В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(5.38) у — у) г — г| (5.39) =0 ха — х| ув у| х — х э ) При этом, как и всюду выше, мы понимаем всякую пропорцию а(Ь = с1и в смысле равенства аи = Ьс 4. Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой. Поставим перед собой цель— вывести уравнение плоскости, проходящей через три различные точки М,(хы уы г,), М,(хю ую га) и Мз(хм уз, гз), не лежащие на одной прямой. Так как указанные три точки не лежат на одной прямой, векторы М М, = (ха — х,, у. — ун г, — г, ) и М Мз = (хз — хы у, — уи гз — г, ) не коллинеарны, а поэтому точка М (х, у, г) лежит в однои плоскости с точками Ми Ма и Мз тогда и только тогда, когда векторы М,М М,Мз и М,М = (х — хн у — уи г — г,) компланарны, т.е.
тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих трех векторов равно нулю (см. гл. 2, э 3, п. 4). Используя выражение смешанного произведения в координатах, мы получим необходимое и достаточное условие принадлежности М(х, у, г) к указанной плоскости в виде (см. гл. 2, 3 3, п. 7) ЛИ1П:ИНЫВ ОЬРДЗЫ 1Зк 1гл 5 Уравнение первой степени (5.39) и является уравнением искомой плоскости. 5. Нормированное уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости. Рассмотрим какую угодно плоскость л.
Проведем через начало координат О прямую и, перпендикулярную плоскости л, и обозначим буквой Р точку пересечения прямой и и плоскости л (рис. 5.9). На прямой и а, р возьмем единичный вектор и, направление которо- го совпадает с направлением отрезка ОР (в случае к совпадения точек О и Р направление и выберем прах извольно). Поставим перед собой цель — выразить уравнеРис. 5 9 ние плоскости л через следующие параметры: 1) длину р отрезка ОР; 2) углы а, )з и у наклона вектора п к осям Ох, Оу и Ог соответственно. Так как и — единичный вектор, то его координаты, соответственно равные его проекциям на оси координат, имеют вид ) (5.40) и = (соз О., со5 )в, со5 у). Очевидно, точка М (х, у, г) лежит на рассматриваемой плоскости л тогда и только тогда, когда проекция вектора ОМ на ось, определяемую вектором и, равна р, т.е.
при условии (5.41) пр„ОМ = р. Так как и — единичный вектор, то в силу определения 2 скалярного произведения (см. п. 1 3 2 гл. 2) (5.42) пр„ОМ =и. ОМ. Имея в виду, что ОМ = (х, у, г), а вектор и определяется равенством (5.40), мы получим следующее выражение для скалярного произведения этих векторов: и. ОМ =х соз а+усов 13+г соз у. (5.
43) Из сопоставления (5.41), (5.42) и (5.43) вытекает, что точка М (х, у, г) лежит на плоскости л тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют уравнению х соз а+ у соз 1з+ г соз у — р = О. (5. 44) (5.44) и есть искомое уравнение плоскости л, выраженное через параметры р, а, р и у. Это уравнение нззывается нормированным уравнением плоскости. 1 В силу того, что нроекнив вектора на любую осв равна модулю этого вектора.
умноженному на косинус угла наклона к оси (см и. 5 ф 1 гл 2) 133 РАЗЛИЧНЬЦ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ 4 31 Введем теперь фундаментальное понятие отклонения произвольной точки М от даннои плоскости л. Пусть число с( обозначает расстояние от точки М до плоскости и. Назовем отклонением 5точкиМотплоскостипчислоч-д в случае, когда точка М и начало координат О лежат по разные стороны от плоскости к, и число — д е случае, когда М и О лежат по одну сторону от п. Если же начало координат О лежит на плоскости к, положим отклонение равным ьд в случае, когда М лежит по ту сторону от и, куда направлен вектор п, и равным -с( в противном случае.
Имеет место следующее важное утверждение. Теорема 5.8. Левая часть нормированного уравнения плоскости (5.44) равна отклонению точки М с координатами х, у, г от плоскости к, определяемой уравнением (5.44). Д о к а з а т е л ь с т в о, Спроецируем точку М на ось, определяемую вектором п. Пусть Π— проекция точки М (рис. 5.9). Отклонение Ь точки М от плоскости и равно РО, где РЯ обозначает величину направленного отрезка РЯ оси, определяемой вектором п.
Далее, из основного тождества (см. гл. 1) очевидно (см. рис. 5.9), что (5.45) 5= РО = ОΠ— ОР= ОΠ— р. Но ОО = пр„ОМ, а последняя проекция в силу формул (5.42) и (5.43) равна х соз а ч- у соз '))ч- г соз у. Итак, (5.46) ОО = х соз а+ у соз 1з+ г соз у. Сопоставляя формулы (5.45) и (5.46), получим 5 = х соз а+ у сов ()+ + г соз у — р. Теорема доказана. Теорема 5.3 приводит нас к следующему п р а в н л у: для нахождения отклонения 5 точки Мо(хы уо, го) от плоскости к следует в левую часть нормированного уравнения плоскости и подставить на место х, у и г координаты хо, уо и го точки Мо.
Разумеется, это правило позволяет отыскивать и расстояние от точки М до плоскости к, ибо расстояние равно модулю отклонения. В заключение укажем алгоритм приведения общего уравнения плоскости (5.3!) к нормированному виду (5.44). Так как указанное общее уравнение и уравнение (5.44) должны определять одну и ту же плоскост1ь то (в силу замечания в конце п.
1 этого параграфа) найдется число (такое, что (А=сов сс (В=сов (3, (С=сов у, Ю= — р. (5.47) Возвышая в квадрат первые три равенства (5.47), складывая их и учитывая, что сумма квадратов направляющих косинусов равна единице (см. п. 9 9 1 гл. 2), получим Г '(А ' + В + С з) = 1, откуда 1 ° Вв вв+В' ЛИ1П:ИНЫД ОЬГКЗЫ 134 1гл з Остается уточнить, какой из знаков + следует взять в формуле (5.48). Так как по смыслу расстояние р всегда неотрицательно, то из последнего равенства (5.47) заключаем, что знак ( противоположен знаку О. Итак, для приведения общего уравнения плоскости Ах+ Ву+ + Сг+ 0 = О к нормированному виду (5.44) следует умножить его на нормирующий множитель (5.48), знак которого противоположен знаку Р.
6. Пучки и связки плоскостей. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую Е, называется и у ч к ам плоскостей (с центром в Е). В полной аналогии с теоремой 5.2, относящейся к пучку прямых, доказывается следующее утверждение: Если А,х+ В,у+ С,г+ О, = 0 и А,х+ Взу+ С,г+ О, = 0 суть уравнения двух различных и не параллельных плоскостей, пересечением которых служит некоторая прямая Е, а а и )) — какие угодно не равные одновременно нулю числа, то а (А,х+ В,у ж С,г ж Р,) -ь )) (Азх ч- Вгу+ Стг ж О,) = 0 (5.49) есть уравнение плоскости, проходящей через прямую Е.
Более того, какова бы ни была наперед заданная проходящая через прямую Е плоскость, она определяется уравнением (5.49) при некоторых а и 1). Доказательство этого утверждения (не содержащее по сравнению с доказательством теоремы 5.2 никаких новых идей) представляем читателю.
Сформулированное утверждение позволяет задавать прямую Е, являющуюся линией пересечения двух не совпадающих и не параллельных плоскостей А,х+ В,у+ С,г+ О, = 0 и Азх+ Вау+ + Саг+ От=О, не только двумя уравнениями этих плоскостей, но и любыми двумя различными уравнениями пучка (5.49) (полученными при каких угодно а и ))). Совокупность всех плоскостей, проходяи(их через данную точку Мо(хо,ум го) называется связкой плоскостей (с центром в Мо). Легко убедиться в том, что уравнение связки с центром в Мь(хо, уь, гь) имеет вид А(х — хо)+В(у уо) ьС(г — го)=0 (5.50) где А, В и С вЂ” какие угодно числа, не равные одновременно нулю. В самом деле, всякая плоскость, определяемая уравнением (5.50), проходит через точку Мь(хо, уо, гь).
С другой стороны, если к — наперед заданная плоскость, проходящая через точку Мо(хо, у„, го), то эта плоскость однозначно определяется заданием, кроме точки Мо(хы уо, го), еще нормального вектора н = (А, В, С) и потому определяется уравнением (5.33) (см. п. 1 этого параграфа), совпадающим с уравнением (5,50), ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ В 4.
Прямая линия в пространстве 1Зб х —.с, у — у, г — г, т и (5.51) Уравнения (5.51) суть искомые уравнения прямой, проходящей через точку М,(х,, ун г,) и коллинеарной вектору д) =(1, т, и). Эти уравнения принято называть каноническими уравнениями прямой. Заметим, что в канонических уравнениях (5.51) одно или два из чисел 1,т и и могут оказаться равными нулю (все три числа 1,т и п равняться нулю не могут, так как вектор с( = (1,т, и) ненулевой).
Так как всякую пропорцию а1(т = с,1с) мы договорились понимать как равенство асу = бс, обращение в нуль одного из знаменателей в (5.51) означает обращение в нуль и соответствующего числителя. В самом деле, пусть, например, 1= О, а и и О (хотя бы одно из трех чисел 1, т и и не х — х, г — г, равно нулю). Тогда из пропорции = , эквивалентной равен- 1 п ству (х — х,)п=(г — г,)1, заключаем, что х — х, =О.
В заключение покажем, как прямую, заданную уравнениями двух различных и не параллельных плоскостей А,х+ В,у еС1г+ О, = О, Азх ж Взу+ С,г+ 7)г = О, (5.52) ') Из п. 3 13 следует, что для тото, чтобы плоскости, определяемые уразпенияии Ах е В~у е Сг е Р1 —— О и Аьх + Вту ч Сзг е Рг = О, не соападати и не были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы наруптачась хотя бы одна из пропорции А, ./Аз — — В~ 1Вт — — С~,'Сз. 1. Канонические уравнения прямой в пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
