О декартовой системы координат в середине отрезка сО, представляющего собой перпендикуляр, Рис бз опугценный из фокуса г" на директрису '), а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 6.3. Пусть длина отрезка Ест равна р. Тогда в выбранной системе координат точка г имеет координаты (ртг2, О). Пусть М вЂ” точка плоскости с координатами 1х, у).
Обозначим через г расстояние от М до Р, а через д — расстояние от М до директрисы 1рис. 6.3). Согласно определению параболы равенство 16. 12) ) При этом мы лолжны у ~есть, что ~ х ~ > о и с/и > 1. Заметим, что неравенство ~ х ~ > и непосредственно вытекает из уравнения 16 9). ) Слово директриса означает иилривляюгиия. з) Естественно считать, что фокус Р ие лежит па лиректрисе, ибо в противном случае точки плоскости, для которых были бы выполнены условия определения параболы, располагались на прямои, проходягдеи через Е перпендикулярно директ рисе, т е парабола выролилась бы в прямую.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ЭЛЛИПСА. ГИПБРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ 149 является необходимогм и достаточным условием расположения точ- ки М на данной параболе. Так как х--) +у, д=-+х ), Р 2) 2 (6. 13) то, согласно (6.!2), соотношение х — — )+у = — +х Р е Р 2) 2 (6. 14) представляет собой необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данной параболе.
Поэтому соотношение (6.14) можно рассматривать как уравнение параболы. Путем стандартного приема еуничтожения радикалов э это уравнение приводится к виду у = 2рх. (6. 15) 2 2. Исследование формы эллипса, гиперболы и параболы по их каноническим уравнениям Мы уже имеем наглядное представление о форме эллипса, гиперболы и параболы (см. рис. 6.1). Исследование канонических уравнений этих линий позволяет выяснить свойства, более точно характеризующие их форму. ) Э ~ а формула верна лишь для точек с неотрицательными абсциссами х.
Для точек с отрицательными абсциссами, как легко видеть, выполняется соотношение г > и, и поэтаму такие то гки можно исключить иэ рассмотрения. Убедимся в том, что уравнение (6.15), полученное путем алгебраических преобразований уравнения (6.14), не приобрело новых корней.
Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (6.! 5), величины г и д равны (выполнено соотношение (6. !2)). Из соотношения (6.15) вытекает, что абсциссы х рассматриваемых точек неотрицательны, т,е. х > О. Для точек с неотрицательными абсциссами д = — + х . Найдем теперь выражение для расстояния г от точ- Р 2 ки М до г". Подставляя у из выражения (6.15) в правую часть выражения для г(6.!3) и учитывая, что х > О, найдем, что г = — + х . Таким образом, Р 2 для рассматриваемых точек г= д, т.е. они располагаются на параболе. Уравнение (6.!5) называется каноническим уравнением параболвг.
Величина р называется параметром параболы. ли! Вчи ВТОРОГО ИОРядкА ~ГЛ б 150 1. Исследование формы эллипса. Для удобства запишем еще раз каноническое уравнение эллипса (6,4): х у — ч- — = 1. а Ь (6.4) уе — + — =1. а Ь (6.1 6) ) Если эллипс представляет собой окружность, ~о любая прямая, проходищая через центр окружности, является осью симметрии. Отметим. что центром эллипса является точка пересе ~ения главных осеи. При этом будем считать а > Ь.
1'. Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса) ). Действительно, в уравнении (6.4) величины х и у фигурируют в четных степенях. Следовательно, если координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (6.4) (т.е, точка М располагается на эллипсе), то этому уравнению удовлетворяют координаты ( — х, у) и (х, — у) симметричных ей точек относительно осей координат и координаты (-х, -у) точки, симметричной М относительно начала координат (рис.
6А). Таким образом, если эллипс задан своим каноническим уравнением (6.4), то главными осями этого эллипса являются оси координат, а центром эллипса — начало координат. Точки пересечения эллипса с главными осями называются вершинами эллипса. Точки А, В, С, О на рис. 6.4 — вершины эллипса. Очевидно, эти вершины имеют соответственно координаты ( — а, 0), (О, Ь), (а, 0), (О, — Ь). 3 а м е ч а н и е 1. Очевидно, длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2Ь.
Так как 2а > 2Ь, то главная ось, образуюшая в пересечении с эллипсом отрезок 2а, называется большой осью эллипса, Другая главная ось называется малой осью эллипса. Если эллипс задан уравнением (6.4), то при а > Ь большой осью будет ось Ох, а малой — ось Оу. При Ь > а большой осью будет ось Оу, а малой — ось Ох. 3 а м е ч а н и е 2. Очевидно, фокусы эллипса располагаются на его большой оси. 2'. Весь эллипс содержится внутри прямоугольника ~х~ < а, ~ у ~ < Ь (на рис.
6.4 этот прямоугольник не заштрихован). В самом деле, из канонического уравнения (6.4) вытекает, что хт/аа < 1 и уа,ГЬа < 1. Эти неравенства, очевидно, эквивалентны неравенствам 1х~ < а и ~у~ <Ь. 3'. Эллипс может быть получен посредством равномерного сжатия окружности. Рассмотрим окружность (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
