В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Нахождение прямой, проходящей через точку пересечения двух данных прямых и удовлетворяющей еще одному условию. Пусть требуется найти уравнение прямой, проходягцей через точку пересечения двух неколлинеарных ) прямых, определяемых уравнения- 1 ми А,х+ В,у+ С, = 0 н Аах+ В,у+ С, = О, и, кроме того, удовлетворяющей одному из следующих трех условий: а) отсекающей на осях отрезки равной длины; б) параллельной заданной прямой Азх+ Взу+ С, = 0; в) перпендикулярной заданной прямой А,х+ Взу+ С, = О. Искомая прямая принадлежит пучку сх (А,х+ В, у+ С,) ч- )з (Азх ж Взу ж Сз) = О. (5 30) ) Прямые нааывавлса лака.~ллваврлымв, если внв не варалле.|вны в ве саввадаюс Для определения постоянных сс и )з (а точнее, их отношения) будем использовать дополнительное условие. В случае а) мы должны собрать в (5.30) коэффициенты при х и у и приравнять друг другу м о д у л и этих коэффициентов (мы приравниваем друг другу не сами коэффициенты при х и у, а их модули, так как требуется, чтобы отсекаемые на осях отрезки имели равную длину, а не величинУ).
В РезУльтате полУчим УРавнение ( пА, + ))А,1=1))Ва + пВ, ~ или а(А, + В,) =-))(Аз+ Вз). Заметим, что обе круглые скобки обратиться в нуль не могут (так как прямые Ах + Ву+ С, = 0 и Аах+ Вау+ Са = 0 127 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ не коллинеарны), и, стало быть, из последнего равенства, задавая произвольно один из коэффициентов 1х и )з,мы найдем другой из этих коэффициентов. В случае б) учтем, что у двух параллельных прямых коэффициенты при х и у пропорциональны !см. 3 1, п.
6, условие (5.13)). Таким образом, мы получим или гх(А1В, — В,АЗ) = ))(ВЗАЗ вЂ” АЗВЗ). А, Вз Заметим, что в последнем равенстве обе круглые скобки не могут обратиться в нуль !иначе бы прямые А,х+ В,у+ С, = 0 и Азх+ Взу+ Са = 0 оказались коллинеарными), и поэтому из последнего равенства, задавая произвольно один из коэффициентов а и !), мы найдем другой из этих коэффициентов. В случае в) используем для прямой !5.30) и прямой А,х+ В,у+ Сз = 0 условие перпендикулярности 15.14) !см.
3 1, п. 6). В результате получим (ОА, + ))Аз)АЗ -Р (аВ, ч. )зВа) Вз = 0 или гг(АА1+ В В) = — !)!ААЗ + ВаВЗ). Заметим, что обращение в нуль обеих круглых скобок последнего равен- А, А ства невозможно (иначе мы получили бы, что = и прямые А,х + В,у+ + С, = 0 и А,х + Взу + Сз — — 0 коллинеарны). Таким образом, задавая в указанном равенстве произвольно один из коэффициентов а и !), мы определим из него другой из этих коэффициентов. 3 3. Различные виды уравнения плоскости 1. Общее уравнение плоскости. Содержание этого пункта полностью аналогично содержанию п. ! 3! .
Мы докажем два утверждения. 1'. Если в пространстве задана произвольная плоскость я и фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Охуг, то плоскость и определяется в этой системе уравнением первой степени. 2'. Если в пространстве фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Охуг, то всякое уравнение первои степени с тремя переменными х, у и г определяет относительно этой системы плоскость. Для доказательства первого утверждения достаточно установить, что плоскость и определяется уравнением первой степени при каком-то одном специальном вгяборе декартовой прямоугольной системы, ибо тогда она определяется уравнением первой степени и при любом другом вь1боре декартовой прямоугольной системы !в силу теоремы 4.2).
Расположим оси Ох и Оу в плоскости и, а ось Ог направим перпендикулярно этой плоскости. Тогда уравнением плоскости и будет уравнение первой степени (г = 0). В самом деле, этому уравнению будут удовлетворять ЛИ)П:ИНЬП) ОЬРДЗЫ 1гл з координаты любой точки, лежащей на плоскости я, и не будут удовлетворять координаты ни одной точки, не лежащей на плоскости я. Утверждение 1' доказано.
Для доказательства утверждения 2' фиксируем произвольную декартову прямоугольную систему Охуг и рассмотрим произвольное уравнение первой степени (5.31) Ах+ Ву+ Сг+ 0 =0, в котором А, В, С и 1) — какие угодно постоянные, причем из постоянных А, В и С котя бы одна отлична от нуля. Уравнение (5.31) заведомо имеет хотя бы одно решение хо, у„, го ), т.е.
существует хотя бы одна точка Мо(хо, уо, го), координаты которой удовлетворяют уравнению (5.3! ): (5.32) Ахо+ Вуо+ Сго+ й = О Вычитая из уравнения (5.3!) тождество (5.32), получим уравнение А(х — хо) ч- В(у уо)+ С(г го) = О (5.33) эквивалентное уравнению (5.31).
Достаточно доказать, что уравнение (5.33) определяет относительно системы Охуг некоторую плоскость. Мы докажем, что уравнение (5.33) (а стало быть, и уравнение (5.31)) определяет плоскость я, проходящую через точку Мо(хо, уо, го) и перпендикулярную вектору и = (А, В, С ) (так как хотя бы одна из постоянных А, В и С не равна нулю, то вектор и ненулевой). В самом деле, если точка М (х, у, г) лежит на указанной плоскости я, то ее координаты удовлетворяют уравнению (5.33), ибо в этом случае векторы и = (А, В, С) и МОМ = (х — хо, у — уо, г — го) ортогональны и их скалярное произведение (5.34) А (х — хо) ч- В (У вЂ” Уо) + С (г — го) равно нулю. Если же точка М (х, у, г) не лежит на указанной плоскости я, то ее координаты не удовлетворяют уравнению (5.33), ибо в этом случае векторы и и МОМ не ортогональны и поэтому их скалярное произведение (5.34) не равно нулю.
Утверждение 2' доказано. Уравнение (5.31) с произвольными коэффициентами А, В, С и 0 такими, что из коэффициентов А, В и С хотя бы один отличен от нуля, называется общим уравнением плоскости. Мы доказали, что плоскость, определяемая общим уравнением (5.31), ортогональна к вектору и =(А, В, С). Этот последний вектор мы будем называть нормальным вектором плоскости (5.31). ') В самом деле, хотя Вы одна из постоянных А, и, П отлична от нуля Пусть, например, л в С ы О Тогда, взяв произвольные х и д, получим из уравнения (З 31) зо = — — хо — — уо . о о с с У 31 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ Заметим, что если два оби(их уравнения Ах+ Ву+Сг+0=0, А,х+В у+ С1г+О, =О определяют одну и ту же плоскость, то найдется такое число С что справедливы равенства А, =АС В, = ВС С, = СС О, = 00 т.е.
коэффициенты Ан Вн С, и О, второго уравнения равны соответствующим коэффициентам А, В, С и 0 первого уравнения, умноженнь1м на некоторое число Г. Локазательство этого утверждения вполне аналогично доказательству утверждения, содержащегося в замечании в конце п. ! Э 1. Мы предоставляем читателю провести его самому. 2. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках.
Общее уровне~ив плоскости (5.31) называется п о л и ы м, если все его коэффициенты А, В, С и 0 отличны от нуля. Если хотя бы один из указанных коэффициентов равен нулю, уравнение называется неполным. Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений: 1) 0 = О, уравнение Ах+ Ву+ Сг = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат (поскольку координаты начала удовлетворяют этому уравнению). 2) А = О, уравнение Ву + Сг+ 0 = 0 определяет плоскость, параллельную оси Ох (поскольку нормальный вектор этой плоскости и = (О, В, С) перпендикулярен оси Ох). 3) В = О, уравнение Ах + Сг + 0 = 0 определяет плоскость, параллельную оси Оу (ибо этой оси перпендикулярен нормальный вектор п=(А,О, С)). 4) С = О, уравнение Ах + Ву + 0 = 0 определяет плоскость, параллельную оси Ог (ибо этой оси перпендикулярен нормальный вектор и =(А, В, 0)).
5) А = О, В = О, уравнение Сг + 0 = 0 определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Оху (ибо эта плоскость параллельна осям Ох и Оу). 6) А = О, С = О, уравнение Ву + 0 = 0 определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Охг (ибо эта плоскость параллельна осям Ох и Ог). 7) В=О, С=О, уравнение Ах+0=0 определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Оуг (ибо эта плоскость параллельна осям Оу и Ог).
8) А = О, В = О, 0 = О, уравнение Сг = 0 определяет координатную плоскость Оху (ибо плоскость параллельна Оху и проходит через начало координат). лингьйныгь оьрдзы 1зо ~гл з 9) А = О, С = О, Р = О, уравнение Ву = 0 определяет координатную плоскость Охг (ибо плоскость параллельна Охг н проходит через начало координат). 1О) В = О, С = О, Р = О, уравнение Ах = 0 определяет координатную плоскость Оуг (нбо плоскость параллельна Оуг и проходит через начало координат). Рассмотрим теперь полное уравнение плоскости (5.31) и покажем, что оно может быть приведено к следующему виду; х у г — + — '+ — = 1, а Ь с (5.35) называемому уравнением плоскости и отрезках.
В самом деле, так как все коэффициенты А, В, С и Р отличны от нуля, мы можем переписать уравнение (5.31) в виде х у г + + =1 -ОттА -От В -От'С и затем положить а = — Р(А, Ь = — Р(В, с = — Р/С. Заметим, что в уравнении ев отрезках» (5.35) числа а, Ь н с имеют простой геометрический смысл: они равны величинам отрезков, которые отсекает плоскость на осях Ох, Оу и Ог соответственно (отрезки отсчитываются от начала ко! ординат, см. рис. 5.8). Чтобы убедиться в этом, достаточно найти точки пересечения плоскости, оп- Ь ,> ~ ределяемой уравнением (5.35), с осями координат.
l Например, точка пересечения с осью Ох определится из совместного рассмотрения уравнения плоскох сти (5.35) с уравнениями у=О и г=О оси Ох. Мы Рис. 5.З получим координаты точки пересечения х = а, у = О, г = О. Аналогично устанавливается, что координаты точки пересечения плоскости (5.35) с осью Оу равны х = О, у = Ь, г = 0 и с осью Ог равны х=О, у=О, г= с. 3. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Пусть две плоскости и, и яд заданы общими уравнениями Ах+В у+ Сг+Р, =0 и Лзх+ Взу+ + Сзг+ Р, = О. Очевидно, вопрос об определении угла между указанными плоскостями сводится к определению угла ср между их нормальными векторами и, = (Ам Вн С,) н пз = (А„, Вю Сз) ').
) Любые две пересехаююиеса плоскости образуют два угла, в сумме равных и. Нам Лостаточпо определить олин из этих углов. РАЗЛИЧНЬЦ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ $ з1 Из опРеделениЯ скалЯРного пРоизведениЯ п,па = ! и, ) ~ пз ~ соз сР и из выражения в координатах длин векторов и, и и, и их скалярного произведения. получим А,А еВ,В, еС,С, СО5 18— А, еВ, еС,Я А.~-.'-В, еСта (5.36) Итак, угол ср между плоскостями к, и ла определяется с помощью формулы (5.36). Условие параллельности плоскостей и, и и,, эквивалентное условию коллинеарности векторов и, и и„ заключается в пропорциональности координат этих векторов, т.е. имеет вид ) А, В, С, Аа Ва С. (5.37) Условие перпендикулярности плоскостеи я, и па может быть извлечено из формулы (5.36) (при соз тр = 0) или выражено равенством нулю скалярного произведения векторов и, и пе Оно имеет вид А1АР ь В,ВЯ+ С,С — — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
