В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку М,(хп у,) и имеющей данный угловой коэффициент й. Для этого докажем сначала следующее у т в е р ж д е н и е: если прямая не параллельна оси Оу и имеет направляющий вектор г) = П, т), то угловой коэффиииент этой прямой й равен й = т/Е Пусть а — угол наклона прямой к оси Ох, а Π— угол наклона направляющего вектора г) = П, т) к оси Ох.
Так как прямая может быть ЛИИВИЦЫВ ОЬРХЗЫ 116 1гл 5 наклонена к оси Ох под острым или под тупым углом н ее направляю1ций вектор с) может иметь два противоположных направления, то возможны четыре случая, изображенных на рис. 5.3. В случаях 1) и 3) О = а и для проекций на оси вектора т( справедливы формулы 1 = 1 с) ~ со5 О, т = ( я (со5 — — О = ) я (5!пО. х2 В случаях 2) и 4) 9 =и — а и для проекций вектора с( справедливы фор- мулы 1= ( 11 ) соз О, т = — ) ц! сйп О.
у У Таким образом, в случаях !) и 3) а э я 1д0=1ист и т/1=1иО, а в случаях 2) и 4) 1д 0 = -1д а и т/1 = -1и О. О х О х Стало быть, во всех четырех случаях 1) З) 1нсг= т/1, и утверждение доказано. У Лля того чтобы вывести уравнение пряч мой, проходящей через заданную точку О э - М,(х1, у,) и имеющей заданный угловой коэффгщиент я, умножим обе части канонического уравнения (5.7) на т н учтем, что Рис 53 т1'1= й. Получим искомое уравнение в виде (5.10) у — у! — — я(х — х,). Если теперь обозначить через Ь постоянную Ь = у, — йхь то уравнение (5,10) примет вид у = ях ч- Ь.
(5. 11) Уравнение (5.11) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В этом уравнении й обозначает угловой коэффициент данной прямой, а Ь предо~валяет собой величину отрезна, отсенаемого данной прямой на оси Оу, начиная от начала координат. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть совместно уравнение (5.1!) н уравнение х = 0 оси Оу н найти координаты точки пересечения оси Оу и прямой (5.11): х = О, у = Ь (рис.
5.4). 6. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. а) Пусть сначала две прямые ~., и Ц заданы общими уравнениями А1хч-В1уч-С, =0 и Азх+В уж Сз —— О. $0 РАзличные Виды уРАВнеиия ПРямои нА плоскости 117 Так как нормальным вектором прямой 7., является вектор и, =(Ан В,), а нормальным вектором прямой т'.а является вектор пз = (Ам Вз), то задача об определении угла между прямыми ~, и г'.в сводится к определению угла ор между векторами и, и и, ). Из определения скалярного произведения п,па = ! и, ) ) па ~ соз гр и из выражения в координатах длин векторов и, и пв и их скалярного произведения получим АА. +ВВа С051Р = т(А1з ж В,зхГАз ж Вз (5.
12) Итак, угол гр между прямыми сч и В, определяется с помощью формулы (5.12). Условие параллельности прямыхЬ,ийз,эквивалентное условию коллинеарности векторов и, и па, заключается в пропорциоа нальности координат этих векторов, т.е. имеет вид ) А, В, Аа В (5. 13) Условие перпендикулярности прямых 7., и(а может быть извлечено из формулы (5.12) (при соз ср = 0) или выражено равенством нулю скалярного произведения и, пь Оно имеет вид А1АЗ-~- В,В, = О. (5.14) б) Пусть теперь две прямые Ь, и Ц заданьг каноническими уравне- ниями х — х, у — у, х — ха у — у, и т, т Так как направляющими векторами прямых У., и Ва служат векторы с), = (1н т,) и с)а = (15, тв), то в полной аналогии со слУчаем а) мы полУчим 1) формулу для угла ср между прямыми Л, и Вз: 1,)з е т,т С05ОР = Я.:,'Я -7' (5.12') 2) условие параллельности прямых Л, и Ц: 1, т, )з т (5.13') ~) Любые две пересекающиеся прямые образуют два угла, в сумме равных и Нам достаточно определить одни из них т ) При атом.
как и выше, мы понимаем пропорцию о/Ь = с/Л в смысле равенства ои = Ьс. лиш:.иные оьгязы 11К 3) условие перпендикулярности прямых Л, и ь2. (5.14') 1,12 ч-т,т2 =О. в) Пусть, наконец, двг прямые Е, и (.2 заданы уравнениями с угловым коэффициентом у = й,х ч- Ь, и у = )гзх ч- Ь2. Если а, и аз — углы наклона прямых ь~ и ь2 к оси Ох, а у — один из углов между этими прямыми, то из элементарных соображений (рис.
5.5) вытекает, что 'р а2 Таким образом, 1яа, — 1яа, Ьз — Ь, 1и ~р = 1и (аз — а,) = 1Е1яа,1иа, ! ЕЬ|п2 Мы получаем следующую формулу для определения угла ~р: 2 1 1~яА (5. 12") Если в этой формуле поменять местами Ь~ н )22 (от чего фактически лишь изменится знак на противоположный), то эта формула определит нам другой угол между прямыми, смежный по отношению к прежнему углу (эти два угла в сумме составляют к и тангенсы их отличаются лишь знаком).
Прямые параллельны, когда тангенс угла между ними равен нулю, т.е. условие параллельности имеет вид Рис, 5.5 (5. 13") Ф,=да (5. 14") Ь, = — 1/Ьн 7. Нормированное уравнение прямой. Отклонение точки от прямой. Рассмотрим какую угодно прямую ь. Проведем через начало (при этом числитель в (5.12') равен нулю, а знаменатель строго положителен). Условие перпендикулярности прямых (ч и Л2 также можно получить из (5.12"). Оно отвечает случаю, когда тангенс угла ~р не существует, т.е. случаю обращения знаменателя формулы (5.12'') в нуль: Ь,)22 ч-! = О.
Итак, условие перпендикулярности прямых Л, и ь2 имеет вид РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОИ НА ПЛОСКОСТИ ! )9 йн координат О прямую и, перпендикулярную ь, и обозначим буквой Рточку пересечения указанных прямых (рис. 5.6). На прямой и возьмем единичный вектор п, направление которого совпадает с направлением отрезка ОР (в случае совпадения точек О и Р направление и выберем произвольно). Поставим перед собой цель — вьпразить уравнение прямой й через два параметра: 1) длину р отрезка ОР; 2) угол 0 между век- Рис 56 тором и и осью Ох.
Так как п — единичный вектор, то его координаты, соответственно равные его проекциям на оси координат, имеют вид ) (5.15) и = (со5 О, згп О). Очевидно, точка М(х, у) лежит на рассматриваемой прямой Ь тогда и только тогда, когда проекиия вектора ОМ на ось, определяемую вектором и, равна р, т.е. при условии (5. 16) прл ОМ =р. Так как и — единичный нектар, то в силу определения 2 скалярного произведения (см.
п. 1 9 2 гл. 2) (5. 1?) пр„ОМ =и ОМ. Имея ввиду, что ОМ = (х, у), а вектор и определяется равенством(5,15), мы получим следующее выражение для скалярного произведения этих векторов: п ОМ = х соз 0.Р у 51п О. (5. 18) Из сопоставления (5.16), (5.17) и (5.18) вытекает, что точка М (х, у) лежит на прямой ь тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют уравнению (5. 19) 0+уз(п0-Р=О; (5.19) и есть искомое уравнение прямой ь (выраженное через два параметра: 0 и р). Это уравнение называется нормированным уравнением прямой.
Введем теперь фундаментальное понятие отклонения произвольной точки М от данной прямой ь. Пусть число й обозначает расстояние от точкиМдопрямой?.Назовем от кл о вен и ем 5 точки М от прямой ь число+а*в случае, когдаточкаМи началокоординат О лежат по разные стороны от прямой ?, и число — а' в случае, когда М и О лежат по одну сторону от й.
') Н силу того, вто проекция вектора на тюбукт ось равна моку пю этого вектора, умноженному на пгосип~ус угла наклона к осн (см. и. 8 8 ! гл, 2). лиивицыя оьглзы !йо !гл з Если же начало координат О лежит на прямой 1., мы положим отклонение равным ч-д в случае, когда М лежит по ту сторону от 1., куда направлен вектор п, и равным -д в противном случае. Выясним геометрический смысл левой час- 1 ти уравнения (5.19) при любых х и у. Теорема 5.1. Левая часть нормированно- Р го уравнения прямой (5.!9) равна отклонению точки М с координатами х, у от прямой 1., определяемой уравнением (5.19).
0 х Доказательство. Спроецируем точку М на ось, определяемую вектором и. Пусть Π— проекция точки М. Отклонение Ь точки М от прямой 1 равно РО, где РО обозначает величину направленного отрезка РО оси, определяемой вектором и. Далее, из основного тождества (см. гл. 1) очевидно (рис. 5.7), что 5 = РО = ОО - ОР = ОО - р. (5.20) Но ОО = пр„ОМ, а последняя проекция в силу формул (5.17) и (5.18) равная х соз О+ у з!и О. Итак, (5.20') ОО=х з О+у з!п О. Сопоставляя формулы (5.20') и (5.20), получим Ь=х соз О+у гйп Π— р. (5.21) (А = соз О, (В= 5!и О, (С=-р. (5.22) Возвышая в квадрат первые два равенства и затем складывая их, полу- чим ( (Атч-В ) = 1, откуда 1 г =+ ч'А" -'; ВВ (5.23) Теорема доказана. Теорема 5.1 приводит нас к следующему п р а в и л у: для нахождения отклонения б точки М (хь, уь) от прямой В следует в левую часть нормированного уравнения прямои 1.
подставить на место х и у координатгя х„и уь точки М. Разумеется, это правило позволяет отыскивать и расстояние от точки М до прямой 1., ибо расстояние равно модулю отклонения. В заключение укажем алгоритм приведения общего уравнения прямой Ах+ Ву+ С = 0 к нормированному виду (5.19). Так как указанное общее уравнение и уравнение (5.19) должны определять одну и ту же прямую, то (в силу замечания в конце п. 1) найдется число Г такое, что РАзличные Виды уРАвншгия ПРямои нА гшоскости ун Остается уточнить, какой из знаков + следует взять в формуле (5.23).
Так как по смыслу расстояние р всегда неотрицательно, то из третьего равенства (5.22) заключаем, что знак 1 противоположен знаку С. Итак, для приведения общего уравнения прямойАх+Ву+С=О к нормированному виду (5А9) следует умножить его на нормирующий множитель (5.23), знак которого противоположен знаку С. 8. Уравнение пучка прямых. Совокупность лежащих на данной плоскости и прямых, проходящих через некоторую точку Б этой плоскости, принято называть пучком прямых с центром е Б. Центр Б пучка прямых полностью определяется заданием двух различных прямых этого пучка. Зная центр пучка Б (хн у,), легко написать уравнение любой прямой этого пучка: для этого можно, например, использовать уравнение (5.!0) прямой, проходящей через точку 5(хн у,) и имеющей заданный угловой коэффициент й.
Однако при решении задач представляется удобным уметь писать уравнение любой прямой, проходящей через точку пересечения двух данных прямых, не вычисляя координат этой точки пересечения. В этом пункте и решается задача о нахождении уравнения пучка прямых, центром которого служит точка пересечения двух данных прямых, определяемых уравнениями А,х+ В,у+ С, = 0 и Азх+ Вяу+ Сз — — О. Докажем следующую основную теорему. Теорема 52. Если Ах+ Ву+ С, =0 и Азх+Вгу+ Сг =0 суть уравнения двух различных прямых, пересекающихся е некоторой точке Б, а гх и )) — какие угодно не равные одновременно нулю числа, то а(А,хм В,уж С,) ж)з(Азхж Взуж Сз) =0 (524) есть уравнение прямои, проходящей через точку 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
